劉曉東

針對(duì)一類非線性系統(tǒng)的多變量線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器及其收斂性分析

劉曉東1

針對(duì)一類非線性不確定系統(tǒng),構(gòu)造了一種多變量線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器 (Multi-variable linear extended state observer, MVLESO),用于實(shí)時(shí)估計(jì)非線性系統(tǒng)的不確定動(dòng)態(tài).采用頻域分析方法,剖析了所構(gòu)造的MVLESO在非線性系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)估計(jì)方面的收斂性,并推導(dǎo)出不確定動(dòng)態(tài)的頻域估計(jì)誤差模型.仿真結(jié)果表明,所設(shè)計(jì)的MVLESO可以較為精準(zhǔn)地估計(jì)出非線性系統(tǒng)當(dāng)前的不確定動(dòng)態(tài),該特性為基于MVLESO魯棒控制方案的有效實(shí)施奠定了基礎(chǔ).

非線性系統(tǒng),擴(kuò)張狀態(tài)觀測器,自抗擾控制,收斂性,頻域分析

在傳統(tǒng)線性控制算法中,PID控制器在工業(yè)控制中占有重要的地位,然而隨著應(yīng)用廣泛性的增加以及現(xiàn)代工業(yè)對(duì)控制性能要求的不斷提高,其存在的缺點(diǎn)不斷地突顯出來[1],主要體現(xiàn)在較弱的誤差衰減能力和抗干擾能力方面.為了克服線性PID控制器的缺點(diǎn),韓京清提出了一種自抗擾控制(Active disturbance rejection control,ADRC)技術(shù)[2?3],這是一種可以實(shí)時(shí)估計(jì)并補(bǔ)償系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)的魯棒控制技術(shù),其不需要精確的對(duì)象模型信息,也不需要假設(shè)不確定模型為參數(shù)線性化或者是有界的,故而可以應(yīng)對(duì)較大范圍的不確定系統(tǒng).目前,ADRC技術(shù)已在許多領(lǐng)域得到廣泛研究和應(yīng)用,如高精度伺服系統(tǒng)控制[4?5]、機(jī)器人控制[6?7]、飛行器制導(dǎo)與控制[8?11]等,并展示出傳統(tǒng)控制方法不可比擬的效果.文獻(xiàn)[12?14]已對(duì)ADRC的思想、研究現(xiàn)狀和發(fā)展方向進(jìn)行了較為詳細(xì)的綜述和展望.

ADRC控制器主要涉及三個(gè)部分的設(shè)計(jì)問題,分別為安排過渡過程、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended state observer, ESO)設(shè)計(jì)以及誤差反饋控制律設(shè)計(jì),而且我們可以根據(jù)工程實(shí)際需求獨(dú)立地研究和設(shè)計(jì)各個(gè)組成部分[2].其中,ESO作為ADRC等非線性控制的重要組成部分,可以較為精準(zhǔn)地估計(jì)出系統(tǒng)當(dāng)前的未知不確定動(dòng)態(tài),估計(jì)量將被補(bǔ)償?shù)娇刂葡到y(tǒng)中,從而使控制系統(tǒng)的魯棒性能得到有效提高,同時(shí)補(bǔ)償之后的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單易于進(jìn)一步的設(shè)計(jì)與分析.由于ESO在不確定動(dòng)態(tài)估計(jì)方面的收斂性將影響到整個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能,因此研究其在不確定動(dòng)態(tài)估計(jì)方面的收斂性是非常有必要的.

目前,在研究ESO對(duì)非線性系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)估計(jì)方面的收斂問題時(shí),大多數(shù)文獻(xiàn)所選取的研究對(duì)象為某類單輸入單輸出非線性系統(tǒng)[15?18],其系統(tǒng)狀態(tài)變量間存在微分關(guān)系且其擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)變量是單維的.此類非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)相對(duì)簡單,故通過時(shí)域分析法證明所構(gòu)建ESO的估計(jì)收斂性是可行的.但對(duì)于結(jié)構(gòu)更為一般且較為復(fù)雜的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)例如典型的飛行器一體化制導(dǎo)控制系統(tǒng)[9]、高超聲速飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)[11]、航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[19]等,將難以借助時(shí)域分析法完成ESO估計(jì)收斂性的證明,而目前尚有的時(shí)域分析方法和體系也難以發(fā)揮其作用,因此針對(duì)此類系統(tǒng)有必要從其他思路來探索ESO估計(jì)收斂性的分析方法.另一種控制系統(tǒng)的分析方法—頻率分析法,可根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)得到相應(yīng)的頻率特性,該頻率特性具有較明確的物理意義,并可作為分析控制系統(tǒng)性能的依據(jù).當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)較高時(shí),頻域分析法避免了直接求解高階微分方程帶來的困難,具有更優(yōu)越的實(shí)用性和方便性,故而在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中得到廣泛的應(yīng)用.鑒于此,本文借助于頻域分析方法進(jìn)行相關(guān)問題的探索,研究ESO在一類多輸入多輸出非線性系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)估計(jì)方面的收斂性.

綜合考慮估計(jì)精準(zhǔn)性、控制平滑性以及算法易于實(shí)現(xiàn)性[20],本文構(gòu)建一種多變量線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Multivariable linear extended state observer,MVLESO),用于實(shí)時(shí)估計(jì)非線性控制系統(tǒng)的多維不確定性向量.為了減輕MVLESO的估計(jì)負(fù)擔(dān),文中將系統(tǒng)已知的內(nèi)部動(dòng)態(tài)引入其構(gòu)造過程中.同時(shí),本文研究了MVLESO的估計(jì)能力問題,分析了在非線性系統(tǒng)確切模型未知但有界的條件下,所設(shè)計(jì)的MVLESO對(duì)系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)的估計(jì)收斂情況,并給出了頻域內(nèi)的估計(jì)誤差模型.

1 MVLESO設(shè)計(jì)

針對(duì)具有如下形式的非線性系統(tǒng)

假設(shè)非線性系統(tǒng)(1)的一部分內(nèi)部動(dòng)態(tài)是可知的或可測的,且可以近似獲得,則式(1)可以改寫為

于是,針對(duì)非線性系統(tǒng)(1),構(gòu)造一種MVLESO,用于系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)的實(shí)時(shí)估計(jì).

圖1 含MVLESO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of MVLESO-based system

因此,針對(duì)非線性系統(tǒng)(1),可以構(gòu)造如式(4)所示的MVLESO,用于實(shí)時(shí)估計(jì)非線性系統(tǒng)中的多維不確定性向量.

2 估計(jì)收斂性分析

本節(jié)通過求解傳遞函數(shù)并采用工程上較為實(shí)用的頻域分析方法,重點(diǎn)分析設(shè)計(jì)的MVLESO在非線性系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)估計(jì)方面的收斂性,并給出相應(yīng)的估計(jì)誤差模型.

根據(jù)式(2)～(4),可以得到:

式中,矩陣表達(dá)式為而且,In×n表示n階單位矩陣,0n×n表示n階零矩陣.

對(duì)具有狀態(tài)空間方程形式的系統(tǒng)(6)進(jìn)行拉氏變化,可以得到傳遞函數(shù)表達(dá)式

式中,Xa(s)和Ua(s)分別為和對(duì)應(yīng)的拉氏變換向量, I2n×2n表示2n階單位矩陣.

為了求取逆矩陣(sI2n×2n?Aa)?1的解析形式,可以利用如下的矩陣等式:

即 (sI2n×2n?Aa)?1G=I2n×2n,式中,G11(s),G12(s), G21(s),G22(s)均為n階傳遞函數(shù)矩陣.

通過求解式(9),可以得到G11(s)和G21(s)的解析表達(dá)式,即:

不失一般性,觀測增益矩陣可取為β0=2βs,β1=βs2,其中βs=diag{βs1βs2···βsn},且βsi＞0(i=1,2, ···,n),將其帶入上式可得:

根據(jù)式(7)和式(11)可得傳遞函數(shù)關(guān)系

式中,E1(s),Z2(s)和(s)分別為和對(duì)應(yīng)的拉氏變換向量,各時(shí)域/頻域向量定義形式如下:

于是,式(12)可以較為直觀地展現(xiàn)出輸入變量(即實(shí)際不確定性向量)與輸出變量(即狀態(tài)估計(jì)誤差向量與不確定性估計(jì)向量)之間的傳遞關(guān)系,它也可表示為如下標(biāo)量形式:

將s=jω帶入上式,可得:

此時(shí),若假設(shè)非線性控制系統(tǒng)第i通道所包含動(dòng)態(tài)特性的最大頻率為ωmi(rad/s),故當(dāng)滿足βsi?ωmi時(shí),有如下關(guān)系式成立:

上式說明在滿足一定條件時(shí),構(gòu)造的MVLESO對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)變量和不確定動(dòng)態(tài)均具有精確的估計(jì)能力,即驗(yàn)證了MVLESO在估計(jì)方面的收斂性.值得注意的是,參數(shù)βsi的選取將決定著MVLESO對(duì)第i通道的估計(jì)帶寬.與此同時(shí),因?yàn)樵趯?shí)際控制系統(tǒng)中難以絕對(duì)實(shí)現(xiàn)條件βsi?ωmi,因此必然會(huì)存在一定的估計(jì)誤差.

下面具體分析MVLESO對(duì)不確定動(dòng)態(tài)的估計(jì)收斂情況,首先根據(jù)式(12)推導(dǎo)出系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)的頻域估計(jì)誤差模型,即

類似地,式(16)可以表示為如下標(biāo)量形式:

以系統(tǒng)第i通道為例,下面給出不同βsi取值時(shí),頻域估計(jì)誤差模型(17)中傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線圖.

由圖2可以得出,對(duì)于特定取值的增益βsi,估計(jì)誤差模型傳遞函數(shù)的低頻幅值衰減特性較好,表明此時(shí)MVLESO的估計(jì)能力較強(qiáng),估計(jì)收斂性較好;然而其高頻段的幅值衰減特性較差,直至無幅值衰減,此時(shí)MVLESO的估計(jì)能力較弱,直至估計(jì)輸出為零,即估計(jì)收斂性較差.與此同時(shí),當(dāng)βsi值增大時(shí),估計(jì)誤差模型傳遞函數(shù)的幅頻特性衰減帶寬也隨之增大,意味著MVLESO的估計(jì)能力增強(qiáng),估計(jì)收斂性也得以改善.

圖2 不同βsi取值時(shí)估計(jì)誤差模型傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線Fig.2 Magnitude-frequency curves of transfer functions in estimation error models with different βsi

對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換,可得到時(shí)域響應(yīng)表達(dá)式

進(jìn)一步,可以得到時(shí)域響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

由此可見,對(duì)于階躍型干擾信號(hào),MVLESO對(duì)其估計(jì)誤差將隨時(shí)間趨于零.

3 仿真分析

本節(jié)通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證本文構(gòu)造的MVLESO在非線性系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)估計(jì)方面的有效性和精準(zhǔn)性,并通過方案對(duì)比分析展現(xiàn)其設(shè)計(jì)和性能方面的優(yōu)勢.

仿真中,選取的非線性系統(tǒng)如下所示:

針對(duì)所選取的非線性系統(tǒng),可構(gòu)造形如式(4)所示的MVLESO,其中

仿真中,對(duì)比方案選取為滑模干擾觀測器(Sliding mode disturbance observer,SMDO),其基本構(gòu)造形式如下:

式中,狀態(tài)觀測增益矩陣為K=diag{k1k2···kn},Q=diag{q1q2···qn},且ki＞0,qi＞0(i=1,2,···,n),向量函數(shù)sgn定義為

不失一般性,為了防止符號(hào)函數(shù)帶來的估計(jì)量高頻抖動(dòng)問題,此處將采用飽和函數(shù)代替式(23)中的符號(hào)函數(shù),隨之式(22)中的向量函數(shù)sgn將替代為向量函數(shù)sat,其定義如式(24)和式(25)所示.

式中,邊界層向量定義為δ=[δ1δ2···δn]T.這樣,原始觀測器(22)將轉(zhuǎn)變?yōu)楦倪M(jìn)型滑模干擾觀測器(Improved sliding mode disturbance observer,ISMDO),它將作為另外一種對(duì)比方案,其構(gòu)造形式如下:

為了驗(yàn)證MVLESO對(duì)時(shí)變干擾信號(hào)的估計(jì)效果,對(duì)系統(tǒng)施加控制量

然后,同時(shí)加入4個(gè)不同的時(shí)變干擾信號(hào),并分別選取為

此外,仿真系統(tǒng)的采樣步長為0.001s.

本文MVLESO觀測增益矩陣選取為

對(duì)比方案SMDO觀測增益矩陣選取為

下面首先給出SMDO對(duì)4個(gè)時(shí)變干擾信號(hào)的估計(jì)曲線,如圖3所示.

從圖3可以看出,當(dāng)SMDO中切換項(xiàng)增益取常值時(shí),其對(duì)時(shí)變干擾的估計(jì)曲線中出現(xiàn)高頻抖動(dòng)現(xiàn)象,直觀表現(xiàn)出原始SMDO的性能缺陷,進(jìn)一步體現(xiàn)出引入ISMDO方案的必要性.

采用飽和函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)之后,為了從一定程度上降低此處理方法造成的魯棒性能下降問題,可以適當(dāng)?shù)靥岣呔仃嘠的元素值,令

下面將對(duì)比ISMDO和MVLESO對(duì)4個(gè)時(shí)變干擾信號(hào)的估計(jì)曲線,如圖4所示.

圖3 SMDO對(duì)各干擾量的估計(jì)曲線Fig.3 Estimation curves of different disturbance variables by using SMDO

圖4 ISMDO和MVLESO對(duì)各干擾量的估計(jì)曲線Fig.4 Estimation curves of different disturbance variables by using ISMDO and MVLESO

從圖4可以看出,相比原始SMDO方案,ISMDO和MVLESO均可保證干擾估計(jì)信號(hào)的平滑性.然而,相比ISMDO方案,本文設(shè)計(jì)的MVLESO可以更為快速、精確地估計(jì)出當(dāng)前的干擾信號(hào)值.這樣,當(dāng)采用基于MVLESO干擾補(bǔ)償?shù)目刂撇呗詴r(shí),這種特性會(huì)大大增強(qiáng)非線性控制系統(tǒng)的魯棒性能,從而確保控制方案的有效實(shí)施.此外,滑模干擾觀測器方案在設(shè)計(jì)時(shí)需要預(yù)先得知或估計(jì)不確定性的上界值,其對(duì)干擾的估計(jì)精準(zhǔn)性在很大程度上依賴于對(duì)真實(shí)上界值的復(fù)現(xiàn)水平,但實(shí)際上系統(tǒng)不確定性的上界值是很難預(yù)先得知的,采用估計(jì)策略實(shí)時(shí)獲取該值也會(huì)進(jìn)一步增加算法的復(fù)雜程度和工程實(shí)現(xiàn)難度,從而體現(xiàn)出本文MVLESO在設(shè)計(jì)和性能上的雙重優(yōu)勢.

根據(jù)之前的分析,采用MVLESO的精準(zhǔn)估計(jì)并非是絕對(duì)的,即勢必會(huì)存在一定的估計(jì)誤差,各干擾量的估計(jì)誤差曲線如圖5所示.

此外,仿真還對(duì)MVLESO名義估計(jì)誤差與實(shí)際估計(jì)誤差進(jìn)行差值比較與分析.對(duì)于施加的4種干擾信號(hào),兩者的差值結(jié)果屬于10?15～10?14量級(jí),說明名義估計(jì)誤差與實(shí)際估計(jì)誤差是完全一致的,進(jìn)一步體現(xiàn)出不確定動(dòng)態(tài)估計(jì)誤差模型的正確性.名義估計(jì)誤差是指直接通過估計(jì)誤差模型(17)解算出的值,實(shí)際估計(jì)誤差指真實(shí)值與估計(jì)值之間的差值.

圖5 各干擾量的估計(jì)誤差曲線Fig.5 Estimation error curves of different disturbance variables

4 結(jié)論

本文針對(duì)一類多輸入多輸出非線性系統(tǒng),利用系統(tǒng)部分內(nèi)部動(dòng)態(tài)構(gòu)建一種MVLESO,用于實(shí)時(shí)估計(jì)非線性系統(tǒng)的多維不確定性向量.然后,分析其在不確定動(dòng)態(tài)估計(jì)方面的有界收斂性,同時(shí)推導(dǎo)出頻域估計(jì)誤差模型.計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果體現(xiàn)出構(gòu)造的MVLESO對(duì)非線性系統(tǒng)不確定動(dòng)態(tài)的估計(jì)精準(zhǔn)性,同時(shí)驗(yàn)證了本文推導(dǎo)出的頻域估計(jì)誤差模型的正確性.ESO對(duì)不確定動(dòng)態(tài)估計(jì)誤差的有界性,將作為基于ESO閉環(huán)控制方案穩(wěn)定性分析的前提條件.此類MVLESO的構(gòu)造是在非線性系統(tǒng)(1)狀態(tài)可測的條件下進(jìn)行的,當(dāng)其部分狀態(tài)不可測時(shí),還需要進(jìn)一步研究僅基于系統(tǒng)輸出信息的MVLESO,關(guān)于其構(gòu)造方法及估計(jì)收斂性分析可作為后續(xù)研究內(nèi)容.

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劉曉東 北京航天自動(dòng)控制研究所高級(jí)工程師.2013年獲北京航空航天大學(xué)博士學(xué)位.2013年7月至2015年7月在北京航天自動(dòng)控制研究所從事博士后研究工作.主要研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)與控制,伺服系統(tǒng)控制以及先進(jìn)控制理論.E-mail:liuxd_aerospace@yeah.net

(LIU Xiao-Dong Senior engineer at Beijing Aerospace Automatic Control Institute.He received his Ph.D.degree from Beihang University in 2013.From July 2013 to July 2015,he was working towards his postdoctoral research at Beijing Aerospace Automatic Control Institute.His research interest covers flight guidance and control,servo control,and advanced control theory.)

Multi-variable Linear Extended State Observer for a Class of Nonlinear Systems and Its Convergence Analysis

LIU Xiao-Dong1

For a class of nonlinear uncertain systems,a multivariable extended state observer(MVLESO)is constructed,and it is employed to estimate the uncertain dynamics of nonlinear system in real time.By means of the analysis method in frequency domain,the convergence property with respect to the estimation on uncertain dynamics of nonlinear system is analyzed.Furthermore,the estimation error model of uncertain dynamics is deduced in the form of frequency domain.Simulation results show that the as-built MVLESO can accurately estimate the current uncertain dynamics in nonlinear systems. This feature lays a foundation for the effective implementation of MVLESO-based robust control scheme.

Nonlinear system,extended state observer(ESO), activedisturbancerejection control(ADRC),convergence, frequency-domain analysis

劉曉東.針對(duì)一類非線性系統(tǒng)的多變量線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器及其收斂性分析.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2016,42(11):1758?1764

Liu Xiao-Dong.Multi-variable linear extended state observer for a class of nonlinear systems and its convergence analysis.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1758?1764

2015-10-27 錄用日期2016-05-03

Manuscript received October 27,2015;accepted May 3,2016

國家自然科學(xué)基金(61403355)資助

Supported by National Natural Science Foundation of China(61403 355)

本文責(zé)任編委季海波

Recommended by Associate Editor JI Hai-Bo

1.北京航天自動(dòng)控制研究所 北京100854

1.Beijing Aerospace Automatic Control Institute,Beijing 100854

DOI 10.16383/j.aas.2016.c150707