何德峰

約束非線性系統(tǒng)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)模型預(yù)測控制

何德峰1

考慮約束非線性系統(tǒng),提出一種新的具有穩(wěn)定性保證的經(jīng)濟(jì)模型預(yù)測控制(Economic model predictive control, EMPC)策略.由于經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)的非凸性和非正定性,引入關(guān)于經(jīng)濟(jì)最優(yōu)平衡點(diǎn)的正定輔助函數(shù).利用輔助函數(shù)的最優(yōu)值函數(shù)定義原始EMPC優(yōu)化問題的穩(wěn)定性約束.應(yīng)用終端約束集、終端代價(jià)函數(shù)和局部控制器三要素,建立閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于經(jīng)濟(jì)最優(yōu)平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性和漸近平均性能.進(jìn)一步,結(jié)合多目標(biāo)理想點(diǎn)概念,將提出的控制策略用于多個(gè)經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)的優(yōu)化控制,得到穩(wěn)定多目標(biāo)EMPC策略.最后,以連續(xù)攪拌反應(yīng)器為例,比較仿真結(jié)果驗(yàn)證本文策略的有效性.

模型預(yù)測控制,非線性系統(tǒng),經(jīng)濟(jì)優(yōu)化,穩(wěn)定性,多目標(biāo)控制

近年來,經(jīng)濟(jì)模型預(yù)測控制(Economic model predictive control,EMPC)在學(xué)術(shù)界和工業(yè)界受到了廣泛關(guān)注[1?15].EMPC的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是將過程實(shí)時(shí)控制與經(jīng)濟(jì)性能優(yōu)化集成在一個(gè)最優(yōu)控制的框架內(nèi)設(shè)計(jì)[1?2].不同于傳統(tǒng)MPC(Model predictive control)需要預(yù)先設(shè)定目標(biāo)值為前提(故也稱為目標(biāo)跟蹤型MPC)[1],EMPC原則上并不需要這樣一個(gè)前提[2].由于這類MPC性能函數(shù)通常與過程的經(jīng)濟(jì)(環(huán)保)性能相關(guān),故統(tǒng)稱為經(jīng)濟(jì)MPC.但該“經(jīng)濟(jì)”并不特指某個(gè)經(jīng)濟(jì)性能,而泛指一類非正定和(或)非凸的任意性能函數(shù).盡管如此,經(jīng)濟(jì)MPC和傳統(tǒng)MPC的實(shí)施機(jī)理一樣,即都采用滾動(dòng)時(shí)域方式實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)(或輸出)反饋控制[1?3],但直接優(yōu)化經(jīng)濟(jì)性能計(jì)算控制量給EMPC帶來更復(fù)雜的穩(wěn)定性問題[1,16].

常規(guī)EMPC穩(wěn)定性需引入強(qiáng)對偶性或耗散性假設(shè),并附加罰函數(shù)將經(jīng)濟(jì)性能函數(shù)轉(zhuǎn)換為正定性能函數(shù),再結(jié)合終端等式或不等式約束,建立EMPC的遞推可行性和閉環(huán)穩(wěn)定性[4?8,16?17].由于系統(tǒng)與性能函數(shù)不一定滿足正則性(Regulation)條件[6],約束非線性系統(tǒng)通常不滿足對偶性與耗散性假設(shè)[4].進(jìn)一步,由于附加項(xiàng)通常是平衡點(diǎn)偏差的函數(shù),將改變原經(jīng)濟(jì)性能的最優(yōu)路徑,影響原始經(jīng)濟(jì)性能,特別是終端等式約束加重了EMPC在線優(yōu)化的計(jì)算量,同時(shí)會減小EMPC的吸引域.針對終端約束對經(jīng)濟(jì)性能的影響,文獻(xiàn)[18]應(yīng)用耗散性和能控性假設(shè)建立了無終端約束EMPC穩(wěn)定性,但要求預(yù)測時(shí)域足夠大,而這將增加EMPC在線優(yōu)化的計(jì)算量.基于能控性假設(shè)和切換控制思想,文獻(xiàn)[19]提出了基于Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定EMPC策略,但為保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和漸近平均性能,需要在線求解三個(gè)非線性最優(yōu)控制問題[20],增加了EMPC運(yùn)行的復(fù)雜性.現(xiàn)有研究結(jié)果表明, EMPC的經(jīng)濟(jì)性能與穩(wěn)定性存在一定的矛盾[7,16].如何在優(yōu)化經(jīng)濟(jì)性能的同時(shí)確保閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是EMPC研究的一個(gè)關(guān)鍵問題.

另一方面,在工業(yè)過程經(jīng)濟(jì)目標(biāo)優(yōu)化操作中,通常存在多個(gè)相互矛盾的性能指標(biāo)[21?22],且這些性能指標(biāo)具有不同的物理含義.因?yàn)榧訖?quán)函數(shù)法使用簡單,在控制實(shí)踐中,通常被用來近似處理多目標(biāo)優(yōu)化控制問題.但各目標(biāo)加權(quán)系數(shù)的選擇與整定需要通過大量的離線實(shí)驗(yàn)完成,特別是在系統(tǒng)約束和目標(biāo)函數(shù)非凸的情況下,權(quán)值選擇與整定會異常困難[22?23].近年來,提出了一些新的多目標(biāo)優(yōu)化MPC設(shè)計(jì),如基于穩(wěn)態(tài)目標(biāo)規(guī)劃計(jì)算的雙層多目標(biāo)MPC[23]、參數(shù)規(guī)劃多目標(biāo)線性MPC[24]、混合邏輯整數(shù)規(guī)劃多目標(biāo)MPC[25?27]、考慮性能指標(biāo)優(yōu)先級要求的多目標(biāo)MPC[28?30]以及基于多目標(biāo)理想點(diǎn)跟蹤的多目標(biāo)MPC[31?32]等.由于理想點(diǎn)跟蹤多目標(biāo)MPC策略不需要人為選擇各性能的加權(quán)系數(shù),在不需要系統(tǒng)先驗(yàn)知識的條件下能自動(dòng)處理各個(gè)性能指標(biāo)的沖突性,成為目前廣受關(guān)注的一種多目標(biāo)MPC策略.但在理想點(diǎn)跟蹤多目標(biāo)MPC中,由于性能指標(biāo)相互沖突,折中性能函數(shù)在穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)不為零,即折中性能函數(shù)不是穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)的正定函數(shù),對應(yīng)的控制器通常不穩(wěn)定,因此可看作是一類特殊的EMPC問題,可采用EMPC方法建立理想點(diǎn)跟蹤多目標(biāo)MPC的閉環(huán)穩(wěn)定性.

本文考慮具有狀態(tài)和控制約束的非線性系統(tǒng),提出一種新的具有遞推可行性和穩(wěn)定性保證的EMPC策略.通過離線計(jì)算經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)的最優(yōu)平衡點(diǎn),引入關(guān)于該點(diǎn)偏差的正定輔助函數(shù).利用輔助函數(shù)的最優(yōu)值函數(shù)定義原始EMPC優(yōu)化問題的一個(gè)穩(wěn)定性約束.再應(yīng)用終端約束集、終端代價(jià)函數(shù)和局部控制器等三要素[3],建立閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于經(jīng)濟(jì)最優(yōu)平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性和漸近平均性能.與現(xiàn)有穩(wěn)定EMPC策略相比,本文的一個(gè)主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)是EMPC的遞推可行性和漸近穩(wěn)定性與非線性系統(tǒng)的強(qiáng)對偶性、耗散性條件無關(guān),從而簡化EMPC策略的設(shè)計(jì).進(jìn)一步，結(jié)合多目標(biāo)理想點(diǎn)法[31],將上述結(jié)果推廣至多個(gè)經(jīng)濟(jì)性能指標(biāo)的優(yōu)化控制問題,提出一種新的具有穩(wěn)定性保證的理想點(diǎn)跟蹤多目標(biāo)EMPC策略.最后以連續(xù)攪拌反應(yīng)器多目標(biāo)控制為例,對比仿真驗(yàn)證本文結(jié)果的有效性.

符號說明:集合R≥0和I≥0分別表示非負(fù)實(shí)數(shù)集和非負(fù)整數(shù)集.Ia:b={i∈I≥0:a≤i≤b},其中a∈I≥0和b∈I≥0.符號uk表示k∈I時(shí)刻的一個(gè)信號序列,系統(tǒng)在k∈I≥0時(shí)刻的狀態(tài)為系統(tǒng)在零時(shí)刻的狀態(tài).給定一個(gè)向量符號T表示的轉(zhuǎn)置,表示的p范數(shù),表示在第k時(shí)刻對

未來第k+i時(shí)刻的預(yù)測變量.

1 問題描述

考慮離散時(shí)間非線性系統(tǒng)

考慮經(jīng)濟(jì)性能函數(shù)Le:X×U→R.該函數(shù)關(guān)于連續(xù)且有界,但可能是非凸的且對于任意不一定是正定的.由文獻(xiàn)[16]可知,極小化這類性能函數(shù)的控制律不一定保證閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,甚至出現(xiàn)震蕩和周期響應(yīng).盡管周期響應(yīng)適用一些間歇工業(yè)過程,但大部分連續(xù)工業(yè)過程要求閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.本文目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)經(jīng)濟(jì)最優(yōu)狀態(tài)反饋控制律使閉環(huán)系統(tǒng)能漸近穩(wěn)定于最優(yōu)經(jīng)濟(jì)平衡點(diǎn)同時(shí)滿足系統(tǒng)狀態(tài)和控制約束(2),以及漸近平均性能條件

2 穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)預(yù)測控制

2.1 預(yù)測控制器

令N∈I≥1為預(yù)測時(shí)域,定義k時(shí)刻的N步預(yù)測控制序列和對應(yīng)預(yù)測狀態(tài)序列給定緊集XT?X,如果uk滿足?i∈I0:N?1,以及和則該控制序列稱為系統(tǒng)(1)的一個(gè)可行預(yù)測控制序列.

考慮系統(tǒng)(1)的一個(gè)可行預(yù)測控制序列uk及其對應(yīng)的預(yù)測狀態(tài)序列xk,定義如下目標(biāo)函數(shù):

為計(jì)算EMPC控制律,在每個(gè)時(shí)刻求解如下有限時(shí)域最優(yōu)控制問題

如果優(yōu)化問題(7)在k時(shí)刻是可行的,則根據(jù)滾動(dòng)時(shí)域控制原理,定義經(jīng)濟(jì)預(yù)測控制律如下:

本文將證明值函數(shù)(9)是系統(tǒng)(15)的Lyapunov函數(shù),建立閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于的漸近穩(wěn)定性結(jié)論.

算法1.(EMPC算法)

2.2 穩(wěn)定性與平均性能

顯然,XN滿足XT?XN?X,且XN?XN+1.

定理1.如果假設(shè)1和2成立,則對于任意給定α≥0,優(yōu)化問題(7)在XN內(nèi)具有遞推可行性,進(jìn)而XN是閉環(huán)系統(tǒng)(15)的一個(gè)不變集.

進(jìn)一步考慮控制序列(16),可得:

定理2.如果假設(shè)1和2成立,且優(yōu)化問題(7)在初始時(shí)刻存在可行解.給定α∈[0,1),則是閉環(huán)系統(tǒng)(15)在XN內(nèi)的漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn),且XN是閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)吸引域.

證明.任意給定α∈[0,1),由于優(yōu)化問題(7)在初始時(shí)刻是可行的.根據(jù)定理1可知,該優(yōu)化問題在任意k時(shí)刻存在可行解.

考慮假設(shè)1和2,將式(19)代入不等式(20)并整理得:

注3. 由定理2證明過程可知,閉環(huán)系統(tǒng)(15)的穩(wěn)定性是通過不等式(7e)建立的,即利用(Ea,XT,π)滿足假設(shè)1和2,使函數(shù)(9)成為閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù),因此式(7e)是一類基于Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定性約束.在常規(guī)的基于Lyapunov函數(shù)MPC策略[1,38]中,性能函數(shù)是關(guān)于平衡點(diǎn)偏差的正定函數(shù),故Lyapunov穩(wěn)定性約束是通過強(qiáng)制一個(gè)已知的正定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零構(gòu)造的,而本文采用MPC的三要素原理建立閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù),因此是兩種不同的穩(wěn)定性約束條件.其次,經(jīng)濟(jì)優(yōu)化問題(7)的最優(yōu)解并不能保證是優(yōu)化問題(8)的最優(yōu)解,而通常只是一個(gè)可行解;同理,盡管是優(yōu)化問題(8)的最優(yōu)解,但只是優(yōu)化問題(7)的一個(gè)可行解.盡管如此,結(jié)合定理1和MPC三要素原理可得,由最優(yōu)解定義的滾動(dòng)時(shí)域控制器同樣能保證的漸近穩(wěn)定性,且XN是對應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)吸引域.最后,控制序列(16)只是優(yōu)化問題(8)的一個(gè)可行序列,但不一定是優(yōu)化問題(7)的可行序列,因?yàn)椴坏仁?17)使得序列(16)不一定滿足約束(7e).

定理3.如果假設(shè)1和2成立,且優(yōu)化問題(7)在初始時(shí)刻存在可行解.如果給定α∈[0,1),則閉環(huán)系統(tǒng)(15)在吸引域XN內(nèi)滿足漸近平均性能(3).

即任意充分小ε＞0,總存在一個(gè)有限時(shí)間T?,當(dāng)T＞T?時(shí),式(24)成立.從而由極限理論可知,

結(jié)合式(25),對式(22)兩邊同時(shí)取極限,可得:

即閉環(huán)系統(tǒng)(15)在XN內(nèi)具有漸近平均性能. □

注 4.閉環(huán)系統(tǒng)的漸近平均性能(26)是建立在無窮時(shí)間域上的結(jié)果,因此,在任意一個(gè)有限時(shí)間區(qū)間的平均性能值不一定小于穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟(jì)性能

3 一類多目標(biāo)經(jīng)濟(jì)預(yù)測控制

上述穩(wěn)定EMPC策略可以推廣應(yīng)用到多經(jīng)濟(jì)目標(biāo)優(yōu)化控制問題.本節(jié)結(jié)合多目標(biāo)理想點(diǎn)概念[39],給出一種穩(wěn)定多目標(biāo)EMPC策略.

3.1 多目標(biāo)理想點(diǎn)

考慮l∈I≥2個(gè)連續(xù)且有界的性能函數(shù)Lj: X×U → R,j∈I1:l.令為函數(shù)向量.在多目標(biāo)優(yōu)化問題中,這些性能函數(shù)可能相互沖突,此時(shí)不存在唯一的最優(yōu)解同時(shí)極小化各個(gè)性能函數(shù)j∈I1:l.通常采用Pareto最優(yōu)解定義多目標(biāo)優(yōu)化問題的有效解,但Pareto最優(yōu)解通常不唯一(甚至無窮多個(gè)),并在目標(biāo)空間Rl形成一個(gè)Pareto面(Pareto front)[39].因此,文獻(xiàn)[28–30]等對具有優(yōu)先級排序的多目標(biāo)優(yōu)化控制問題,采用字典序多目標(biāo)優(yōu)化方法設(shè)計(jì)多目標(biāo)MPC控制器;而文獻(xiàn)[31–32]等對一類沖突但無排序要求的多目標(biāo)優(yōu)化控制問題,提出了理想點(diǎn)跟蹤多目標(biāo)MPC控制器設(shè)計(jì)等.

其中,向量p范數(shù)‖·‖p定義了目標(biāo)空間中性能值到理想點(diǎn)L?的距離.則本節(jié)的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)多目標(biāo)狀態(tài)反饋控制器使閉環(huán)系統(tǒng)在約束(2)作用下能漸近穩(wěn)定于Pareto解同時(shí)極小化一組性能函數(shù)為此,結(jié)合算法1和多目標(biāo)理想點(diǎn)法,設(shè)計(jì)一種理想點(diǎn)跟蹤多目標(biāo)優(yōu)化經(jīng)濟(jì)模型預(yù)測控制器.

3.2 多目標(biāo)EMPC

下面給出多目標(biāo)EMPC控制律(30)的實(shí)施步驟.

算法2.(多目標(biāo)EMPC算法)

1)系統(tǒng)在吸引域XN內(nèi)漸近穩(wěn)定于

2)系統(tǒng)在XN內(nèi)滿足如下性能:

證明.考慮性能函數(shù)(29),并利用定理1～3的結(jié)果直接得到定理4. □

4 實(shí)例仿真

考慮二元物系聚合過程連續(xù)攪拌釜反應(yīng)器[38],其動(dòng)態(tài)聚合過程可描述為

其中,CA、T和Tc分別為反應(yīng)物濃度(mol/L)、反應(yīng)器溫度(K)和冷卻劑溫度(K),模型參數(shù)為q=100 L/min,CAf=1 mol/L,UA=5×104J/min·K,ρ=1000 g/L,Cp=0.239 J/g·K, E/R=8750 K,k0=7.2×1010min?1,V=100 L,Tf=350 K,△H=?5×104J/mol.定義狀態(tài)變量和控制變量u=Tc,及狀態(tài)和控制約束

我們用多目標(biāo)優(yōu)化控制結(jié)果驗(yàn)證本文結(jié)果的有效性.

在聚合反應(yīng)過程中,通常希望增強(qiáng)聚合反應(yīng)速率以提高生產(chǎn)效率,即極小化性能函數(shù)

同時(shí)希望降低能源消耗,采用極小化性能函數(shù)

表示降低能源消耗.因此,一個(gè)理想的聚合反應(yīng)過程控制器應(yīng)該同時(shí)滿足上述兩個(gè)性能要求.

選擇向量2-范數(shù),定義折中經(jīng)濟(jì)性能函數(shù)

可以驗(yàn)證,三要素(40)滿足假設(shè)1和2.

在仿真中,采用歐拉差分法離散系統(tǒng)(34),取采樣周期為0.1 min,預(yù)測步長N為7,仿真總步長為30.采用MatLab 2007的fmincon函數(shù)優(yōu)化計(jì)算最優(yōu)控制問題(7)和(8).下面,先驗(yàn)證本文結(jié)果的正確性,再與文獻(xiàn)[6]等提出的EMPC策略、常規(guī)目標(biāo)跟蹤型MPC策略做比較以驗(yàn)證本文結(jié)果的優(yōu)越性.

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)一

選取系統(tǒng)初始狀態(tài)(0.7 mol/L,320 K),運(yùn)行算法2,仿真結(jié)果如圖1所示.其中,實(shí)線為α=0的仿真結(jié)果;虛線為α=0.3的仿真結(jié)果;點(diǎn)劃線為α=0.7的仿真結(jié)果;點(diǎn)線為α=0.99的仿真結(jié)果.需要指出的是:為了更清楚地顯示值函數(shù)在不同α取值時(shí)的差異,圖1右下子圖的時(shí)間坐標(biāo)截取為前20步.由圖1可知,對于系數(shù)α∈[0,1),值函數(shù)都是單調(diào)遞減的.因此,由算法2產(chǎn)生的多目標(biāo)EMPC及其閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定于Pareto最優(yōu)穩(wěn)態(tài)解且在所有時(shí)刻滿足狀態(tài)和控制約束(35).

盡管對系數(shù)α∈[0,1),閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,但不同值對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和經(jīng)濟(jì)性能是不一樣的,圖2給出了上述取值時(shí)的性能實(shí)時(shí)曲線.分析圖1和2可知,α取值越小,值函數(shù)下降越快,閉環(huán)系統(tǒng)趨于最優(yōu)平衡點(diǎn)的時(shí)間越短,但經(jīng)濟(jì)性能可能會下降,如圖2左子圖實(shí)線所示.反之亦然,如對應(yīng)α=0.99的點(diǎn)線所示,盡管在30步仿真時(shí)間內(nèi),閉環(huán)系統(tǒng)還沒有收斂至平衡點(diǎn),但它的性能指標(biāo)L1可以達(dá)到更小的值.因此,設(shè)計(jì)者可以通過調(diào)整α取值對閉環(huán)系統(tǒng)的收斂速度和經(jīng)濟(jì)性能進(jìn)行權(quán)衡,從而提高經(jīng)濟(jì)預(yù)測控制器應(yīng)用的靈活性.

圖1 狀態(tài)軌跡、控制輸入和值函數(shù)曲線Fig.1 Profiles of states,control and value functions

4.2 仿真實(shí)驗(yàn)二

為驗(yàn)證本文控制策略的優(yōu)越性,對比文獻(xiàn)[6]等提出耗散EMPC策略(簡記為D-EMPC)和目標(biāo)跟蹤MPC策略(簡記為T-MPC).由于T-MPC策略的性能函數(shù)總是設(shè)定值偏差的正定函數(shù)[1?2],因此在該次實(shí)驗(yàn)中,令正定函數(shù)(39)為T-MPC策略的性能函數(shù).考慮初始狀態(tài)(0.7 mol/L,320 K),圖3給出了本文策略和其余兩種策略在相同仿真環(huán)境下的控制結(jié)果.其中,實(shí)線表示本文策略(α=0.2)對應(yīng)結(jié)果;點(diǎn)線表示D-MPC策略對應(yīng)結(jié)果;虛線表示T-MPC策略對應(yīng)結(jié)果;右下子圖符號“*”表示性能理想點(diǎn),“o”表示最優(yōu)平衡點(diǎn)對應(yīng)的經(jīng)濟(jì)性能.

圖2 性能函數(shù)實(shí)時(shí)曲線Fig.2 Real-time profiles of cost functions

圖3 狀態(tài)軌跡、控制輸入和性能函數(shù)相位曲線Fig.3 Profiles of states,control,and cost functions

由圖3分析可知,本文策略和T-MPC策略對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)漸近收斂至而D-MPC策略對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)在暫態(tài)響應(yīng)過程中出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象(如控制輸入u),同時(shí)存在穩(wěn)態(tài)誤差(如反應(yīng)器溫度x2),這主要是因?yàn)镈-EMPC策略要求被控系統(tǒng)和經(jīng)濟(jì)性能函數(shù)滿足嚴(yán)格耗散性條件.但對于非線性系統(tǒng),嚴(yán)格耗散性條件很難成立[5],如本例中的聚合過程(34)和經(jīng)濟(jì)性能(38)不滿足嚴(yán)格耗散性條件,從而D-EMPC策略不能保證閉環(huán)系統(tǒng)收斂至對應(yīng)的性能相位曲線也不能收斂至最優(yōu)平衡點(diǎn)對應(yīng)的經(jīng)濟(jì)性能“o”,如圖3右下子圖點(diǎn)線所示.另一方面,盡管本文策略和T-MPC策略的閉環(huán)系統(tǒng)都收斂至但收斂路徑不一樣.如果以進(jìn)入穩(wěn)態(tài)解±5%為界,那么本文策略對應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的收斂過渡時(shí)間小于T-MPC策略閉環(huán)系統(tǒng)的收斂過渡時(shí)間,從而加快閉環(huán)系統(tǒng)的過渡響應(yīng)過程.

令A(yù)v{L1}和Av{L2}分別表示性能函數(shù)(36)和(37)的漸近平均性能,則進(jìn)一步比較三種策略取得的漸近平均性能.取足夠大的仿真時(shí)間步長100,圖4和表1分別給出了三種策略關(guān)于性能函數(shù)(36)和(37)的瞬時(shí)性能和漸近平均性能.圖4中實(shí)線為本文策略對應(yīng)的結(jié)果;點(diǎn)線為D-MPC策略對應(yīng)的結(jié)果;虛線表示T-MPC策略對應(yīng)結(jié)果.由圖4分析可知,對于本文策略和T-MPC策略取得的平均性能較優(yōu)于D-MPC策略;對于三種策略取得的平均性能較為接近.進(jìn)一步,以D-MPC策略取得的漸近平均性能值作為參考基準(zhǔn),對于本文策略和T-MPC策略分別增效1.52%和1.69%;對于本文策略和T-MPC策略分別增效0.34%和0.27%.綜合圖3和4和表1結(jié)果,驗(yàn)證了本文策略在性能優(yōu)化方面的優(yōu)越性.

圖4 性能函數(shù)的瞬時(shí)值曲線Fig.4 Real-time value profiles of cost functions

表1 漸近平均性能Table 1 Asymptotic average performance

5 結(jié)語

本文針對約束非線性系統(tǒng),提出了一種新的穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)MPC策略.通過引入關(guān)于經(jīng)濟(jì)最優(yōu)平衡點(diǎn)的輔助正定函數(shù),并利用輔助函數(shù)的最優(yōu)值函數(shù)定義原始EMPC優(yōu)化問題的一類穩(wěn)定性約束.應(yīng)用常規(guī)MPC的終端約束集、終端代價(jià)函數(shù)和局部控制器三要素方法,建立了閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于經(jīng)濟(jì)最優(yōu)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定性和漸近平均性能的充分條件.結(jié)合多目標(biāo)理想點(diǎn)法,將提出EMPC策略推廣至多經(jīng)濟(jì)目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化控制問題.建立了多目標(biāo)EMPC策略的漸近穩(wěn)定性充分條件.通過對連續(xù)攪拌反應(yīng)器多目標(biāo)優(yōu)化控制的對比研究,驗(yàn)證了本文結(jié)果的有效性.

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何德峰 浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院教授.2008年獲得中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自動(dòng)化系博士學(xué)位.主要研究方向?yàn)轸敯襞c預(yù)測控制.

E-mail:hdfzj@zjut.edu.cn

(HE De-Feng Professor at the College of Information Engineering,Zhejiang University of Technology.He received his Ph.D.degree from the Department of Automation,University of Science and Technology of China in 2008.His research interest covers robust and predictive control.)

Stabilizing Economic Model Predictive Control of Constrained Nonlinear Systems

HE De-Feng1

This paper proposes a novelty economic model predictive control(EMPC)scheme with guaranteed stability for constrained nonlinear systems.Some auxiliary positive-definite functions at economy optimal equilibrium points are introduced for economic performance functions that are generally non-convex and non-positive-definite.The optimal value function of the auxiliary function is used to define an adjustable stability constraint which is imposed on the original EMPC optimization problem.By the triplet of terminal constrained sets,terminal penalty functions and local controllers, it is proved that the closed-loop system is asymptotically stable at the economically optimal equilibrium point and has an asymptotic average performance.Moreover,the proposed EMPC scheme is extended to optimization control of multiple economic performance functions,together with the concept of multi-objective utopia points.Then a stabilizing multiobjective EMPC scheme is presented.Finally,the effectiveness of the obtained results is illustrated by a simulation example of a continuously stirred tank reactor.

Model predictive control(MPC),nonlinear systems,economic optimization,stability,multi-objective control Citation He De-Feng.Stabilizing economic model predictive control of constrained nonlinear systems.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1680?1690

何德峰.約束非線性系統(tǒng)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)模型預(yù)測控制.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2016,42(11):1680?1690

2015-04-20 錄用日期2016-06-30

Manuscript received April 20,2015;accepted June 30,2016

國家自然科學(xué)基金(61374111),浙江省公益技術(shù)應(yīng)用研究計(jì)劃項(xiàng)目(2015C31057)資助

Supported by National Natural Science Foundation of China (61374111),Public Welfare Technology Application Research Project of Zhejiang Province(2015C31057)

本文責(zé)任編委喬俊飛

Recommended by Associate Editor QIAO Jun-Fei

1.浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院杭州310023

1.College of Information Engineering,Zhejiang University of Technology,Hangzhou 310023

DOI 10.16383/j.aas.2016.c150234