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蹇桂花 ●

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數(shù)學(xué)高考中求解范圍問題常見錯誤分析

甘肅省平?jīng)鍪腥A亭一中(744000)

蹇桂花 ●

趙振威主編的《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》(第一分冊總論)中，對數(shù)學(xué)的特點歸結(jié)為三性：抽象性、精確性和應(yīng)用的廣泛性.數(shù)學(xué)的精確性，指的是數(shù)學(xué)具有邏輯的嚴密性和結(jié)論的確定性.

而由于數(shù)學(xué)的精確性的要求，我們在做題時，只要思維上有一丁點疏忽，便會導(dǎo)致結(jié)論大相徑庭.

近幾年高考中，求解參數(shù)的范圍問題是熱點，幾乎年年都考，但對學(xué)生而言又是難點、易錯點，得分偏低.本文就學(xué)生在求解范圍時，常見的錯誤加以整理、分析錯因，希望對大家有警醒作用.

一、審題粗枝大葉，致誤

(1)求圓O的方程；

設(shè)P(x,y),則有|PO|2=|PA|·|PB|,∴x2-y2=2.

二、未挖掘題目中的隱含條件，致誤

又∵∠C=2∠B且△ABC為銳角三角形,

錯因 此時選項B、C均符合，應(yīng)由三角形內(nèi)角和定理，再求出∠A，保證∠A也為銳角.否則，只由∠B、∠C為銳角，并不能確定△ABC為銳角三角形.

例3 設(shè)實數(shù)x,y滿足2x2-6x+y2=0,求x2+y2+2x的最大值.

錯解 ∵2x2-6x+y2=0, ∴y2=-2x2+6x.

令h(x)=x2+y2+2x=-x2+8x.

而函數(shù)h(x)的對稱軸為x=4,

∴當x=4時，h(x)取得最大值為h(4)=16.

錯因 錯解只由已知條件將y2作了代換，未考慮題中隱含y2≥0這一條件，導(dǎo)致函數(shù)h(x)定義域擴大.

正解 由y2=-2x2+6x≥0得0≤x≤3.對函數(shù)h(x)=-x2+8x而言，其定義域為[0,3].

∴h(x)max=h(3)=15.

三、錯用不等式性質(zhì)，擴大范圍致誤

例4f(x)=ax2-c滿足-4≤f(1) ≤-1， -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍.

又f(3)=9a-c, ∴-7≤f(3) ≤26.

錯因 多次用不等式的不可逆性質(zhì)，造成范圍擴大，而且在求出a、c各自的范圍時，破壞了a與c之間原有的關(guān)系，把不等式完全當做等式用了，從而導(dǎo)致錯誤.

正解 此題解法較多，在這只以“待定系數(shù)法”為例說明.

∵-4≤f(1) ≤-1，-1≤f(2) ≤5

設(shè)f(3)=λ1(a-c)+λ2(4a-c),則有9a-c=(λ1+4λ2)a-(λ1+λ2)c,

-1≤9a-c≤20,

∴-1≤f(3) ≤20.

四、對概念理解不透，導(dǎo)致范圍擴大，致誤

錯因 只考慮了每段上的情況，未考慮分點處的情況，但題中說是在(-∞,+∞)上為減函數(shù)，錯誤的本質(zhì)是對減函數(shù)概念理解不透徹.

正解 ∵f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù),

五、未注意定理條件，致誤.

∴(x+y)min=16.

錯因 學(xué)生在解題時，沒有考慮均值不等式中等號成立的條件.(Ⅰ)處取等條件為

(Ⅱ)處取等條件為x=y，這樣兩個取等條件矛盾.

∴x+y的最小值不是16.

解得x=6，y=12, ∴(x+y)min=18.

求解范圍問題雖然是難點﹑熱點﹑易錯點，但錯因要么是審題不仔細﹑不挖掘題意，要么是對知識點理解不深刻，一知半解，模模糊糊，而數(shù)學(xué)因其精確性和思維的嚴密性而著稱，真正是失之毫厘謬以千里.我們在平時做題時，一定要養(yǎng)成認真審題，對易錯﹑易混點及時整理，分析錯因，做一個題弄懂這一類題的習慣.這樣，無論面對怎樣的考試，我們才能得心應(yīng)手，準確解答.

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