浙江省金華市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高中部 (321000)

傅鮮兵 ●

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一類二次函數(shù)絕對(duì)值問(wèn)題的解法探究

浙江省金華市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高中部 (321000)

傅鮮兵 ●

二次函數(shù)與絕對(duì)值知識(shí)的結(jié)合，使得題型變得新穎，解法變得靈活，思維變得抽象.筆者結(jié)合2015年浙江高考理科第18題及2015年金麗衢十二校聯(lián)考二模填空第15題，談一談對(duì)二次函數(shù)絕對(duì)值問(wèn)題中，包含區(qū)間，最值一類問(wèn)題的解法.針對(duì)該類題型，反解系數(shù)法可謂是絕妙！

一、緣起

例1(2015年浙江高考理科第18題) 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

(1)證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a,b)≥2;

(2)當(dāng)a,b滿足M(a,b)≤2時(shí)，求|a|+|b|的最大值.

二次函數(shù)在高考中常出常新，而2015年浙江高考理科卷18題的出現(xiàn)，又喚起了我們對(duì)這類問(wèn)題的思考，與對(duì)過(guò)往經(jīng)典的致敬！

二、思考

1.編過(guò)這類試題的老師都會(huì)發(fā)現(xiàn)，這類含絕對(duì)值、區(qū)間、最值問(wèn)題的處理方法，主要是發(fā)現(xiàn)端點(diǎn)的函數(shù)值，對(duì)稱軸的函數(shù)值與最值之間的聯(lián)系.而端點(diǎn)函數(shù)值往往與最值相吻合，即端點(diǎn)最值！因?yàn)樵谄渌闆r下，題目很難編，情況會(huì)變得十分復(fù)雜，不適合出考題.基于這樣的想法，代端點(diǎn)可以秒殺2015年金麗衢十二校聯(lián)考二模數(shù)學(xué)理填空把關(guān)題即第15題！端點(diǎn)代入，秒殺解題：

三、解決

1.向經(jīng)典致敬

例3(1998年“希望杯”高三賽題) 若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),對(duì)一切x∈[0,1],恒有|f(x)|≤1.

(1)對(duì)所有這樣的f(x)，求|a|+|b|+|c|可能的最大值；(2)試給出一個(gè)這樣的f(x)，使|a|+|b|+|c|確實(shí)取到上述最大值.

(2)取a=8,b=-8,c=1即可.

這道題是不老的傳奇，影響了此后很多年.其實(shí)例2即金麗衢12校二模數(shù)學(xué)理填空15題即源于此！端點(diǎn)時(shí)取到最值，對(duì)稱軸時(shí)取到最值的相反數(shù)，如出一轍！

2.反解系數(shù)法解決例1第二問(wèn)

解 (2)∵f(1)=1+a+b,f(-1)=1-a+b,

又∵M(jìn)(a,b)≤2,|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2.

易見(jiàn)a=±2,b=1時(shí)，|a|+|b|取到最大值3.

不難看出，該題可以由端點(diǎn)最值秒殺！ 即端點(diǎn)取到最值時(shí)！這些所謂的難題，難逃此率！

從二次函數(shù)的角度分析，不論a,b,c怎么取值，f(x)在區(qū)間上的最值只能是端點(diǎn)函數(shù)值或者對(duì)稱軸時(shí)的函數(shù)值.這里需要特別指出的是要將二次函數(shù)中的系數(shù)a,b,c用端點(diǎn)函數(shù)值與對(duì)稱軸函數(shù)值表示，然后運(yùn)用絕對(duì)值不等式，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.這就是解決這類問(wèn)題的一般解題思考方法.

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