張志國, 張媛媛, 安宏偉, 張鳳軒

(1.石家莊鐵道大學 四方學院, 河北 石家莊 050228；2.石家莊學院 化工學院, 河北 石家莊 050035)

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中國古代數(shù)學家李冶數(shù)學文化及教育思想研究

張志國1, 張媛媛2, 安宏偉1, 張鳳軒1

(1.石家莊鐵道大學 四方學院, 河北 石家莊 050228；2.石家莊學院 化工學院, 河北 石家莊 050035)

李冶是中國數(shù)學史上宋元四大名家之一，他不僅是一位杰出的數(shù)學家，而且也是一名著名的教育家。他先進的數(shù)學文化及教育思想對現(xiàn)代高校數(shù)學教育仍然具有很強的指導(dǎo)和借鑒意義。本文主要從李冶輝煌的數(shù)學成就、先進的數(shù)學文化觀和認識論、先進的數(shù)學教育理念以及卓越的實踐教育活動等對李冶數(shù)學文化及教育思想進行系統(tǒng)研討，旨在從中得到新的教益和啟發(fā)。

李冶；天元術(shù)；半符號代數(shù)；數(shù)學文化思想

李冶(公元1192-1279年)，字仁卿，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州(今河南禹縣)知事，1232年鈞州被蒙古軍攻破，遂隱居山林，開始了漫長而艱苦的流亡生涯，從此也進入了他長達40余年的研究授業(yè)生涯。李冶興趣極其廣泛，在數(shù)學、文學、史哲和醫(yī)學領(lǐng)域均有建樹，尤其在數(shù)學方面取得了開創(chuàng)性的研究成果，所編著的《測圓海鏡》和《益古演段》兩部巨著是中國古代方程代數(shù)學的奠基大作，與秦九韶、楊輝和朱世杰一起被譽為“宋元數(shù)學四大家”[1]。李冶在取得輝煌數(shù)學成就的同時，也積累形成了豐富的數(shù)學教育思想，時至今日，仍有研究和指導(dǎo)意義。

一、李冶輝煌的數(shù)學研究成就

(一)《測圓海鏡》的體系及內(nèi)容評述

天元術(shù)是一種用數(shù)學符號列方程的方法，我國古代很早就有了列方程的思想，早在漢代的《九章算術(shù)》中就出現(xiàn)了相當于現(xiàn)代的二次方程，到唐代王孝通已能列出三次方程，但是這些方程都是采用文字表述形式，還沒有明確提出未知數(shù)的概念。后經(jīng)北宋賈憲、劉益等人的探索，已可以進行高次方程正根的求解。隨著所解決數(shù)學問題的日益復(fù)雜，迫切需要一種普遍的建立方程的方法，在北宋時期天元術(shù)便應(yīng)運而生，其中洞淵、石信道等都是天元術(shù)的先驅(qū)，此外在當時北方也出了不少有關(guān)天元術(shù)的算書。但還都存在有記號混亂、內(nèi)容復(fù)雜，演算煩瑣，初學者不易掌握等問題，為了普及和推廣天元術(shù)，李冶在山西桐川時就對前人的天元術(shù)著作及應(yīng)用進行了系統(tǒng)研究，將天元術(shù)改進成一種既簡便又實用的演算方法。后來他又受洞淵算書的啟發(fā)，把勾股容圓(即切圓)問題作為一個系統(tǒng)進行研究，討論了在各種條件下用天元術(shù)求圓徑的問題，最終寫成《測圓海鏡》[2]，這是他對中國古代數(shù)學的杰出貢獻。

1.建立了我國數(shù)學史上第一個演繹體系

《測圓海鏡》一書共分十二卷，卷一主要包括：“圓城圖式”、“今問正數(shù)”、“總率名號”、“識別雜記”等，相當于解題所需的定義、定理、公式[3-4]。卷二至卷十二問題的解法均可依據(jù)卷一以天元術(shù)為工具推導(dǎo)出來。在此之前的算書一般采取問題集的形式，各章(卷)內(nèi)容基本平列。李冶首次以演繹體系著書，這是中國數(shù)學史上的一大進步。

2.建立了我國數(shù)學史上第一個構(gòu)造性體系

《測圓海鏡》中的“圓城圖式”，均是采用數(shù)學圖式的方法構(gòu)造出來的，它是以一個勾股形及其內(nèi)切圓為基礎(chǔ)，通過一系列的垂直和平行線段，構(gòu)造出了16個勾股形，這些垂直和平行線段都可以用尺規(guī)做出。書中例題都是已知某些勾股形的邊長，求圓的直徑。書中的選題都是構(gòu)造性的，所有問題的解答步驟都形成了較為完整的結(jié)構(gòu)體系。

清代李善蘭等眾多數(shù)學家繼承和發(fā)展了這一結(jié)構(gòu)體系[5]，可見這種構(gòu)造性體系具有很強的生命力和較高的應(yīng)用價值。

3.實現(xiàn)了代數(shù)方程的開創(chuàng)性突破

在我國宋代以前，方程理論一直受到傳統(tǒng)的幾何思維的束縛，對三次以上方程問題鮮有學者觸及。天元術(shù)的出現(xiàn)及發(fā)展，為我國古代數(shù)學方程理論獨立于幾何創(chuàng)造了條件，在《測圓海鏡》一書中，李冶明確提出了引入未知數(shù)列方程和解方程的一般程序，該書代表了他對天元術(shù)的進一步完善和創(chuàng)新，也標志著完成了方程理論擺脫幾何束縛的重大思想突破。李冶用天元術(shù)已能列出最高達6次的代數(shù)方程，他突破了“實常為正”的傳統(tǒng)觀念，方程各項的符號均無限制，還給出了分式方程，以及通過方程兩邊同乘一個整式的方法，化分式方程為整式方程的基本方法。他巧妙地應(yīng)用方程解決幾何問題，真正做到了數(shù)形結(jié)合。

4.創(chuàng)立了半符號代數(shù)

在《測圓海鏡》算式中，李冶使用了由○到九的完整數(shù)碼，發(fā)明了負號和簡明的小數(shù)記法。其中一到九是延用古代籌式碼的記數(shù)方法，○碼則首次被采用，用于表示數(shù)中的空位，或算式中系數(shù)為零的項，這樣使方程表述更加完整簡潔，形成了完整的十進制計數(shù)體系。李冶發(fā)明了先進的小數(shù)記法，他一改前人用分、厘、毫、絲表述數(shù)位的表述方法，開創(chuàng)性地使用數(shù)碼表示小數(shù)。純小數(shù)則于個位處畫個圓圈，帶小數(shù)則于個位數(shù)下寫單位[3]。如0.25記作(○=|||||)等。

之前雖也有人能列出低次方程，但都采用語言文字描述，表達繁瑣且難懂，使用起來非常不便。李冶改變了用文字描述方程的傳統(tǒng)做法，發(fā)明并使用了一套完整的數(shù)字符號及性質(zhì)符號，使方程能夠用符號完整地表示出來。他創(chuàng)立了“半符號代數(shù)”(缺少四則運算符號)，可以視為近代符號代數(shù)的前身[6]。而在他去世大約300年后，類似的半符號代數(shù)才在歐洲產(chǎn)生。

(二)《益古演段》內(nèi)容及意義

李冶在《益古演段》序中說：“今之算者，未必有劉(徽)李(淳風)之工，而編心踞見，不肯曉然示人唯務(wù)隱互錯揉故為溪滓黯哭，唯恐學者得窺其仿佛也?！薄兑婀叛荻巍肪褪窃谒@種思想指導(dǎo)下而編著的?！稖y圓海鏡》是以天元術(shù)為基礎(chǔ)的一本代數(shù)專著，其內(nèi)容較深，初學者不易讀懂，這就給天元術(shù)的推廣與應(yīng)用帶來嚴重影響。李冶深知天元術(shù)的重要性，1259年他在封龍書院收徒講學的同時，還編著了用于詮釋天元術(shù)理論的入門教材《益古演段》[2]。這是李冶的另一部重要的數(shù)學著作，也是他對中國古代數(shù)學的又一重大貢獻。

1.《益古演段》是一部詮釋與推廣天元術(shù)的專著

李冶曾讀過北宋蔣周的《益古集》，書中的問題大都是已知平面直角的面積，求解圓的直徑、方邊和周長，李冶利用天元術(shù)對《益古集》進行了系統(tǒng)研究，寫成《益古演段》三卷(分為卷上、卷中和卷下)，全書共給出64題，除4題為一次方程外，其余各題均為二次方程，處理的主要是有關(guān)平面圖形的面積計算問題。該書圖文并茂，深入淺出，用人們易懂的幾何方法對難懂的天元術(shù)理論進行詮釋，它是一部適于推廣與應(yīng)用天元術(shù)的專著。

2.《益古演段》是對天元術(shù)理論的進一步完善

《益古演段》在理論上也有所創(chuàng)新，主要表現(xiàn)在化多元為一元問題以及設(shè)輔助未知數(shù)的方法．書中的問題與《測圓海鏡》不同，所求的量有時不止1個，而是2個、3個甚至4個。依據(jù)古代方程理論:“二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之?！蓖ǔ６际抢梅匠绦g(shù)求解，所含方程的個數(shù)應(yīng)于所求量的個數(shù)相一致。但是，由于求解二次方程要比解一次方程要復(fù)雜的多，李冶為了提高天元術(shù)的一般化程度，以便解決各種多元問題，他利用出入相撲原理(即：一個平面圖形移到另一處，面積不變，如果把該圖形切割成若干塊，那么各部分面積的總和等于原來圖形的面積，因而圖形移置前后各面積間的和、差具有相等關(guān)系)及等量關(guān)系來消減未知數(shù)的個數(shù)，化多元為一元，最后只?！疤煸弧保次粗獢?shù)。只要求出天元一，其它所要求的量根據(jù)其與天元一的關(guān)系，就可以很容易地求得。李冶采取的這種連枝同體術(shù)，有效克服了解聯(lián)立方程比較繁瑣的問題，這是對天元術(shù)理論的進一步完善。

3.《益古演段》是一部新舊方法對比的經(jīng)典之作

在《益古演段》中，李冶選用《益古集》中的問題，全部采用新舊對比的方法進行作答，既給出了新的代數(shù)方法，即天元術(shù)求解的方法；同時又列舉了蔣周的幾何方法，即條段法。條段法較為直觀，但復(fù)雜多變，使用該方法需要掌握很多技巧，不易初學者學習和掌握；而天元術(shù)在列方程和解方程時則更為簡便，是一種程序化的方法，便于學習和掌握。正如李冶所言：“遂再為移補條段，細翻圖式，使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉?！蓖ㄟ^對比，他揭示了兩種求解方法的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，并借助演段法的等積變換，來驗證天元術(shù)，由淺入深、循序漸進地講解和詮釋天元術(shù)理論[5,7]。《益古演段》結(jié)構(gòu)完整、圖文并茂，簡明易懂，是一部新舊方法對比應(yīng)用的經(jīng)典之作。

綜上所述，《益古演段》雖然是一部詮釋和推廣天元術(shù)的入門教材，但它卻閃爍著李冶數(shù)學創(chuàng)新思想的光輝。它不僅提高了數(shù)學的機械化程度，而且還為全面推廣與應(yīng)用天元術(shù)開創(chuàng)了廣闊的前景。

二、李冶先進的數(shù)學文化觀和認識論

(一) 數(shù)學的實用性——“施之人事，最為切務(wù)”

“術(shù)數(shù)雖居六藝之末，而施之人事，則最為切務(wù)。”李冶深刻認識到數(shù)學的應(yīng)用價值，進而堅定了他研究數(shù)學的信念，確立了他“施之人事，最為切務(wù)”的數(shù)學教育理念。李冶生長在金元交替時代，深受儒家思想的熏陶與啟迪。在青年時期，李冶在數(shù)學方面并無建樹，他曾對自己50歲之前的學術(shù)經(jīng)歷進行過總結(jié)，自己概括為三個主要階段：20～30歲，熱衷于寫文章；30～40歲，致力于獲取升華；40～50歲，沉迷于數(shù)理研究。他客觀地總結(jié)了自己的前半生，重新確立了自己的人生觀和價值觀，最終走向數(shù)學研究的道路。這完全是建立在他認識到數(shù)學廣泛的實用性的基礎(chǔ)之上。據(jù)記載，在他88歲臨終前，他囑托他的兒子：“吾平生著述，死后可盡燔去。獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數(shù)，吾嘗精思致力焉。后世必有知者，庶可布廣垂永乎!”[2]這表明他已充分認識到數(shù)學的重要應(yīng)用價值和前景。

后來，天元術(shù)成功地應(yīng)用于天文學和水利學之中。元代王恂(1235—1281)和郭守敬(1231—1316)在編制《授時歷》時，應(yīng)用天元術(shù)測算周天弧度，沙克什(1278—1351)用天元術(shù)測算水利工程問題，取得良好效果。這些都驗證了李冶對數(shù)學應(yīng)用價值的正確認識。

(二)數(shù)理可知性 ——“推自然之理，以為自然之數(shù)”

李冶認為：數(shù)出于自然，人們可以通過概念去把握數(shù)的客觀規(guī)律，數(shù)理可窮。同時，他也發(fā)現(xiàn)“彼其數(shù)不惟不能得其凡，而吾之力且憊矣”，人的認識是有限的，窮極數(shù)的全部規(guī)律是困難的，數(shù)理可窮而難窮。但是“謂數(shù)之難窮斯可，謂數(shù)之不可窮斯不可”。要解決這種客觀存在的矛盾，就必須積極進取，不斷創(chuàng)新。他的數(shù)學觀和認識論是客觀的，也是唯物辯證的，他承認數(shù)理的可知性。他說：“吾欲以力強窮之，使隸首(傳說中發(fā)明數(shù)學的人)復(fù)生，亦未如之何也已”，提出了個人知識的有限性。同時“茍能推自然之理，以明自然之數(shù)”，“則又何為而不可窮也”。他這種數(shù)理可知的觀念，不僅在數(shù)學思想發(fā)展史上具有重要意義，而且也是人類科學史上一份寶貴的精神財富。愛因斯坦(Albert Einstein，1879—1995)曾經(jīng)指出：“相信世界在本質(zhì)上是有秩序的和可以認識的這一信念，是一切科學工作的基礎(chǔ)”。這種觀念與李冶數(shù)理可知觀念是完全相同的。

(三)道技統(tǒng)一性—— “道即術(shù)，術(shù)即道”

宋元時期，程(程顥、程頤)朱(熹)理學的影響巨大，他們都極力推崇唯心的“理先于物”，輕視科學技術(shù)研究，認為數(shù)學是“九九賤技”，于仕途無補。李冶駁斥說：“由技兼于事者言之，夷之理，夔之樂，亦不免為一技；由技進乎道者言之，石之斤，扁之輪，非圣人之所與乎?”他的觀念與道家崇尚自然、尊重科學的思想不謀而合。他不迷信當時社會奉為經(jīng)典的儒學和理學，認為“道之所在，圣人尊之”，圣人的禮樂是技藝，工匠所使用的工具也是受圣人稱道的技藝，他們之間沒有本質(zhì)差別。他認為：數(shù)學是“施之人事，則最為切務(wù)”。道和技在切合使用的基礎(chǔ)上是統(tǒng)一的，“小數(shù)之假所以為大道之歸”，科學規(guī)律來源于數(shù)學，又通過數(shù)學得以體現(xiàn)出來。從而使他在追求數(shù)學規(guī)律的道路上充滿了信心。李冶堅定“道技統(tǒng)一”的數(shù)學觀，終生追求，無怨無悔。正如《測圓海鏡》序言中所說的那樣：“覽吾之編，察吾苦心，其憫我者當百數(shù)，其笑我者當千數(shù)，乃若吾之所得則自得焉耳，寧復(fù)為人憫笑計哉!”[2,6]這些都表達了一位數(shù)學家潛心研究，不計榮辱高尚的精神世界和人生價值觀。

李冶一生，勤學不輟，儒道兼融。他沖破傳統(tǒng)觀念的束縛，確立了先進的數(shù)學觀和認識論，潛心于數(shù)學研究，他所撰寫的兩部數(shù)學名著流傳后世。這是李冶的偉大成就，也是李冶先進數(shù)學觀和認識論的最佳體現(xiàn)。

三、李冶先進的數(shù)學教育理念與實踐

李冶不僅是一位舉世公認的、杰出的數(shù)學家，同時也是一位著名的教育家。他生于金元交替的戰(zhàn)亂年代，雖有為官報效朝廷的理想與愿望，但生不逢時未能如愿，終究半生流離失所，最終卻選擇了潛心研究學問之路，在醫(yī)學、文史等，尤其數(shù)學領(lǐng)域取得了顯著的學術(shù)成就，同時，他還廣納弟子，努力將自己的成果“曉然示人”。他從不把自己的成就束之高閣，而是秉承孔圣人 “有教無類”的教育思想。不僅使天元術(shù)得以完善，而且還有力地促進了天元術(shù)的推廣與應(yīng)用。他一生追求學問，樂此不疲，并傳徒授業(yè)，注重知識的傳播與社會應(yīng)用效益。

(一)發(fā)展了我國古代北方著名的“封龍書院”

封龍書院始于唐，而興于元，是中國古代民間教育的產(chǎn)物。元代私立書院林立，學術(shù)氣氛濃厚，李冶所主持的“封龍書院”就是其中的一個杰出代表[8]。1251年，年逾花甲的李冶結(jié)束了他的流亡生涯，回到他少年時期曾經(jīng)求學的元氏縣定居，在封龍書院，他一邊收徒講學，一邊對天元術(shù)理論繼續(xù)進行研究。由于李冶平易近人，善于因材施教、循循善誘，全國各地學子慕名而來，其中不乏有青年人，也有中年人，甚至還有一些地方官員也親自前來聽課或登門求教。由于學生眾多，家中容納不下，他就購置田產(chǎn)，在北宋李昉(925—996)讀書堂的故基上重建了“封龍書院”。他在封龍書院講學二十多年，以數(shù)學教育為主，同時講授文史知識，培養(yǎng)出大批優(yōu)秀人才。元朝大將、中書右丞相史天澤父子三人均出自他的門下，廉訪使荊幼紀、集賢學士焦養(yǎng)直、廉訪僉事張翼、翰林修撰承直郎王德淵等名人賢士，也都是李冶的學生[2]。王德淵曾稱贊他的老師“于六藝百家，靡不川貫”。

由于他治學嚴謹，學生受益匪淺，各地官府都樂意聘用他的學生。后人稱頌李冶為文正公(李冶的謚號)。

(二)提出了“曉然示人”的先進教育思想

李冶認為：“術(shù)數(shù)雖居六藝之末，而施之人事，則最為切務(wù)?！崩钜敝螌W，重在明理求故，注重深入淺出，倡導(dǎo)循序漸進，反對故弄玄虛。李冶既是“曉然示人”教育理念的積極倡導(dǎo)者，也是這一先進教育理念的積極實踐者。在他精心撰寫的《測圓海鏡》中，每道題都是按“問”、“答”、“法”、“草”四步進行闡述，使讀者一目了然，耳目一新，便于學生理解與掌握[2]。正是基于他先進的教育理念，進而培養(yǎng)出大批優(yōu)秀人才，使天元術(shù)得以廣泛傳播；也正是基于他這一先進理念，才使得他撰寫的《測圓海鏡》和《益古演段》成為中國古代數(shù)學的經(jīng)典之作，而得以世代傳承。

(三)體現(xiàn)了“因材施教”的教育理念

李冶的教育思想真可謂稱得起是儒道交融，兼顧其它體系。他對人性的善惡有著自己獨特的見解和認識。他時常說：“世之勸人以學者，動必誘之以道德之精微，此可為上性言之，非所以語中下者也……因其所為而引之，則吾之勸之者易以入，而聽之者易以進也?！边@都充分反映出他順應(yīng)人性、以人為本，因材勸學、因人施教的先進教育理念。他對前往封龍書院求學的學子，不限年齡、不限出身，不嫌窮富，且實施因材施教，有教無類，他因材施教的教育理念對后世具有深遠的影響[9]。他所撰寫的兩部專著，循序漸進，深入淺出，觸類旁通，為實現(xiàn)數(shù)學教育的大眾化、規(guī)范化和程序化提供了基礎(chǔ)。

(四)形成了先進的數(shù)學教育方法

1.深入淺出，曉然示人

李冶摒棄“隱互錯揉、溟涬黯黮”的教學方法，提倡“曉然示人”的數(shù)學教育理念，致力于使“粗知十百者”掌握數(shù)學規(guī)律。他講授天元術(shù)首先從“方圓冪積”講起，由淺入深、循序漸進，力求使初學者能夠盡快理解和掌握其要領(lǐng)[4,10]。

2.新舊對比，舉一反三

在《測圓海鏡》的選題中，李冶既給出洞淵或石道信的解題方法，又給出了他的全新的解題方法，使讀者能夠直接體會到天元術(shù)思維方法的先進性和科學性。在《測圓海鏡》中，許多問題都給出多種解題方法，他這種一題多解、舉一反三的教育思想對于開拓學生思維是大有裨益的[10]。

3.借助直觀，詮釋理論

為了解決天元術(shù)理論較深，不易被初學者理解和掌握的問題，他借助形象直觀的幾何條段法去詮釋和解決天元術(shù)的有關(guān)問題，取得了顯著效果。這種幾何與代數(shù)方法相結(jié)合的思想，則成為此后數(shù)學家用天元術(shù)研究解決幾何問題的一種基本模式。

四、結(jié)語

李冶所著《測圓海鏡》和《益古演段》，體現(xiàn)了他在天元術(shù)研究方面的卓越成就，首次發(fā)展了半符號代數(shù)表示方法，并應(yīng)用于幾何學問題的規(guī)范化求解，標志著代數(shù)開始獨立于幾何學發(fā)展的開端。他沖破當時的社會思想束縛，深刻認識了數(shù)學的應(yīng)用前景，并通過授徒講學加以弘揚和普及，體現(xiàn)了“曉然示人”、“因材施教”、“舉一反三”、“深入淺出、循序漸進”等許多先進的教育思想和教育理念。他不畏艱難，勇于創(chuàng)新，在顛沛流離、條件艱苦的中年時代，也能堅持潛心研究，完成《測圓海鏡》這部數(shù)學巨著；晚年又毅然放棄在元朝為官的機會，用通俗易懂語言，簡明易記、新舊對比的方法精心編著了他的另一部巨著《益古演段》，他對中國古代數(shù)學發(fā)展做出了重大貢獻。他既通過著書立說表現(xiàn)先進的數(shù)學文化思想，也通過親身實踐來弘揚這種先進的思想和理念，他先進的數(shù)學文化及教育思想不僅在當時頗具影響，而且對于現(xiàn)代高校數(shù)學教育仍然具有十分重要的指導(dǎo)和借鑒意義。

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Research on the Mathematics Culture and Education Thought of Chinese Ancient Mathematician Li-Ye

Zhang Zhiguo1, Zhang Yuanyuan2, An Hongwei1, Zhang Fengxuan1

(1.Sifang College Shijiazhuang Tiedao University, 050228, China;2.Department of Chemical Industry, Shijiazhuang University, 050035, China)

Li Ye is one of the four great famous mathematicians during Song and Yuan dynasties in China. Not only is he an outstanding mathematician, but also a famous educator. His advanced mathematics culture and education thought still has the very strong guidance and the

ignificance to the modern university mathematics education. This article researched mainly from Li Ye's brilliant achievements in mathematics, advanced mathematics culture thought and epistemology, advanced mathematics education idea and excellence in education practice activities etc, aiming to get new lessons and inspiration.

Li-Ye;Tianyuan technique;semi symbolic algebra;mathematical culture

2095-0365(2016)04-0046-05

2016-07-25

張志國(1972-)，男，教授，研究方向：結(jié)構(gòu)工程。

G521

A

10.13319/j.cnki.sjztddxxbskb.2016.04.08

本文信息:張志國,張媛媛,安宏偉,等.中國古代數(shù)學家李冶數(shù)學文化及教育思想研究[J].石家莊鐵道大學學報：社會科學版，2016，10(4)：46-50.