趙競(jìng)哲，石 霞

(1. 北京郵電大學(xué)理學(xué)院，北京市 100876；2. 北京郵電大學(xué)理學(xué)院，北京市 100876)

時(shí)滯對(duì)化學(xué)突觸耦合的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)放電節(jié)律的影響

趙競(jìng)哲1，石 霞2

(1. 北京郵電大學(xué)理學(xué)院，北京市 100876；2. 北京郵電大學(xué)理學(xué)院，北京市 100876)

大腦中許多功能區(qū)可以呈現(xiàn)出不同形式的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)振蕩活動(dòng)，它們反映群體神經(jīng)元的同步活動(dòng)以及大腦的不同功能狀態(tài)。高頻節(jié)律反映的是大腦局部區(qū)域較快的信息處理，低頻節(jié)律則能夠反映外部的感覺(jué)輸入和內(nèi)部的認(rèn)知事件的動(dòng)態(tài)驅(qū)動(dòng)在不同腦區(qū)的傳播過(guò)程。這些不同形式的振蕩活動(dòng)分別在大腦處理、傳遞和整合感覺(jué)信息，鞏固記憶，以及一些高級(jí)認(rèn)知活動(dòng)（如注意行為）中發(fā)揮重要的作用。其中，調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)活動(dòng)的振蕩特性是實(shí)現(xiàn)這些腦功能的可能機(jī)制之一。本文發(fā)現(xiàn)突觸的連接強(qiáng)度增大，可以加強(qiáng)同步。隨著時(shí)滯的增大，在初始周期T的整數(shù)倍處，簇中spiking的個(gè)數(shù)會(huì)逐漸增加。神經(jīng)元的頻率會(huì)屬于不同波段，且會(huì)出現(xiàn)混合振蕩的狀態(tài)。對(duì)于小的時(shí)滯，振蕩是低頻的。當(dāng)時(shí)滯超過(guò)一定的值之后，網(wǎng)絡(luò)從低頻變?yōu)楦哳l低頻共存的狀態(tài)，出現(xiàn)了混合振蕩狀態(tài)，并且這種轉(zhuǎn)換快速且穩(wěn)定。

時(shí)滯；HH神經(jīng)元模型；可塑性；節(jié)律

本文著錄格式：趙競(jìng)哲，石霞. 時(shí)滯對(duì)化學(xué)突觸耦合的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)放電節(jié)律的影響[J]. 軟件，2016，37（11）：09-13

0 引言

作為大腦活動(dòng)節(jié)奏控制器的神經(jīng)元同步，可以形成腦電波的某些頻率[1]，具有很重要的作用，并且有時(shí)神經(jīng)元的同步會(huì)誘發(fā)一些如帕金森綜合征等的疾病，因此關(guān)于腦電波頻率的研究引起了很多學(xué)者的注意。

1924年，德國(guó)醫(yī)生漢斯·貝格爾（Hans Berger）從一個(gè)顱骨受損的病人頭部，檢測(cè)到極為微弱的電流。隨后又經(jīng)過(guò)腦科學(xué)界幾十年的研究成果，神經(jīng)

科學(xué)界、國(guó)際腦波學(xué)會(huì)根據(jù)腦波頻率將腦電波分成：δ 波[1,3] θ 波[4,7] α 波[8,13] β 波[14,30] γ 波[30,100]。這些不同形式的振蕩活動(dòng)分別在大腦處理、傳遞和整合感覺(jué)信息，鞏固記憶，以及一些高級(jí)認(rèn)知活動(dòng)（如注意行為）中發(fā)揮重要的作用。其中，調(diào)制神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)活動(dòng)的振蕩特性是實(shí)現(xiàn)這些腦功能的可能機(jī)制之一。

在大多數(shù)的物理和生態(tài)系統(tǒng)中，時(shí)滯是普遍存在的。它主要來(lái)源于信號(hào)有限的傳播速度。由于時(shí)滯的出現(xiàn)，使得有限的動(dòng)力系統(tǒng)變?yōu)闊o(wú)窮維的系統(tǒng)，從而誘導(dǎo)了更為復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)特性，因此時(shí)滯耦合系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為引起了很多學(xué)者的關(guān)注。Ramana等人研究了時(shí)滯耦合的兩極限環(huán)的動(dòng)力學(xué)行為。Rossoni等人研究了具有時(shí)滯和類(lèi)脈沖作用的兩個(gè)耦合的 Hodgkin-Huxley神經(jīng)元的發(fā)放行為。研究表明在時(shí)滯的作用下，兩耦合神經(jīng)元可以達(dá)到振蕩消失現(xiàn)象和在同步等豐富的發(fā)放模式[2]。這些研究充分說(shuō)明了時(shí)滯在耦合神經(jīng)系統(tǒng)中有著重要的作用。

真實(shí)的神經(jīng)系統(tǒng)通常都是動(dòng)態(tài)的，因此我們不僅要考慮神經(jīng)元?jiǎng)恿ο到y(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的高度非線性和復(fù)雜性，還要討論神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的時(shí)變性、魯棒性和易損性等問(wèn)題，其中涉及的一個(gè)重要問(wèn)題是學(xué)習(xí)和記憶功能，這與突觸可塑性[3-8]研究密切相關(guān)。

本文的目的是研究突觸可塑性參數(shù)對(duì)神經(jīng)元發(fā)放和頻率的影響。我們選取了HH模型[9-11]，因?yàn)閺纳韺W(xué)研究的角度，它是量化描述電生理現(xiàn)象很成功的一個(gè)模型。并且從非線性動(dòng)力學(xué)和數(shù)學(xué)研究角度，其具有多變量、高度非線性和強(qiáng)耦合的特點(diǎn)。在本文中，我們首先建立了簇放電的神經(jīng)元模型，然后研究了在神經(jīng)元系統(tǒng)中，神經(jīng)元的放電模式。最后我們探究了神經(jīng)元節(jié)律的變化。

1 神經(jīng)元模型

大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)元按照形態(tài)和功能一般可分為谷氨酸能的椎體細(xì)胞和γ-氨基丁酸能的中間神經(jīng)元[12]。其中中間神經(jīng)元主要分布在局部腦區(qū)內(nèi)部，對(duì)局部腦區(qū)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行調(diào)節(jié)[13]。大量研究表明，中間神經(jīng)元對(duì)大腦振蕩模式的產(chǎn)生及知覺(jué)、睡眠、記憶等相關(guān)功能都有重要作用[14]。

本文使用的是全局耦合的HH神經(jīng)元模型，每個(gè)中間神經(jīng)元都滿足下列動(dòng)力學(xué)方程。

其中，σ是最大突觸電導(dǎo)；ija是連接矩陣，如果神經(jīng)元i和j相連則為1，否則為0。synE為逆轉(zhuǎn)電位(如果synE足夠小，例如為-80 mV，則突觸為抑制性的；如果synE足夠大，例如為0 mV，則突觸為興奮性的)。

我們使用通過(guò)可塑性化學(xué)突觸耦合的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)，其中網(wǎng)絡(luò)為全耦合的抑制性中間神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)計(jì)算神經(jīng)元的初始為0時(shí)）平均周期（神經(jīng)元兩次發(fā)放的平均時(shí)間間隔）T大約為10 ms。神經(jīng)元數(shù)目為100，在[1,2]之間隨機(jī)取值，實(shí)驗(yàn)?zāi)M時(shí)間為1500 ms。

2 結(jié)果

我們首先研究中間神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的同步與放電行為。圖1展示了在沒(méi)有突觸后電流時(shí)，神經(jīng)元的放電是混亂的。

我們可以看到隨著時(shí)滯d的增大（圖2），時(shí)空放電圖的“放電帶”越來(lái)越寬，我們隨機(jī)去其中一個(gè)神經(jīng)元畫(huà)出其膜電位圖，發(fā)現(xiàn)隨著d的增加，神經(jīng)元產(chǎn)生簇放電并且簇寬逐漸變大，每個(gè)簇間“尖峰”的個(gè)數(shù)在逐漸增多。

有趣的是，在數(shù)值結(jié)果中我們發(fā)現(xiàn)，簇間“尖峰”的個(gè)數(shù)的增多呈現(xiàn)出一定的周期性（圖2未顯示出）。

圖1 突觸后電流為0時(shí)，中間神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的發(fā)放狀態(tài)Fig.1 The state of the interneuron network when postsynaptic current is 0

圖2 抑制性突觸時(shí)滯d不同時(shí)，神經(jīng)元的時(shí)空放電圖和與之對(duì)應(yīng)的膜電位圖。時(shí)滯從上到下分別為10、30、60(ms)時(shí)，神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的放電與神經(jīng)元的膜電位變化。其他參數(shù)為σ0.3=Fig.2 The spatiotemporal pattern of neurons and the corresponding membrane potential maps with different delay.The delay from top to bottom are respectively 10, 30, 60 (ms). Other parameter for σ0.3=

為了更好的觀察這一現(xiàn)象，我們研究了在取不同的σ時(shí)，隨著時(shí)滯的逐漸增大，每個(gè)簇間“尖峰”個(gè)數(shù)的變化。當(dāng)σ的值比較小時(shí)，幾乎沒(méi)有規(guī)律，但是當(dāng)σ大于某個(gè)值之后，每個(gè)簇間“尖峰”（spiking）個(gè)數(shù)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，尤其是在σ＞0.1后變化基本相同，我們驚奇的發(fā)現(xiàn)，個(gè)數(shù)的增加大約出現(xiàn)在初始周期T的整數(shù)倍處，如圖3所示。

時(shí)滯delay變化是簇中spiking個(gè)數(shù)圖(σ ＞0.1后變化基本相同)可以看出在T的整數(shù)倍，個(gè)數(shù)會(huì)逐漸增加如圖3所示。

除了研究簇中spiking個(gè)數(shù)的變化，我們還觀察了單個(gè)神經(jīng)元的頻率與時(shí)滯d的關(guān)系。隨著時(shí)滯的增大，神經(jīng)元的振蕩頻率會(huì)屬于不同波段，并且存在低頻和高頻兩個(gè)區(qū)域，如圖5所示。

圖3 不同σ隨delay變化，一個(gè)周期內(nèi)簇中spiking數(shù)的變化。σ的取值分別為0.005、0.01、0.02、0.05Fig.3 The number of spikes in one burst on delay with different σ. The value of σ is 0.005、0.01、0.02、0.05

圖4 σ＞0.1之后簇中spiking個(gè)數(shù)圖Fig.4 The number of spikes in one burst on delay after σ＞0.1

圖5 單個(gè)神經(jīng)元的頻率變化。其中參數(shù)σ=0.3Fig.5 The change of frequency in single neuron

對(duì)于小的時(shí)滯（delay）d區(qū)域，振蕩是低頻的。當(dāng)時(shí)滯d超過(guò)一定的值cd之后，網(wǎng)絡(luò)從低頻變?yōu)楦哳l低頻共存的狀態(tài)，出現(xiàn)了混合振蕩狀態(tài)。這種轉(zhuǎn)換快速且穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)滯τ較小時(shí)，抑制性突觸電流在一個(gè)周期內(nèi)衰減較快，因此它們會(huì)在下一個(gè)循環(huán)的神經(jīng)元放電之前消失，不會(huì)對(duì)下一個(gè)神經(jīng)元放電產(chǎn)生影響。此時(shí)cd為10 ms，并且每次循環(huán)簇中spiking個(gè)數(shù)會(huì)每隔10 ms增加一個(gè)。也就是高頻振蕩的頻率大約在100 HZ左右。

對(duì)于較長(zhǎng)的時(shí)滯（delay），一個(gè)周期內(nèi)的突觸抑制性電流會(huì)延續(xù)到下一個(gè)周期。這些延續(xù)到下一周期的抑制性突觸電流會(huì)抑制神經(jīng)元放電，促使周期之間增大，這也就造成了低頻頻率在逐漸減小的現(xiàn)象。對(duì)于足夠大的時(shí)滯（delay），神經(jīng)元的頻率會(huì)維持在 α 波段?；旌系?α 和 γ 節(jié)律會(huì)在腦認(rèn)知功能中起重要作用。高頻節(jié)律反映的是大腦局部區(qū)域較快的信息處理，低頻節(jié)律則能夠根據(jù)外部的感覺(jué)輸入和內(nèi)部的認(rèn)知事件動(dòng)態(tài)驅(qū)動(dòng)不同腦區(qū)的傳播過(guò)程。傳統(tǒng)的觀點(diǎn)認(rèn)為具有快和慢抑制性突觸的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)是形成特殊類(lèi)型振蕩的基本條件，但是我們的結(jié)果提供了一個(gè)全新的視角，我們發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)的時(shí)滯也會(huì)導(dǎo)致混合振蕩。

3 結(jié)論

本文主要研究時(shí)滯對(duì)通過(guò)可塑性化學(xué)突觸耦合

的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)放電節(jié)律的影響。我們發(fā)現(xiàn)突觸的連接強(qiáng)度增大，可以加強(qiáng)同步。隨著時(shí)滯的增大，在初始周期T的整數(shù)倍處，簇中spiking個(gè)數(shù)會(huì)逐漸增加。接著我們關(guān)注時(shí)滯對(duì)神經(jīng)元的放電節(jié)律影響。隨著時(shí)滯的增大，神經(jīng)元的頻率會(huì)屬于不同波段，且會(huì)出現(xiàn)混合振蕩的狀態(tài)。對(duì)于小的時(shí)滯，振蕩是低頻的。當(dāng)時(shí)滯超過(guò)一定的值之后，網(wǎng)絡(luò)從低頻變?yōu)楦哳l低頻共存的狀態(tài)，出現(xiàn)了混合振蕩狀態(tài)。這種轉(zhuǎn)換快速且穩(wěn)定。對(duì)于足夠大的時(shí)滯（delay），神經(jīng)元的頻率會(huì)維持在 α 波段?；旌系?α 和 γ 節(jié)律會(huì)在腦認(rèn)知功能中起重要作用。傳統(tǒng)的觀點(diǎn)認(rèn)為具有快和慢抑制性突觸的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)是形成特殊類(lèi)型振蕩的基本條件，但是我們的結(jié)果提供了一個(gè)全新的視角，我們得到的結(jié)果對(duì)研究神經(jīng)元的節(jié)律及其控制有一定的參考作用。

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The Effects of Delay on Oscillations Rhythm of Neuron Network With Inhibitory Synapses

ZHAO Jing-zhe, SHI Xia
(Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876, China)

Many functional areas of the brain can exhibit different forms of oscillatory brain activity, which reflect the synchronous activities of the group of neurons and the different functional states of the brain. The high frequency rhythm reflects the information processing of the local area of the brain. The low frequency rhythm is able to reflect the external sensory input and the internal cognitive events of the dynamic drive in different brain areas of the communication process. These different forms of oscillatory activity play an important role in brain processing, transmission and integration of sensory information, consolidation of memory, and some advanced cognitive activities (such as attentional behavior). Among them, adjusting the oscillation characteristics of neural network activity is one of the possible mechanisms to achieve these brain functions. Synchronization is enhanced as the synaptic connection increases. With the increasing of delay in the integer times the initial cycle of T, the number of spiking in one cluster will gradually increase. In particular, this paper have shown that short inhibitory delays could cause regular spiking, while a sufficiently long delay may lead to the appearance of mixed oscillations.

Delay; Hodgkin-huxley model; Synaptic; Oscillations rhythm

TN911

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2016.11.003

國(guó)家自然科學(xué)基金（11272065）

趙競(jìng)哲(1991-)，女，研究生在讀。

石霞(1975-)，女，副教授，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的非線性動(dòng)力學(xué)研究。