王　扉，胡永彪，丁　玲

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基于太陽(yáng)陰影軌跡的經(jīng)緯度估計(jì)研究

王扉，胡永彪，丁玲

（湖南城市學(xué)院，湖南益陽(yáng) 413000）

本文針對(duì)視頻文件的拍攝地點(diǎn)及日期的估計(jì)問題，根據(jù)天文學(xué)知識(shí)，建立了影子長(zhǎng)度和方位角針隨觀測(cè)地經(jīng)緯度、觀測(cè)時(shí)間變化的參數(shù)模型。對(duì)已知觀測(cè)日期和未知觀測(cè)日期的兩種情形，以影子長(zhǎng)度的比和影子方位角的差總體誤差最小為目標(biāo)，分別構(gòu)建了兩個(gè)優(yōu)化模型。數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了所給模型與算法的可行性。

太陽(yáng)高度角；太陽(yáng)方位角；地理位置；多目標(biāo)規(guī)劃

現(xiàn)代科技的發(fā)展使得人們能夠更為方便地記錄高質(zhì)量的視頻文件。在分析視頻材料時(shí)，有時(shí)需要確定視頻的拍攝地點(diǎn)及日期，而利用天文學(xué)知識(shí)，對(duì)視頻物體中的太陽(yáng)影子變化進(jìn)行分析是確定視頻拍攝地點(diǎn)及日期的一種有效方法。

通過對(duì)視頻進(jìn)行圖像處理，可得出各個(gè)時(shí)刻直桿的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)。難點(diǎn)在于通過所得出的坐標(biāo)數(shù)據(jù)找出視頻拍攝的地點(diǎn)和日期。需要我們建立在地球不同地點(diǎn)（經(jīng)緯度）、不同日期時(shí)刻下，描述物體影子長(zhǎng)度變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而基于所建模型給出視頻拍攝日期和可能的地點(diǎn)。

1 影子隨時(shí)間變化模型

首先，我們建立一個(gè)物體影子長(zhǎng)度和方位角隨著時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型。

假設(shè)地球是圓球體， 觀測(cè)點(diǎn)附近地面水平，太陽(yáng)照射地球?yàn)橹本€照射，不考慮大氣折射所引起的誤差和每日早晨和黃昏時(shí)候太陽(yáng)高度角的假視。

太陽(yáng)高度角和方位角是表征太陽(yáng)位置的參數(shù)，確定了陽(yáng)光對(duì)于地球表面任意一點(diǎn)的來(lái)向。如圖1所示，太陽(yáng)高度角是太陽(yáng)(視為一質(zhì)點(diǎn)O)與地球表面任意一點(diǎn)P的連線與過P點(diǎn)的地平面之間的夾角，記為;太陽(yáng)方位角是上述連線在過P點(diǎn)的地平面上的投影線與地平面上過P點(diǎn)正南方位線的夾角，記為。

圖1 太陽(yáng)高度角和方位角的空間視圖

太陽(yáng)赤緯是指太陽(yáng)的直射緯度，即地球赤道平面與太陽(yáng)和地球中心的連線之間的夾角。太陽(yáng)赤緯角可由下列公式求得[2]，單位為度，準(zhǔn)確度＜0.035：

太陽(yáng)時(shí)角是過P點(diǎn)的經(jīng)度平面和太陽(yáng)所在經(jīng)度平面之間的夾角。太陽(yáng)連續(xù)兩次上中天的時(shí)間間隔叫做真太陽(yáng)日，1真太陽(yáng)日分為24真太陽(yáng)時(shí)。真太陽(yáng)時(shí)12點(diǎn)時(shí)，太陽(yáng)正好通過當(dāng)?shù)刈游缇€，此時(shí)的影長(zhǎng)最短。故通常以當(dāng)?shù)卣嫣?yáng)時(shí)12點(diǎn)對(duì)應(yīng)的太陽(yáng)時(shí)角為零，每隔一時(shí)區(qū)相差15度來(lái)計(jì)量太陽(yáng)時(shí)角，即

其中為真太陽(yáng)時(shí)。

日常生活中所使用的時(shí)間是平太陽(yáng)時(shí)。真太陽(yáng)時(shí)與平太陽(yáng)時(shí)的差值稱為時(shí)差。時(shí)差的計(jì)算方法如下[3]，單位為分鐘：

綜上所述，太陽(yáng)高度角為

方位角通常以南點(diǎn)為0°，向西為正值，向東為負(fù)值。故

(8)

將(6)代入(8)得影長(zhǎng)隨時(shí)間變化關(guān)系：

以直桿底端為原點(diǎn)，水平地面為xy平面，正東方向?yàn)閤軸正方向，正北方向?yàn)閥軸正方向，建立一平面直角坐標(biāo)系。則影子末端點(diǎn)的坐標(biāo)為

2 經(jīng)緯度估計(jì)模型

下面，我們考慮這樣一個(gè)問題：假設(shè)一直桿垂直于地面，以直桿底端為原點(diǎn)，水平地面為xy平面建立一平面直角坐標(biāo)系。已知一組影子末端坐標(biāo)隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，如何估算觀測(cè)地的經(jīng)緯度？

我們分兩種情形考慮，問題1：已知觀測(cè)日期，求觀測(cè)地的經(jīng)緯度；問題2：未知觀測(cè)日期，觀測(cè)地的經(jīng)緯度和觀測(cè)日期。

問題1：已知觀測(cè)日期的經(jīng)緯度估計(jì)

因?yàn)橐阎^測(cè)年、月、日，則由式(1)-(4)可計(jì)算出赤緯度和時(shí)差。問題1可轉(zhuǎn)化為關(guān)于影子長(zhǎng)度比與方位角差的誤差的加權(quán)平方和的優(yōu)化問題：

由幾何知識(shí)易知在同一經(jīng)線圈上必存在兩點(diǎn)使得它們的太陽(yáng)高度角相同。以影子長(zhǎng)比的誤差為目標(biāo)函數(shù)（），只考慮到影子長(zhǎng)度隨著時(shí)間變化規(guī)律，理論上有兩個(gè)不同緯度的最優(yōu)解；而以影子方位角差的誤差為目標(biāo)函數(shù)（）考慮到影子隨著時(shí)間旋轉(zhuǎn)方向，北半球地平面上影子一般是順時(shí)針方向變化，而南半球地平面上影子是逆時(shí)針方向變化，故理論上只有唯一解。

該問題的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的梯度較難計(jì)算，故可以采用直接法求解，例如單純形法，參見[4]。求解模型(11)的具體算法如下：

算法1（已知觀測(cè)日期的經(jīng)緯度估計(jì)）

第1步初始化，按(9)和(10)，由給定觀測(cè)時(shí)間和坐標(biāo)計(jì)算影長(zhǎng)比和方位角差；

第2步按(1)、(2)和(4)，由給定觀測(cè)日期計(jì)算積日，赤緯和時(shí)差；

第3步用二次多項(xiàng)式擬合估計(jì)初始經(jīng)度；

第4步用單純形法求模型(11)的近似最優(yōu)解。

說明：除南北極附近以外，影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化均是由日出時(shí)影長(zhǎng)無(wú)限大縮短到當(dāng)?shù)卣缱疃逃伴L(zhǎng)，然后再增長(zhǎng)到日落時(shí)無(wú)限大。由于影長(zhǎng)的變化規(guī)律的對(duì)稱性，可以用二次線擬合觀測(cè)時(shí)間和數(shù)據(jù)。設(shè)影長(zhǎng)關(guān)于時(shí)間的擬合曲線最小值點(diǎn)為，以為當(dāng)?shù)卣绫本r(shí)間近似值，則由(5)得，當(dāng)?shù)亟?jīng)度約為

經(jīng)過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)觀測(cè)到的影長(zhǎng)變化率成線性（10-14點(diǎn)左右太陽(yáng)）時(shí)，擬合二次曲線的極小點(diǎn)與當(dāng)?shù)卣缯`差較小，當(dāng)觀測(cè)到的影長(zhǎng)變化較顯著（8-9點(diǎn)或15-16點(diǎn)太陽(yáng)）時(shí)，擬合二次曲線的極小點(diǎn)可以加上或減去1小時(shí)的修正量來(lái)估計(jì)當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)刻，當(dāng)觀測(cè)到的影長(zhǎng)變化特別顯著（6-7點(diǎn)或17-18點(diǎn)太陽(yáng)）時(shí)，二次曲線擬合就會(huì)嚴(yán)重失真。

問題2：未知觀測(cè)日期的經(jīng)緯度估計(jì)

類似于問題1的討論，問題2可歸結(jié)為如下非線性優(yōu)化問題：

由于一年中太陽(yáng)在南北回歸線來(lái)回?cái)[動(dòng)，赤緯角和時(shí)差的變化呈周期性，一年中通常存在兩日太陽(yáng)的赤緯角和時(shí)差相同，從而太陽(yáng)高度角和方位角也相同，使得模型(12)存在兩個(gè)局部極小值點(diǎn)。

模型(12)是一個(gè)整數(shù)混合優(yōu)化問題，很難直接求解，我們采用對(duì)積日雙層遍歷搜索方法。

算法2 （已知觀測(cè)日期的經(jīng)緯度估計(jì)）

第一步按積日從6開始每增加10日調(diào)用算法1，求得總體誤差最小和次小對(duì)應(yīng)的經(jīng)緯度和積日；

第二步再分別對(duì)該兩個(gè)積日前后5天進(jìn)行搜索，并以第一次搜索所得經(jīng)緯度為初值調(diào)用算法1，最終得出總體誤差最小的經(jīng)緯度和積日。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證我們前面所提出的模型和及其求解方法的可行性。我們對(duì)三次不同測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證，數(shù)據(jù)來(lái)源于2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題。

例1設(shè)直桿垂直于地面，坐標(biāo)系以直桿底端為原點(diǎn)，水平地面為xy平面。測(cè)量時(shí)間為北京時(shí)間，坐標(biāo)單位為米。

測(cè)量1：日期2015年4月18日，地點(diǎn)是(109.5°E， 18.3°N)；

測(cè)量2：日期2015年7月20日，地點(diǎn)是(79.75°E， 39.52°N)；

測(cè)量3：日期2015年1月20日，地點(diǎn)是(110.25°E， 29.39°N)。

觀測(cè)數(shù)據(jù)參見2015A題附件[5]。算法1中單純形法可用MATLAB中指令fminsearch實(shí)現(xiàn)。

算法1的結(jié)果如表1所示，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在已知觀測(cè)日期時(shí)，除對(duì)于測(cè)量2，μ=1以外，算法1能有效反求出觀測(cè)地點(diǎn)。

表1 算法1求出的測(cè)量地點(diǎn)（經(jīng)緯度單位：度）

算法2的結(jié)果如表2所示，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，算法2能較好地估計(jì)出觀測(cè)地經(jīng)緯度，而對(duì)于觀測(cè)日期的估計(jì)，以影子方位角差的誤差為目標(biāo)函數(shù)（）結(jié)果比以影子長(zhǎng)比的誤差為目標(biāo)函數(shù)（）的結(jié)果要好，而綜合考慮兩者（）的結(jié)果最佳。

表2 算法2求出的測(cè)量日期和地點(diǎn)（日期：月/日，經(jīng)緯度單位：度）

結(jié)果的誤差主要來(lái)源于模型中太陽(yáng)高度角和方位角計(jì)算忽略了大氣對(duì)太陽(yáng)光線的折射影響和赤緯與時(shí)差的近似計(jì)算。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了利用太陽(yáng)影子軌跡確定觀測(cè)地點(diǎn)和觀測(cè)日期的問題，當(dāng)已知觀測(cè)日期時(shí)，構(gòu)建了一個(gè)關(guān)于經(jīng)緯度的非線性多目標(biāo)規(guī)劃模型，當(dāng)示知觀測(cè)日期時(shí)，構(gòu)造了一個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃模型。針對(duì)兩個(gè)模型，提出了相應(yīng)算法，數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的可行性和算法的有效性。模型構(gòu)建過程中作了適當(dāng)簡(jiǎn)化假設(shè)，但對(duì)結(jié)果的影響可以忽略。

[1]王炳忠，劉庚山.日射觀測(cè)中常用天文參數(shù)的再計(jì)算[J]，太陽(yáng)能學(xué)報(bào)，1991，12(1)，27-32.

[2]John A.Duffie， William A. Beckman. solar engineering of thermal processes[M]. Hoboken， NJ :John Wiley & Sons，2006.

[3]G.N. Tiwari. Solar energy :fundamentals， design， modelling and applications[M]. Boca Raton， FL:CRC Press，2002.

[4]袁亞湘. 非線性優(yōu)化計(jì)算方法[M]. 科學(xué)出版社，2008.02.

[5]2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題， http://www.mcm.edu.cn/html_cn/ node/ac8b96613522ef62c019d1cd45a125e3.html， 2015-09-12.

Geo-location estimation from the solar shadow

WANG Fei, HU Yong-biao, DING Ling

(Hunan City University, Hunan Yiyang 413000)

The paper is to estimate the location and date of the video file. According to the knowledge of astronomy, a parameter model of the length and azimuth angle of the shadow is established. For two cases of known observation date and unknown date, two optimization model of minimizing the total error of the ratio of the shadow length and the difference of the shadow azimuth is presented. Numerical experiments verify the feasibility of the models and the algorithms.

Solar altitude; Solar azimuth; Geographical location; Multi-objective programming

（責(zé)任編輯：雷 君）

P127

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2016.06.016

1672–7304(2016)06–0033–04

王扉（1971-），男，湖南益陽(yáng)人，博士，講師，研究方向：最優(yōu)化理論與方法。