許金注

在數(shù)學(xué)世界里，你會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美妙千變?nèi)f化，稱之為“數(shù)學(xué)美”.在浩瀚無(wú)垠的數(shù)學(xué)題海里，下面要說(shuō)的這道題淋漓盡致地詮釋了它的美妙.

一、原型題目

如圖1，AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，AP⊥PC，則△ABP≌△PDC.請(qǐng)說(shuō)明理由.

題目分析：本題出自華東師大版八年級(jí)上冊(cè)“全等三角形的判定”課后作業(yè)的一道習(xí)題.它是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形全等的判定的基礎(chǔ)上給出的一道題目，意在考查學(xué)生對(duì)三角形全等的判定的掌握程度.有哪些方法判定三角形全等，三角形全等必須具備哪些條件，如何尋找三角形全等的條件等，都是解決本題的關(guān)鍵.

設(shè)計(jì)意圖：本題意在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握程度.

解題思路：題目中已知AP=PC，且AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，可以得出∠B=∠D=90°，再尋找一個(gè)條件便可以證明三角形全等，利用兩個(gè)角互余證明角相等是常用的一種方法，于是第三組條件不難找到.下面對(duì)題目進(jìn)行變式.

二、拓展變化

變式之前，先讓學(xué)生分析其特點(diǎn)，從特殊到一般.數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想滲透解題思想.

1.結(jié)論的變化與拓展

問(wèn)題的提出：從題目所給的信息中，你還能發(fā)現(xiàn)其他結(jié)論嗎？

變化一：如圖2，AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，AP⊥PC觀察圖形猜想AB、BD、CD之間的關(guān)系，并證明你的猜想.

題目分析：由題目條件出發(fā)，不難證明△ABP≌△PDC，從而可以得出AB=PD，CD=BP，于是BD=AB+CD.但本題的設(shè)計(jì)比原型題證明三角形全等的難度大得多.首先學(xué)生應(yīng)該綜合分析題目中圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)猜想三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而尋找圖中相等的線段，于是通過(guò)證明三角形全等解決這個(gè)問(wèn)題.

變化二：如圖3，已知A、D是一段圓弧上的兩點(diǎn)，且在直線L的同側(cè)，分別過(guò)這兩點(diǎn)作L的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD、AE、DE，若點(diǎn)E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并予以證明.

解題說(shuō)明：若點(diǎn)E恰為這段圓弧的圓心，同樣可以知道∠AED=90°，題目自然可以轉(zhuǎn)化為變式一的形式解決.從圖形運(yùn)動(dòng)中找出規(guī)律，轉(zhuǎn)化為一般幾何證明問(wèn)題，探究解決新問(wèn)題的策略，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

再探究：如圖4，當(dāng)A、D分別在直線L兩側(cè)且AB≠CD，而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明.

設(shè)計(jì)理念：（1）經(jīng)歷觀察、猜想到驗(yàn)證的解決問(wèn)題方法；培養(yǎng)學(xué)生探究能力與解決問(wèn)題的能力.

（2）讓題設(shè)條件與圖形“動(dòng)”起來(lái)，克服思維定勢(shì)和圖形位置定勢(shì)，使學(xué)生習(xí)慣“開(kāi)放”與“探究”的思維.

解題思路：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同知識(shí)、不同思想方法思考同一個(gè)問(wèn)題，能使各個(gè)層次學(xué)生都達(dá)到一定的效果，使學(xué)生從單一的思維模式中解放出來(lái)，達(dá)到以創(chuàng)新方式解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生思維開(kāi)闊性、發(fā)散性和靈活性的目的.

2.弱化條件

弱化“直角”，則“全等三角形”結(jié)論仍然成立.

如圖5，△ABC和△CDE中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，AC=CE，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC≌△CDE.

解題思路：無(wú)論如何變換，本質(zhì)是三個(gè)角相等，應(yīng)用三角形相似（全等）解決.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本題拓展，我們應(yīng)該教會(huì)學(xué)生善于思考，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，獲得廣泛的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).

3.條件和結(jié)論的互逆變換

例：如圖6，兩個(gè)全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板ACB如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD中點(diǎn)M，連接EM，EC，試判斷△CME的形狀，并說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖：本問(wèn)設(shè)計(jì)意圖是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察圖形，深入挖掘隱含的條件和結(jié)論，尋找知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系、轉(zhuǎn)化，激發(fā)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探索，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力，可以更好地分析題意.培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括、歸納及語(yǔ)言表達(dá)能力.

解題指導(dǎo)：本題主要利用三角形全等的判定進(jìn)行證明、求解.

具有較強(qiáng)代表性和典型性的習(xí)題是數(shù)學(xué)問(wèn)題的精華，教學(xué)不要忽視這些小題，要善于“借題發(fā)揮”，進(jìn)行一題多解、一題多變、多題組合，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的規(guī)律性和方法，達(dá)到“做一題、通一類、會(huì)一片”的教學(xué)效果，讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù)，真正達(dá)到“輕負(fù)高效質(zhì)”，對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維、創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)，都將起到積極的推動(dòng)作用.