夏　斌，劉承鵬，孫文珠，李彩虹

(山東理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院　山東 淄博　255049)

基于多元變量泰勒級數(shù)展開模型的定位算法

夏斌，劉承鵬，孫文珠，李彩虹

(山東理工大學(xué)計算機(jī)學(xué)院山東 淄博255049)

傳統(tǒng)Taylor級數(shù)展開模型只考慮未知節(jié)點和錨節(jié)點之間的距離，沒有考慮未知節(jié)點之間的距離，定位信息不夠全面，從而導(dǎo)致定位精度不高。為了進(jìn)一步提高定位精度，該文提出了一種新的基于多元變量Taylor級數(shù)展開模型的定位算法。首先考慮未知節(jié)點之間的距離信息，建立新的基于多元變量Taylor級數(shù)展開的定位模型。然后，在對新的定位模型求解過程中，采用粒子群算法對未知節(jié)點進(jìn)行定位，獲得其位置的初始值。再根據(jù)加權(quán)最小二乘法求出新模型的解，作為未知節(jié)點的估計位置。最后，為評價該算法的性能，對定位結(jié)果的克拉美羅界(CRLB)進(jìn)行推導(dǎo)。仿真結(jié)果表明基于多元變量Taylor級數(shù)展開模型的定位精度更高，定位誤差接近CRLB。

物聯(lián)網(wǎng);多元變量泰勒級數(shù)展開;粒子群算法;定位模型

精確的節(jié)點定位是物聯(lián)網(wǎng)位置服務(wù)應(yīng)用的關(guān)鍵。獲得了節(jié)點的準(zhǔn)確位置信息，與位置服務(wù)應(yīng)用的有關(guān)數(shù)據(jù)才有價值。因此，研究精確定位對物聯(lián)網(wǎng)的位置服務(wù)應(yīng)用至關(guān)重要[1-2]。根據(jù)測量距離建立的定位方程組多數(shù)情況下是非線性方程組，對該方程組的求解方法整體上可分為兩大類：一類是非線性處理方法，將定位問題看作優(yōu)化問題進(jìn)行求解，如遺傳算法[3]等；另一類是線性處理方法，通常利用Taylor級數(shù)展開法或其他方法[4]將非線性定位方程組變換成線性方程組后求解。與非線性處理方法相比，基于Taylor級數(shù)展開的線性方法具有求解精度高、收斂速度快等優(yōu)點，成為近年來的一個熱點研究。文獻(xiàn)[5]提出了基于Taylor級數(shù)展開和到達(dá)時間的定位算法；文獻(xiàn)[6]采用Taylor級數(shù)展開和最速下降法實現(xiàn)混合定位；文獻(xiàn)[7]利用Taylor級數(shù)展開法將二次方程組線性化，實現(xiàn)了基于接收信號強(qiáng)度指示的定位等。這些工作通過不同算法與Taylor級數(shù)展開法[8-10]相結(jié)合的方式，對精確定位進(jìn)行了一些有益的探索，但是并沒有對傳統(tǒng)Taylor級數(shù)展開的定位模型進(jìn)行改進(jìn)。該模型只考慮未知節(jié)點和錨節(jié)點的距離，沒有考慮未知節(jié)點之間的距離，定位信息不夠全面，從而導(dǎo)致定位精度不高。因此本文考慮未知節(jié)點之間的距離，建立一種新的多元變量Taylor級數(shù)展開的定位模型。在此模型的基礎(chǔ)上，提出了一種新的定位算法。該算法充分發(fā)揮粒子群算法的群體搜索性和多元變量Taylor級數(shù)展開法的局部細(xì)致搜索性，克服了粒子群算法后期搜索效率低下和多元變量Taylor級數(shù)展開法對初始值敏感的缺陷。由于增加了未知節(jié)點之間的距離信息，該方法能有效地提高定位精度。為了評價該算法的性能，對定位結(jié)果的Cramer-Rao下界進(jìn)行了推導(dǎo)，并通過仿真驗證算法的有效性。

1　基于多元變量Taylor級數(shù)展開的定位模型

1.1傳統(tǒng)Taylor級數(shù)展開的定位模型

考慮I個未知節(jié)點和K個錨節(jié)點隨機(jī)均勻部署在二維空間中。物聯(lián)網(wǎng)獲得到達(dá)時間的測量值[11-12]，經(jīng)過計算得到第i個未知節(jié)點與所有錨節(jié)點之間的測量距離：

由式(3)可得到定位模型：

利用該模型可以求出第i個未知節(jié)點的位置估計值。傳統(tǒng)Taylor定位模型只能實現(xiàn)單個未知節(jié)點的定位，若要對所有未知節(jié)點進(jìn)行定位，需要循環(huán)計算。

1.2基于多元變量Taylor級數(shù)展開的定位模型

通過TOA測量法可得到所有節(jié)點間的測量距離：

式中，di,j和分別表示未知節(jié)點與未知節(jié)點的測量距離和實際距離；ei,j表示距離測量誤差，假設(shè)該誤差服從均值為0、方差為的高斯分布。在未知節(jié)點的初始值上，對式(5)中的實際距離進(jìn)行基于多元變量的Taylor級數(shù)展開并忽略二階以上分量，有：

由式(7)可得到新的定位模型：

式中，E1為距離測量誤差矩陣；Δ1為節(jié)點位置偏差矩陣；測量距離和估計距離之差矩陣D1是一個矩陣；Q1為矩陣，若D1中第q個元素為，則Q1中第q行第2i?1、2i、2j?1和2j個元素分別為，該行其余元素為0；若D1中第q個元素為，則Q1中第q行第2i?1、2i個元素分別為，該行其余元素為0。

2　基于多元變量Taylor級數(shù)展開模型的定位算法

基于多元變量Taylor級數(shù)展開模型的定位算法先用粒子群算法[15-16]計算未知節(jié)點的初始值，再根據(jù)加權(quán)最小二乘法求出其位置的估計值。具體步驟如下：

1)首先計算第i(i=1)個未知節(jié)點的初始值。

2)假設(shè)有N個粒子組成的種群，其中第n個粒子的位置和速度分別表示為。計算每個粒子的適應(yīng)度值。

5)若所有未知節(jié)點都計算完畢，轉(zhuǎn)向步驟6)。否則轉(zhuǎn)向步驟2)，繼續(xù)下一個未知節(jié)點(i=i+1)初始位置的計算。

7)利用加權(quán)最小二乘法[17]可求解出：

3　定位精度CBLB的推導(dǎo)

4　仿真結(jié)果和分析

4.1距離測量誤差對定位誤差的影響

圖1給出了3種算法的定位誤差隨距離測量誤差的方差變化的曲線及CRLB曲線。可以看出，3種算法的定位誤差都隨測量誤差方差的增加而增加，但新算法的定位誤差明顯小于其他兩個算法，且非常接近CRLB曲線。這是因為多元變量Taylor級數(shù)展開模型比傳統(tǒng)Taylor級數(shù)展開模型多考慮了未知節(jié)點之間的距離信息，使定位精度得到進(jìn)一步提高。此外，隨著測量誤差的變化，新算法的定位誤差斜率小于其他兩種算法，說明該算法能有效減小測量誤差對定位誤差的影響。

圖1 距離測量誤差對定位誤差的影響

4.2錨節(jié)點數(shù)目對定位誤差的影響

圖2給出了錨節(jié)點數(shù)目對3種算法定位誤差的影響。未知節(jié)點數(shù)不變時，錨節(jié)點數(shù)目的變化對定位誤差有很大的影響。錨節(jié)點數(shù)越多，節(jié)點的定位誤差越小。與此同時，在錨節(jié)點數(shù)目相同的情況下，新算法的定位精度在原有算法的基礎(chǔ)上有了明顯的提高。

圖22σ=1.5時，錨節(jié)點數(shù)目對定位誤差的影響

4.3定位誤差的累積分布函數(shù)

圖32σ=1時，定位誤差的累積分布函數(shù)曲線圖

圖3給出了3種算法定位誤差的累積分布函數(shù)曲線圖?？梢钥闯?，在90%的累積分布點，粒子群算法、粒子群和傳統(tǒng)Taylor級數(shù)展開結(jié)合的算法、新算法的定位誤差分別在14.5、12.2和0.68 m以內(nèi)，新算法具有較高的定位精度。

5　結(jié) 束 語

針對物聯(lián)網(wǎng)定位精度不高，難以適應(yīng)復(fù)雜信道環(huán)境等方面存在的不足，提出了一種新的基于多元變量Taylor級數(shù)展開模型的定位方法。該方法結(jié)合粒子群算法和多元變量Taylor級數(shù)展開法的特點，充分發(fā)揮各算法的優(yōu)點，揚長避短，實現(xiàn)整體定位性能的最優(yōu)化。通過仿真驗證，新算法能有效地減少測量誤差對定位精度的影響，提高定位精度。但該算法只考慮了所有距離測量信息已知的情況，部分距離測量信息未知的情況還有待進(jìn)一步研究。

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編輯葉芳

Localization Algorithm Based on Multivariable Taylor Series Expansion Model

XIA Bin,LIU Cheng-peng,SUN Wen-zhu,and LI Cai-hong
(School of Computer Science and Technology,Shandong University of TechnologyZibo Shandong255049)

Conventional Taylor series expansion model only considers the distances between unknown nodes and anchor nodes,without considering the distances between unknown nodes. As a result,the location information is not comprehensive enough to result in lower positioning accuracy. Thus,a novel localization algorithm based on multivariable Taylor series expansion model is proposed to further enhance positioning accuracy. Firstly,the new positioning model which considers the distances between unknown nodes in multivariable Taylor series expansion is established. In the process of model solution,the particle swarm algorithm is used to obtain the estimated position values of the unknown nodes. Then,the optimal position values are obtained by the weighted least squares method. Finally,the Cramer-Rao lower bound (CRLB)of the positioning result is derived to evaluate the performance of the proposed algorithm. Simulation results demonstrate that the proposed algorithm obtains a higher positioning accuracy,and its positioning error is very close to the CRLB.

internet of thing;multivariable Taylor series expansion;particle swarm algorithm; positioning model

TN911

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.06.002

2015 ? 05 ? 27；

2015 ? 09 ? 28

國家自然科學(xué)基金(61473179)；山東省高校科技計劃項目(J11LG24)

夏斌(1973 ? )，男，博士，副教授，主要從事物聯(lián)網(wǎng)定位方面的研究.