馮文周， 曹樹(shù)謙， 胡 鋮

(1.天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 天津，300072) (2.天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津，300072) (3.大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 大連，116024)

?

電梯系統(tǒng)垂直振動(dòng)的頻率敏感度分析與魯棒設(shè)計(jì)

馮文周1，2， 曹樹(shù)謙1，2， 胡 鋮3

(1.天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 天津，300072) (2.天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津，300072) (3.大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 大連，116024)

考慮曳引繩剛度在電梯運(yùn)行過(guò)程中具有變剛度的特性，利用Lagrange方程對(duì)電梯系統(tǒng)建立了7自由度的振動(dòng)微分方程，通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法得出隨機(jī)變量與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的數(shù)值關(guān)系，利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)獲得隨機(jī)變量與頻率響應(yīng)之間的顯性函數(shù)關(guān)系式。根據(jù)激振頻率與固有頻率之比不超過(guò)規(guī)定值的關(guān)系準(zhǔn)則，定義了電梯系統(tǒng)縱向振動(dòng)的可靠性模式，運(yùn)用頻率可靠性分析方法，提出多頻激勵(lì)情況下的系統(tǒng)的頻率可靠性及其敏感度的分析方法。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合可靠性敏感度理論與穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法，將可靠性敏感度融入到目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，建立系統(tǒng)頻率可靠性魯棒設(shè)計(jì)模型。通過(guò)工程算例，將可靠性敏感度理論和穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法應(yīng)用到電梯系統(tǒng)設(shè)計(jì)當(dāng)中，得到滿足魯棒設(shè)計(jì)要求的隨機(jī)參數(shù)值。結(jié)果表明，該方法具有較高的計(jì)算效率和求解精度，可以作為電梯系統(tǒng)穩(wěn)健設(shè)計(jì)的理論依據(jù)。

電梯系統(tǒng)； 頻率共振； 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)； 頻率可靠性敏感度； 魯棒設(shè)計(jì)

引 言

電梯作為機(jī)電產(chǎn)品的一個(gè)有機(jī)體，其振動(dòng)特性受到機(jī)-電兩方面因素的影響，其動(dòng)態(tài)特性較為復(fù)雜[1-3]。由于各部件的加工精度和安裝誤差等因素，電梯系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中存在多個(gè)激振力。當(dāng)激振力的頻率與電梯系統(tǒng)的某階固有頻率較近時(shí)，會(huì)導(dǎo)致電梯系統(tǒng)共振，引起轎廂振動(dòng)強(qiáng)烈，嚴(yán)重影響電梯運(yùn)行質(zhì)量。電梯由設(shè)計(jì)不當(dāng)而導(dǎo)致系統(tǒng)共振，是電梯振動(dòng)超標(biāo)的主要原因之一。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于電梯系統(tǒng)振動(dòng)特性的理論研究也取得了一些成果[4-7],但對(duì)電梯系統(tǒng)可靠性敏感度分析和可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)方面的研究較少。通過(guò)可靠性敏感度分析得到系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)可靠度的敏感度，基于可靠性敏感度的分析對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性魯棒設(shè)計(jì)，可以使系統(tǒng)具有較高的可靠度和魯棒性，以達(dá)到穩(wěn)健設(shè)計(jì)的目的。

筆者在頻率可靠性研究的基礎(chǔ)上[8-11]，定義了多頻激勵(lì)條件下的共振失效模式，給出了在串聯(lián)系統(tǒng)共振失效模式的可靠度和可靠性敏感度計(jì)算方法。將可靠性敏感度理論與穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法相結(jié)合，針對(duì)工程實(shí)例，對(duì)電梯系統(tǒng)頻率可靠性敏感度分析和穩(wěn)健設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究。

1 電梯系統(tǒng)縱向振動(dòng)微分方程

電梯的機(jī)械系統(tǒng)主要由轎廂、對(duì)重、懸掛裝置、曳引機(jī)和曳引繩等子系統(tǒng)組成。本研究對(duì)象為無(wú)機(jī)房曳引式電梯，將其等效為7自由度的動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。模型中：m1，m2，m3和m4分別為對(duì)重裝置、曳引機(jī)、轎廂反繩輪和轎廂的等效質(zhì)量；J1，r1分別為對(duì)重反繩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑；J2，r2分別為曳引輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑；J3，r3分別為轎廂側(cè)反繩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑；k1，c1分別為對(duì)重側(cè)繩頭彈簧的剛度和阻尼；k2，c2分別為曳引機(jī)隔振墊的等效剛度和阻尼；k3，c3分別為轎廂側(cè)繩頭彈簧的剛度和阻尼；k4，c4分別為轎廂與反繩輪之間隔振墊的剛度和阻尼；k5，k5*，c5和c5*分別為對(duì)重兩側(cè)曳引繩的等效剛度和阻尼；k6，k6*，c6和c6*分別為轎廂兩側(cè)曳引繩的等效剛度和阻尼。

圖1 電梯系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamics model of elevator system

根據(jù)Lagrange方程得到系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為

(1)

T，U分別為

(2)

(3)

其中：x1，x2，x3，x4分別為m1，m2，m3，m4的線位移，

垂直向上為正；θ1，θ2，θ3分別為m1，m2，m3的角位移，逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正；k5，k5*，k6，k6*的剛度與轎廂所處的位置有關(guān)；k11，c11分別為對(duì)重左側(cè)曳引繩與繩頭彈簧的的串聯(lián)剛度和阻尼；k33，c33為轎廂右側(cè)曳引繩與繩頭彈簧的串聯(lián)剛度和串聯(lián)阻尼。

(4)

(5)

(6)

(7)

其中：N，E，A分別為曳引繩的個(gè)數(shù)、彈性模量和截面面積；H為提升高度。

將式(2)～(7)代入式(1)，得到系統(tǒng)振動(dòng)的微分方程,寫成矩陣形式為

(8)

其中：X={x1, x2, x3, x4, θ1,θ2,θ3}T為系統(tǒng)的位移向量；M，K，C分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。

2 電梯系統(tǒng)共振的可靠性分析

由離散結(jié)構(gòu)體組成的系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，各結(jié)構(gòu)體的振幅均達(dá)到最大。當(dāng)結(jié)構(gòu)體的振幅超過(guò)檻值，則結(jié)構(gòu)系統(tǒng)處于失效狀態(tài)或準(zhǔn)失效狀態(tài)。根據(jù)激振頻率與系統(tǒng)固有頻率的關(guān)系準(zhǔn)則，定義電梯系統(tǒng)共振失效的狀態(tài)函數(shù)為

(9)

其中：fi為系統(tǒng)的激振頻率；f1，f2分別為由曳引機(jī)驅(qū)動(dòng)輪、轎廂反繩輪產(chǎn)生的激振頻率；ωj為系統(tǒng)的j階固有頻率。

根據(jù)激振頻率和系統(tǒng)固有頻率的關(guān)系準(zhǔn)則，可以確定結(jié)構(gòu)發(fā)生共振失效的極限狀態(tài)函數(shù)。

(10)

其中：λ為一特定的值，工程上一般取10%～15%。

(11)

一般情況下，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)參數(shù)分布服從某種類型。如果想精確獲得系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)的實(shí)際分布類型，就需要大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析，這給分析帶來(lái)了困難。在工程實(shí)際中，隨機(jī)變量以正態(tài)分布最為典型，這也是在工程分析中首選的分布類型。假定系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)服從正態(tài)分布，則系統(tǒng)共振失效的概率為

(12)

其中：Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布。

μgij和σgij分別為gij的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，即

(13)

(14)

可靠性指標(biāo)βuv1，βuv2定義為

(15)

(16)

3 串聯(lián)系統(tǒng)可靠性敏感度分析

考慮到電梯系統(tǒng)具有多階固有頻率、多個(gè)激振頻率的特點(diǎn)，當(dāng)激振頻率落在某階固有頻率的共振區(qū)間時(shí)，會(huì)使整個(gè)系統(tǒng)發(fā)生共振。因此，含有多頻激勵(lì)的系統(tǒng)頻率可靠性模型為串聯(lián)系統(tǒng)。依據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性分析理論[9]，得到系統(tǒng)的失效概率。

(17)

(18)

其中：R為串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度。

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)失效狀態(tài)進(jìn)行敏感度分析，得到影響系統(tǒng)失效的敏感因子。通過(guò)修改系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)來(lái)改變系統(tǒng)的固有頻率，使其遠(yuǎn)離激振頻率以避開(kāi)共振區(qū)。根據(jù)可靠性敏感度的定義，可靠度R對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)bs的均值敏感度和方差敏感度分別為

(21)

(22)

其中：σs，Var(bs)分別為基本隨機(jī)變量bs的標(biāo)準(zhǔn)差和方差；R*為系統(tǒng)的可靠度。

4 共振問(wèn)題的可靠性魯棒設(shè)計(jì)

魯棒設(shè)計(jì)是指允許產(chǎn)品的設(shè)計(jì)變量和控制容差在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，仍能保證產(chǎn)品具有較高的可靠度和穩(wěn)定性，即能夠抵抗一定程度非預(yù)期隨機(jī)因素的干擾。因此在優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的可靠度要求，以可靠性指標(biāo)作為約束條件，將隨機(jī)變量的敏感度融合到目標(biāo)函數(shù)中，將可靠性魯棒設(shè)計(jì)歸結(jié)為求解多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。當(dāng)隨機(jī)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)受到某一激振力時(shí)，激振力的頻率不同，強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅也隨之不同。為了滿足系統(tǒng)的穩(wěn)健要求，即要求隨機(jī)系統(tǒng)的固有頻率遠(yuǎn)離系統(tǒng)的激振頻率，避開(kāi)共振區(qū)，從而保證系統(tǒng)安全可靠運(yùn)行。隨機(jī)系統(tǒng)的頻率可靠性魯棒設(shè)計(jì)模型表示為

5 實(shí)例分析

5.1 模態(tài)

以某樣梯為研究對(duì)象，額定載重為1 150 kg，轎廂速度為1.7 m/s，提升高度為42 m。曳引機(jī)轉(zhuǎn)速為492 r/min，反繩輪的轉(zhuǎn)速為223 r/min，激振頻率分別為f1=7.96 Hz，f2=3.625 Hz。其他主要部件結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

現(xiàn)有的合規(guī)管理制度僅對(duì)商務(wù)行為的合規(guī)管理，即“狹義”合規(guī)管理進(jìn)行了約束，對(duì)非商務(wù)行為的合規(guī)管理，即“廣義”合規(guī)管理沒(méi)有明確的要求；對(duì)合規(guī)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、合規(guī)審查、合規(guī)評(píng)價(jià)等管理內(nèi)容也沒(méi)有細(xì)化；對(duì)重要風(fēng)險(xiǎn)領(lǐng)域，如“禮品和款待”“商業(yè)伙伴合作”也沒(méi)有具體的行為準(zhǔn)則。同時(shí)企業(yè)規(guī)章制度執(zhí)行不到位，未能做到有制度必依。真正落實(shí)的時(shí)候卻大打折扣，從而有章不循、不按制度辦事、違章操作、違反規(guī)定等現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，使得有的規(guī)章制度成了擺設(shè)。

表1 電梯系統(tǒng)動(dòng)力參數(shù)

根據(jù)式(1)～(9)對(duì)電梯系統(tǒng)縱向振動(dòng)進(jìn)行模態(tài)分析，得到系統(tǒng)各階頻率與轎廂位移x4變化曲線，如圖2所示?？梢钥闯?，系統(tǒng)頻率ω1在3.195～3.295之間，可見(jiàn)ω1與轎廂位移x4關(guān)系不大，2階頻率在9.31～11.68之間變化，其他高階頻率與轎廂位置較為敏感。由激振頻率與系統(tǒng)固有頻率的關(guān)系可知，激振頻率f1與ω2共振區(qū)接近，易發(fā)生共振。激振頻率f2落在系統(tǒng)1階固有頻率的共振區(qū)內(nèi)，代入式(9)～(11)，λ取0.15，系統(tǒng)失效概率Pf=1，即系統(tǒng)發(fā)生共振。

圖2 系統(tǒng)各階固有頻率變化曲線Fig.2 Variable cures of system natural frequencies

5.2 試驗(yàn)結(jié)果

如圖3所示，利用電梯乘運(yùn)質(zhì)量檢測(cè)工具PMT對(duì)轎廂振動(dòng)進(jìn)行測(cè)試。發(fā)現(xiàn)轎廂的縱向振動(dòng)比較強(qiáng)烈，最大峰峰值為17.1mg。選擇恒速階段進(jìn)行頻譜分析，如圖4所示?？梢?jiàn)，轎廂振動(dòng)主要是在3.625 Hz引起的，該頻譜與轎廂反繩輪轉(zhuǎn)動(dòng)頻率相對(duì)應(yīng)。結(jié)合系統(tǒng)模態(tài)分析可知，轎廂反繩輪激振頻率與系統(tǒng)一階頻率發(fā)生共振，表明理論分析與試驗(yàn)結(jié)果吻合，證明所建振動(dòng)模型是合理的。

圖3 轎廂振動(dòng)時(shí)間歷程Fig.3 Time domain plot of car vibration

圖4 轎廂縱向振動(dòng)幅頻曲線Fig.4 Amplitude frequency curve of longitudinal vibration

5.3 敏感度

根據(jù)電梯系統(tǒng)的敏感度分析可以得出系統(tǒng)設(shè)計(jì)變量與系統(tǒng)固有頻率的敏感順序。本系統(tǒng)選取參數(shù)k1，k2，k3和k4作為系統(tǒng)的隨機(jī)變量，剛度變量的分布情況在均值上下±10%范圍內(nèi)變化，且服從正態(tài)分布。求解振動(dòng)微分方程只能得到隨機(jī)變量與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的數(shù)值解，不能得到b={k1,k2,k3,k4}T與固有頻率f1的顯性函數(shù)表達(dá)式。因此，筆者采用優(yōu)化軟件Isight進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，通過(guò)集成Matlab編制的程序進(jìn)行超立方拉丁試驗(yàn)分析。將隨機(jī)變量b={k1,k2,k3,k4}T抽樣81次，作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的樣本，將每次分析的結(jié)果作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的響應(yīng)值。通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，擬合得到隨機(jī)變量與ω2之間的顯性函數(shù)關(guān)系式。由圖5可知，經(jīng)過(guò)119次訓(xùn)練，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型精度可達(dá)到10-6。

圖5 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練誤差Fig.5 BP neural network training error

如圖6所示，為了確保神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合函數(shù)的準(zhǔn)確性，對(duì)隨機(jī)參數(shù)按照正交試驗(yàn)方法抽樣16次進(jìn)行驗(yàn)證，并與Matlab編制的振動(dòng)微分方程求得的理論值進(jìn)行比較，證明了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的可靠性。

圖6 均值處隨機(jī)樣本模擬檢驗(yàn)圖Fig.6 Random sampling simulation test in mean

將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合后的函數(shù)代入式(9)～(17)，得到系統(tǒng)的準(zhǔn)失效概率Pf=1，由此可知該系統(tǒng)已發(fā)生共振失效。代入式(18)～(21)對(duì)其進(jìn)行敏感度分析，得到可靠度對(duì)隨機(jī)變量均值和方差的敏感度為

5.4 穩(wěn)健設(shè)計(jì)

為了達(dá)到減少共振發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)和系統(tǒng)設(shè)計(jì)變量在誤差范圍內(nèi)變化對(duì)系統(tǒng)共振不敏感、滿足系統(tǒng)穩(wěn)健的要求，通過(guò)修改設(shè)計(jì)變量來(lái)改變系統(tǒng)共振區(qū)間，以達(dá)到遠(yuǎn)離激振頻率。式(20)取3個(gè)目標(biāo)函數(shù)

建立約束條件

優(yōu)化后各隨機(jī)變量的均值為k1*=490 080, k2*=9 986 000, k3*=819 900, k4*=2 804 200。將優(yōu)化后的隨機(jī)參數(shù)代入式(9)～(21)，系統(tǒng)可靠度為R*=0.999 964 89,均值、方差的敏感度為

通過(guò)優(yōu)化前后可以看出系統(tǒng)具有較高的可靠度，隨機(jī)變量的敏感度也大大降低，滿足穩(wěn)健設(shè)計(jì)的要求。

5.5 穩(wěn)健設(shè)計(jì)后試驗(yàn)結(jié)果

從圖7可知，轎廂的縱向振動(dòng)明顯減低，最大峰峰值由17.1 mg降低到6.9 mg。如圖8所示，對(duì)恒速階段進(jìn)行頻譜分析，3.625 Hz頻率的幅值由1.836 mg降低到0.424 1 mg。其他頻率的振動(dòng)也大大降低，從而使系統(tǒng)振動(dòng)滿足要求。

圖7 轎廂垂直振動(dòng)時(shí)間歷程Fig.7 Time domain plot of car vibration in vertical direction

圖8 穩(wěn)健設(shè)計(jì)后的轎廂縱向振動(dòng)幅頻曲線Fig.8 Amplitude frequency curve of longitudinal vibration by robust design

6 結(jié) 論

1) 考慮電梯曳引繩在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變剛度特性，對(duì)電梯系統(tǒng)建立了7自由度振動(dòng)微分方程，得到系統(tǒng)各階固有頻率與轎廂位移的變化曲線。結(jié)果顯示，低階固有頻率與轎廂位置變化影響不大，高階頻率與轎廂位置變化敏感。

2) 對(duì)電梯系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行模態(tài)分析，指出曳引機(jī)的激振頻率與系統(tǒng)固有頻率較近，容易發(fā)生共振。結(jié)合系統(tǒng)實(shí)際振動(dòng)測(cè)試，得到系統(tǒng)垂直振動(dòng)超標(biāo)，表明系統(tǒng)激振頻率與固有頻率較近發(fā)生共振。

3) 在頻率可靠性敏感度分析的基礎(chǔ)上，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)。結(jié)果表明，通過(guò)修改設(shè)計(jì)變量可以使系統(tǒng)達(dá)到可靠度的要求，同時(shí)滿足穩(wěn)健設(shè)計(jì)的要求。

4) 對(duì)振動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值分析，利用集成優(yōu)化工具Isight對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量和響應(yīng)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。借助人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合函數(shù)的優(yōu)勢(shì)，得到隨機(jī)變量與系統(tǒng)響應(yīng)的解析方程。結(jié)合可靠性敏感度技術(shù)與穩(wěn)健設(shè)計(jì)理論，對(duì)隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行敏感度分析和穩(wěn)健設(shè)計(jì)。該方法具有較高的計(jì)算效率和求解精度，可以作為隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析和穩(wěn)健設(shè)計(jì)的一種有效方法。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.04.003

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305071)

2014-06-12；

2014-09-03

TB123； TH113

馮文周，男，1983年4月生，博士生、工程師。主要研究方向?yàn)檎駝?dòng)理論與控制，機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)。

E-mail: wzfeng@tju.edu.cn

簡(jiǎn)介：曹樹(shù)謙，男，1964年7月生，博士、教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)，振動(dòng)理論與控制。

E-mail: sqcao@tju.edu.cn