●黃琳婕 方均斌 蔣豐盈

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 浙江溫州 325035)

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對(duì)錯(cuò)題與“錯(cuò)題”的幾點(diǎn)思考*

●黃琳婕 方均斌 蔣豐盈

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 浙江溫州 325035)

錯(cuò)題一詞在數(shù)學(xué)教育中使用頗為頻繁，但其含義似乎沒(méi)有統(tǒng)一.為此，提出錯(cuò)題、錯(cuò)解題、“錯(cuò)題”3個(gè)概念，由于當(dāng)下對(duì)錯(cuò)解題的研究頗多，故著重對(duì)錯(cuò)題及“錯(cuò)題”的存在及教育價(jià)值進(jìn)行一些探析.認(rèn)為，錯(cuò)題及“錯(cuò)題”與數(shù)學(xué)教育永恒伴隨，不能回避，故必須正視其教育價(jià)值.錯(cuò)題及“錯(cuò)題”的教育價(jià)值主要體現(xiàn)在對(duì)教師及學(xué)生批判意識(shí)的教育及自我反思層面上，其研究目前不是很多，具有很大的深入空間.

錯(cuò)題；錯(cuò)解題；“錯(cuò)題”；教育價(jià)值

數(shù)學(xué)教育中的“錯(cuò)題”一詞大家并不陌生.然而，這個(gè)概念似乎大家并不在意它的辨析.查閱相關(guān)文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)“錯(cuò)題”有2個(gè)含義：一是指內(nèi)在邏輯有錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)問(wèn)題[1]；二是指解錯(cuò)的數(shù)學(xué)問(wèn)題[2].其實(shí)，還有一類指存在爭(zhēng)議的數(shù)學(xué)題：“錯(cuò)題”(特意加引號(hào))[3]，它專指不吻合數(shù)學(xué)習(xí)題標(biāo)準(zhǔn)[4]的數(shù)學(xué)題.本文試圖對(duì)錯(cuò)題等相關(guān)概念及其在數(shù)學(xué)中的教育價(jià)值進(jìn)行一些梳理，請(qǐng)大家批評(píng)指正.

1 錯(cuò)題概念的明確化

錯(cuò)題到底屬于“命題者犯錯(cuò)”還是“解題者犯錯(cuò)”，這個(gè)概念目前依然沒(méi)有統(tǒng)一的說(shuō)法，而且指“解題者犯錯(cuò)”大有約定俗成之勢(shì).筆者認(rèn)為，如果指“解題者犯錯(cuò)”不太科學(xué)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)正確的數(shù)學(xué)問(wèn)題都有可能被解題者解錯(cuò)而“冤枉地”被稱為錯(cuò)題，這樣，錯(cuò)題就屬于“因人而異”的一個(gè)名詞而“不知所云”.我們應(yīng)該把“解題者犯錯(cuò)”的正確數(shù)學(xué)問(wèn)題稱之為“錯(cuò)解題”，而錯(cuò)題應(yīng)該專指因命題者行為而導(dǎo)致數(shù)學(xué)問(wèn)題本身存在邏輯錯(cuò)誤(應(yīng)用題還包括與實(shí)際情況不符等現(xiàn)象)的問(wèn)題.很多中小學(xué)教師所研究的錯(cuò)題實(shí)質(zhì)上是指“錯(cuò)解題”.

一些學(xué)者為了數(shù)學(xué)教學(xué)的可操作性，對(duì)“正確的數(shù)學(xué)問(wèn)題”尤其是學(xué)生面對(duì)的數(shù)學(xué)習(xí)題提出了具體的要求，例如，戴再平先生對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題提出了評(píng)判的科學(xué)性標(biāo)準(zhǔn)[4]：

1)有關(guān)的概念必須是被定義的；

2)有關(guān)的記號(hào)必須是被闡明的；

3)條件必須是充分的、不矛盾的；

4)條件必須是獨(dú)立的、最少的；

5)敘述必須是清楚的；

6)要求必須是可行的.

然而，隨著人們數(shù)學(xué)教育觀念的改變，提出了不吻合戴先生所提條件而致的“錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)問(wèn)題”也存在教育價(jià)值的問(wèn)題[6].因?yàn)橹行W(xué)教材中很多用詞(概念)根本沒(méi)有像高等數(shù)學(xué)一樣進(jìn)行嚴(yán)格定義，例如“規(guī)律”、“未知數(shù)”等，這些用詞盡管未嚴(yán)格定義，但它們卻與基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)“形影相隨”，這類除了文獻(xiàn)[4]提出科學(xué)性要求的3)中的“條件不矛盾”以及5)中的“敘述必須是清楚的”之外的數(shù)學(xué)習(xí)題(或問(wèn)題)我們姑且稱之為“錯(cuò)題”(特加引號(hào)).此類“錯(cuò)題”目前研究的文獻(xiàn)不是很多，屬于數(shù)學(xué)教育研究的盲區(qū)，甚至有些數(shù)學(xué)教育者可能把其作為“禁區(qū)”而不加理會(huì).我們提出的錯(cuò)題標(biāo)準(zhǔn)不僅涵蓋了戴先生指出的違背3)中的“條件不矛盾”以及5)中的“敘述必須是清楚的”要求之外，還包括所提條件與結(jié)論存在矛盾等.

2 錯(cuò)題及“錯(cuò)題”的存在及教育價(jià)值

盡管我們力圖避免數(shù)學(xué)教育過(guò)程中某些“負(fù)面”的東西，但是，錯(cuò)題、錯(cuò)解題、“錯(cuò)題”依然與數(shù)學(xué)教育形影相隨，無(wú)法避免！既然如此，我們不能采取鴕鳥(niǎo)政策，只能坦然面對(duì).其實(shí)，我們很多教師已經(jīng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)頻率比較高的錯(cuò)解題(易錯(cuò)題)的研究與教育價(jià)值，可以當(dāng)作一面“鏡子”去發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維和心理盲區(qū)，將錯(cuò)解題當(dāng)作一種很重要的教育資源，一些學(xué)生也用自己平時(shí)的錯(cuò)解題去進(jìn)行反省，也達(dá)到較好的自我教育目的.由于錯(cuò)解題的教育價(jià)值已經(jīng)引起大家的關(guān)注并進(jìn)行了很多的研究，因此，本文著重就錯(cuò)題和“錯(cuò)題”的存在及教育價(jià)值進(jìn)行一些探析.

2.1 錯(cuò)題的存在及教育價(jià)值

錯(cuò)題的負(fù)面作用大家都很清楚.例如，在重大考試中，出現(xiàn)錯(cuò)題往往使一些學(xué)生在考試中的水平發(fā)揮失常，有時(shí)甚至出現(xiàn)社會(huì)問(wèn)題.例如，某年某省的數(shù)學(xué)高考題曾因出現(xiàn)疑似錯(cuò)題就發(fā)生了很大的社會(huì)風(fēng)波.出錯(cuò)題固然可悲，但是，學(xué)生不敢在考場(chǎng)上提出對(duì)考題的質(zhì)疑，則是因我們長(zhǎng)期忽視錯(cuò)題的教育及研究?jī)r(jià)值所致.

2.1.1 錯(cuò)題是教師職業(yè)技能與職業(yè)態(tài)度的一面鏡子

數(shù)學(xué)教師素有追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹懊婪Q”，如果數(shù)學(xué)教師出錯(cuò)數(shù)學(xué)題，很可能是專業(yè)素養(yǎng)不夠或者注意力不夠集中而致，越是重大的考試，教師越需要注意數(shù)學(xué)問(wèn)題的科學(xué)性.

案例1f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)=0，則方程f(x)=0在區(qū)間(0，6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是

( )

A.2 B.3 C.4 D.5.

(2005年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題第12題)

該題一般學(xué)生僅推理出：f(1)=-f(1)=f(2)=0，f(4)=f(1)=0，f(5)=f(2)=0，f(3)=f(0)=0(因?yàn)閒(0)=f(-0)=-f(0)，所以f(0)=0)，很難發(fā)現(xiàn)：由-f(1.5)=f(-1.5)=f(-1.5+3)=f(1.5)得到f(1.5)=0，因此f(4.5)=f(1.5)=0，正確答案為7(而選項(xiàng)上沒(méi)有出現(xiàn))！

由于該題屬于選擇題，一般解題者如果能夠根據(jù)自己的推理找到“答案”往往也就掉以輕心了.針對(duì)于隱函數(shù)的問(wèn)題，因?yàn)椤半[”字當(dāng)頭，不注意挖掘，很可能遺漏或者產(chǎn)生矛盾.

2.1.2 錯(cuò)題是培養(yǎng)學(xué)生形成批判意識(shí)的一種手段

盡管我們力圖回避錯(cuò)題以免“干擾”學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但這樣做很可能使學(xué)生對(duì)錯(cuò)題的“免疫力”降低，一旦遇到錯(cuò)題，往往懷疑是自己的能力而不是這些錯(cuò)題本身.其實(shí)，一些學(xué)生自己對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)題的判斷能力差也是很懊惱，曾經(jīng)做過(guò)調(diào)查，在所調(diào)查的中學(xué)生和大學(xué)生中，分別有71%和62%對(duì)教師故意在平時(shí)放個(gè)別錯(cuò)題以測(cè)試他們的判斷能力表示理解和支持[5].

案例2 已知函數(shù)f(x)滿足f(sinx)=cos3x，求f(cosx)的表達(dá)式.

將這道題作為例題在師范類學(xué)生面前講解.

學(xué)生們面面相覷，不清楚這2種結(jié)果完全相反的解法到底錯(cuò)在哪，幾乎沒(méi)有學(xué)生敢于質(zhì)疑問(wèn)題本身，而將注意力集中在這2種解法是否有誤！師范類學(xué)生作為未來(lái)的教師，面對(duì)鋪天蓋地的數(shù)學(xué)習(xí)題，沒(méi)有辨別錯(cuò)題和對(duì)問(wèn)題評(píng)價(jià)的能力，將很難承擔(dān)將來(lái)的職業(yè)需求！

案例3 一次尋找錯(cuò)題的嘗試.

這是筆者之一在中學(xué)教書(shū)時(shí)所遇到的案例.有一次單元測(cè)試，筆者發(fā)現(xiàn)有一道選擇題出錯(cuò)了(出現(xiàn)了2個(gè)正確選項(xiàng))，但修改肯定會(huì)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)答案，于是就說(shuō)：“本卷中可能有一道錯(cuò)題，如果你指出來(lái)了，就加分，否則不給分.”結(jié)果由于教師沒(méi)有指出是具體哪個(gè)類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題出錯(cuò)，一些學(xué)生把自己不會(huì)做或者找不到選項(xiàng)的選擇題認(rèn)為是錯(cuò)題.這件事引來(lái)了數(shù)學(xué)組教師的爭(zhēng)議.特別是老教師不贊同這樣的做法，他們認(rèn)為：這會(huì)對(duì)檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)的真正情況產(chǎn)生偏差，應(yīng)該不做任何提示，只要讓學(xué)生找到那道錯(cuò)題的2個(gè)選項(xiàng)中的一個(gè)就可以給分，這樣就不影響學(xué)生的測(cè)試了.其實(shí)，從這里我們可窺學(xué)生遇到錯(cuò)題出現(xiàn)不知所措或者渾然不知等現(xiàn)象的一些原因，他們的批判性意識(shí)應(yīng)該通過(guò)各種手段有意識(shí)地進(jìn)行培養(yǎng)，盡管找錯(cuò)題僅是其中的一種手段.

2.2 “錯(cuò)題”的存在及教育價(jià)值

上世紀(jì)90年代鬧得沸沸揚(yáng)揚(yáng)的“船長(zhǎng)年齡問(wèn)題”就屬于“數(shù)學(xué)習(xí)題科學(xué)標(biāo)準(zhǔn)”之外的數(shù)學(xué)問(wèn)題.加州大學(xué)教授費(fèi)爾德出了一道題目：“在一條船上，有75頭牛、32只羊，請(qǐng)問(wèn)船長(zhǎng)的年齡有多大?”這道題目讓64%的法國(guó)孩子和40%的美國(guó)孩子得出“船長(zhǎng)年齡為43歲”的結(jié)論，他們直接用75減去32來(lái)算船長(zhǎng)的年齡.著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙曾對(duì)中國(guó)孩子提出同樣的問(wèn)題，卻發(fā)現(xiàn)有90%的中國(guó)孩子得出“船長(zhǎng)年齡為43歲”.此類“錯(cuò)題”對(duì)學(xué)生的測(cè)試結(jié)果讓我們數(shù)學(xué)教育者有種“五味雜陳”的感覺(jué)：說(shuō)不出味道但又很難受.其實(shí)，長(zhǎng)期以來(lái)，“錯(cuò)題”一直被我們數(shù)學(xué)教育工作者拒之門外，才造成了這樣的調(diào)查結(jié)果.隨著數(shù)學(xué)教育的逐步深入和視野的擴(kuò)展，我們不得不正視“錯(cuò)題”的存在及教育價(jià)值.

2.2.1 “錯(cuò)題”促使學(xué)生反省數(shù)學(xué)問(wèn)題的形成過(guò)程

以往我們的學(xué)生往往只管做題，很少考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題的來(lái)源及實(shí)際情況.其實(shí)，數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源無(wú)非來(lái)自2個(gè)主要方面：一是來(lái)自數(shù)學(xué)本身；二是來(lái)自生活情境.這些問(wèn)題的產(chǎn)生往往一開(kāi)始不一定會(huì)符合文獻(xiàn)[4]提出的“數(shù)學(xué)習(xí)題科學(xué)標(biāo)準(zhǔn)”.在問(wèn)題解決的過(guò)程中往往會(huì)發(fā)現(xiàn)這些數(shù)學(xué)問(wèn)題屬于“錯(cuò)題”,甚至錯(cuò)題.學(xué)生在接觸“錯(cuò)題”或者錯(cuò)題時(shí)，只要教師合理引導(dǎo)，就會(huì)讓學(xué)生感悟到平時(shí)所做的數(shù)學(xué)題其實(shí)有一些是通過(guò)“人為加工的”，屬于“客觀存在”的人為問(wèn)題.

案例4 列方程組解應(yīng)用題.

學(xué)生通過(guò)解一元一次方程，知道可以設(shè)立未知數(shù)通過(guò)方程來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題.然而，教師在教學(xué)二元一次方程內(nèi)容的時(shí)候，提出：我今天早上吃2種早餐：蛋糕和牛奶，一共花了7元，請(qǐng)問(wèn)：蛋糕和牛奶各多少錢？顯然這位教師提出的是“錯(cuò)題”，因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題的“條件不是充分的”，當(dāng)教師補(bǔ)充：“如果買蛋糕的錢比牛奶多1元，你能夠知道結(jié)論嗎？”一些學(xué)生通過(guò)觀察可能馬上會(huì)得出答案：“牛奶是3元，蛋糕是4元.”教師再說(shuō)：“如果我再加條件：買蛋糕的錢是牛奶的2倍，而且前面的2個(gè)條件不變，你能夠知道結(jié)論嗎？”一些學(xué)生感覺(jué)自己憑直覺(jué)得到的答案好像不滿足第3個(gè)條件，思考：滿足前2個(gè)條件是否還存在滿足第3個(gè)條件的答案？好像不行，但又說(shuō)不出理由.這樣，解二元一次方程組的需要就進(jìn)入了學(xué)生的視野，而且，學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中知道，求解2個(gè)未知數(shù)往往只需設(shè)立2個(gè)方程即可.

很多數(shù)學(xué)問(wèn)題是通過(guò)其他數(shù)學(xué)問(wèn)題變化而來(lái)的，在問(wèn)題變化的過(guò)程中，往往回避不了“錯(cuò)題”和錯(cuò)題的過(guò)渡環(huán)節(jié).同樣，現(xiàn)實(shí)問(wèn)題很復(fù)雜，其“毛坯數(shù)學(xué)問(wèn)題”往往屬于“錯(cuò)題”，甚至是錯(cuò)題.只有對(duì)一些信息進(jìn)行取舍，才能夠成為“符合科學(xué)性”的數(shù)學(xué)問(wèn)題;只有讓學(xué)生經(jīng)歷過(guò)這些過(guò)程，才能夠體驗(yàn)數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí).新加坡的數(shù)學(xué)教育家李秉彝先生在與筆者之一的交流中打了個(gè)比喻：“我們不能老是讓學(xué)生坐在餐廳里品嘗‘?dāng)?shù)學(xué)美食’，有時(shí)應(yīng)該讓他們?nèi)ァ當(dāng)?shù)學(xué)廚房’看看，這些‘?dāng)?shù)學(xué)美食’是怎么做出來(lái)的.這些‘漂亮的數(shù)學(xué)美食’是如何從那些不那么漂亮甚至有些丑陋的‘原材料’中加工過(guò)來(lái)的.”

2.2.2 “錯(cuò)題”促使教師研究數(shù)學(xué)與生活的交融

數(shù)學(xué)源自生活，從生活中的問(wèn)題提煉到“符合科學(xué)性”的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往需要經(jīng)歷從“錯(cuò)題”甚至錯(cuò)題的過(guò)程.不僅如此，數(shù)學(xué)應(yīng)用過(guò)程中也需要經(jīng)歷“錯(cuò)題”甚至錯(cuò)題的過(guò)程.

案例5 一個(gè)學(xué)生的尷尬回答.

其實(shí)，數(shù)學(xué)在應(yīng)用的過(guò)程中需要和生活交融，很多問(wèn)題盡管有數(shù)學(xué)的成分，按照數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)做卻與實(shí)際相違背，一些問(wèn)題的處理不一定按照數(shù)學(xué)的游戲規(guī)則進(jìn)行.此類問(wèn)題雖與生活交融但仍該列入“錯(cuò)題”甚至是錯(cuò)題范疇.如果添加諸如“小張與小李在平時(shí)一起消費(fèi)的時(shí)候都采取AA制”之類的說(shuō)明，就可以成為一個(gè)“正確的數(shù)學(xué)問(wèn)題”了！很多具有“實(shí)際成分”的“數(shù)學(xué)問(wèn)題”，或者具有“數(shù)學(xué)成分”的“實(shí)際問(wèn)題”，應(yīng)該用生活及數(shù)學(xué)的雙重眼光審視后才能夠成為“正確的數(shù)學(xué)應(yīng)用題”.例如，涉及到濃度問(wèn)題，教師在編擬問(wèn)題時(shí)必須考慮實(shí)際溶解度的問(wèn)題；又如，編擬年齡問(wèn)題的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，則不可以出現(xiàn)諸如“爺爺比爸爸大123歲”[3]之類的尷尬現(xiàn)象！

2.2.3 “錯(cuò)題”是數(shù)學(xué)教學(xué)避免糾結(jié)的一種過(guò)渡

前面我們談過(guò)，基礎(chǔ)教育階段中的很多數(shù)學(xué)概念是不加定義的，也正因?yàn)榇?，與這些概念相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往都是“錯(cuò)題”，一旦較真，麻煩不斷，只能“約定俗成”而“將錯(cuò)就錯(cuò)”，從而避免了一些糾結(jié).

案例6 觀察下面一列數(shù),按某種規(guī)律在橫線上填入適當(dāng)?shù)臄?shù),并說(shuō)明你的理由.

(2004年浙江省溫州市、臺(tái)州市聯(lián)合中考試題)

這是一道“錯(cuò)題”，因?yàn)榘凑諗?shù)學(xué)上的理解，一個(gè)數(shù)列可以寫出其通項(xiàng)公式，就認(rèn)為這個(gè)通項(xiàng)公式就是它的“規(guī)律”，這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為：

只要控制k的值，第4項(xiàng)可以為任何值.好在編題者已經(jīng)注意到這個(gè)現(xiàn)象，增加了“你的理由是______.”不過(guò)如果一位學(xué)生在第4項(xiàng)隨意填上一個(gè)數(shù)，然后在后面的理由上寫著：“胡思亂想”，不知道改卷的教師該如何評(píng)分？

這個(gè)案例的問(wèn)題癥結(jié)就在于中小學(xué)里的“規(guī)律”一詞是不加任何定義的，只能“約定俗成”也就“相安無(wú)事”了！其實(shí)，如果按照嚴(yán)格的“科學(xué)標(biāo)準(zhǔn)”，基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)問(wèn)題中很可能存在大量的“錯(cuò)題”，為此，陳重穆和宋乃慶先生指出了“注重實(shí)質(zhì)，淡化形式”的觀點(diǎn)[7]，避免糾結(jié)于一些“非本質(zhì)”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是說(shuō)，很多中小學(xué)所涉及的數(shù)學(xué)問(wèn)題從嚴(yán)格意義上講都是“錯(cuò)題”，但只要學(xué)生理解或者領(lǐng)會(huì)所面對(duì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，也就不需要“糾纏”了！可以這樣認(rèn)為，一些“錯(cuò)題”是數(shù)學(xué)教學(xué)避免糾結(jié)的一種過(guò)渡，也是吻合基礎(chǔ)教育階段基本特征的一種數(shù)學(xué)問(wèn)題.

2.3 錯(cuò)題與“錯(cuò)題”教育價(jià)值的實(shí)現(xiàn)

前面筆者著重談了錯(cuò)題和“錯(cuò)題”的概念及其存在與教育價(jià)值.其實(shí)，盡管可能一再回避錯(cuò)題及“錯(cuò)題”，但它們永遠(yuǎn)與數(shù)學(xué)教育相伴相隨，應(yīng)該坦然對(duì)待，這方面的話題在世界范疇可能也是一個(gè)空白，如何實(shí)現(xiàn)錯(cuò)題及“錯(cuò)題”的教育功能，這需要大家一起努力.

首先，盡量避免在重大考試中出現(xiàn)錯(cuò)題以免產(chǎn)生社會(huì)負(fù)面影響，這是理所當(dāng)然的共識(shí)，但要做到這點(diǎn)確實(shí)很不容易.教師可以將歷年重大考題中出現(xiàn)的錯(cuò)題或者有爭(zhēng)議的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行審視，引以為戒.此外，如果在平時(shí)的練習(xí)中偶然發(fā)現(xiàn)錯(cuò)題，應(yīng)該不忙于糾正，可以讓學(xué)生自己尋找錯(cuò)題，以提高學(xué)生的批判性意識(shí)，這也是一個(gè)不錯(cuò)的教育手段，以往這方面的做法不多，建議遇到這種情況可以“借機(jī)教育”.至于是否故意出錯(cuò)題讓學(xué)生尋找，這方面的研究我們期待大家關(guān)注并進(jìn)行一些實(shí)踐性工作.

其次，應(yīng)該讓一些“錯(cuò)題”進(jìn)入我們的數(shù)學(xué)教育研究視野.例如:1)根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題讓學(xué)生創(chuàng)設(shè)生活情境，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活之間的“千絲萬(wàn)縷”關(guān)系；2)添加或者減少數(shù)學(xué)條件，使數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能夠確定或者不矛盾，用這種手段讓學(xué)生把握正確數(shù)學(xué)問(wèn)題形成的實(shí)質(zhì)；3)利用一些“錯(cuò)題”作為數(shù)學(xué)教育的“花絮”，既提高學(xué)生的批判意識(shí)，又增加一些數(shù)學(xué)教學(xué)的樂(lè)趣.

隨著數(shù)學(xué)教育觀念的改變，尤其是開(kāi)放題的進(jìn)入，人們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的要求也越來(lái)越“寬容”，哪些“錯(cuò)題”可以融入我們的數(shù)學(xué)教育，這方面的研究亟待大家的參與.

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[2] 洪菲菲.一道錯(cuò)題引發(fā)的教學(xué)思考[J].內(nèi)蒙古教育，2015(5)：52-54.

[3] 方均斌.例說(shuō)“錯(cuò)題”的教育價(jià)值[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006，45(5)：54-56.

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[5] 方均斌.數(shù)學(xué)信息處理的批判性意識(shí)的調(diào)查與思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010,19(1)：48-50.

[6] 樓盤網(wǎng).小學(xué)奇葩數(shù)學(xué)題鬧笑話：爺爺比爸爸大123歲[EB/OL].http://ganzhou.loupan.com/html/news/201511/2064880.html.

[7] 陳重穆，宋乃慶.淡化形式，注重實(shí)質(zhì)——兼論《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1993，2(2)：4-9.

?2015-11-19；

2015-12-15.

黃琳婕(1991-)，女，浙江臺(tái)州人，碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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