劉恒 趙宏偉 李維梅 劉波

(中國(guó)空間技術(shù)研究院西安分院,西安 710100)

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一種稀布矩形平面陣的多約束優(yōu)化方法

劉恒 趙宏偉 李維梅 劉波

(中國(guó)空間技術(shù)研究院西安分院,西安 710100)

針對(duì)矩形孔徑平面稀布陣的多約束優(yōu)化問題(包括陣元數(shù)、陣列孔徑和最小陣元間距約束),提出了一種基于矩陣映射的差分進(jìn)化算法. 該方法把差分進(jìn)化算法的優(yōu)化變量與陣元位置坐標(biāo)按照特定的關(guān)系進(jìn)行矩陣映射,使含有多約束的陣元分布優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為僅含差分進(jìn)化算法優(yōu)化變量上、下限約束的優(yōu)化問題,從根本上避免了進(jìn)化過程中的不可行解. 通過抑制陣列峰值副瓣電平進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果顯示了該算法的高效性和穩(wěn)健性,且能獲得比現(xiàn)有方法更好的優(yōu)化結(jié)果.

陣列天線;稀布陣;峰值副瓣電平;差分進(jìn)化算法;約束優(yōu)化

DOI 10.13443/j.cjors.2015070101

引 言

稀布陣列因具有高分辨率和低成本受到廣泛的研究,已成功應(yīng)用于抗干擾衛(wèi)星接收天線、高頻地面雷達(dá)、射電天文學(xué)中的干涉陣等領(lǐng)域. 由于稀布陣列天線的設(shè)計(jì)是一個(gè)復(fù)雜的非線性過程[1-3],如果對(duì)均勻間隔陣列簡(jiǎn)單地進(jìn)行稀疏設(shè)計(jì),可以形成陣元間距為某個(gè)基本量的整數(shù)倍的稀疏陣[2],從而極大地簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)過程[4-5]. 相對(duì)于稀疏列的綜合問題,陣元在孔徑內(nèi)隨機(jī)分布的稀布陣由于具有更多的設(shè)計(jì)自由度,在同等陣元數(shù)和陣列孔徑約束條件下能獲得更優(yōu)的輻射特性,近年來已受到廣泛的關(guān)注[6-10].

為了減少陣元之間的互耦以及消除柵瓣,通常約束相鄰陣元間距不小于半波長(zhǎng),所以含約束的稀布陣設(shè)計(jì)是陣列天線的重要課題.

稀布陣是一個(gè)有陣元數(shù)、陣列孔徑和陣元間距約束的多約束優(yōu)化問題. 現(xiàn)有的文獻(xiàn)針對(duì)直線稀布陣已經(jīng)做了大量的研究工作[6-9],并得到了多種不同的優(yōu)化方法. 考慮實(shí)際工程應(yīng)用,目前少有文獻(xiàn)對(duì)稀布平面陣進(jìn)行研究,僅有對(duì)矩形平面稀布陣[10]和圓形平面稀布陣[11]的分析,以抑制陣列的峰值副瓣電平PSLL為目的. 在文獻(xiàn)[10-11]中,采用的遺傳算法都是通過引入帶約束的矩陣變換、設(shè)計(jì)廣義交叉和變異算子的改進(jìn)遺傳算法,雖然在優(yōu)化過程中有效地避免了不可行解的產(chǎn)生,但在引入遺傳操作預(yù)處理和遺傳操作后處理的同時(shí),必然導(dǎo)致優(yōu)化算法的計(jì)算量成倍增加. 因此,尋找一種高效率的稀布平面陣的優(yōu)化方法就顯得格外重要.

差分進(jìn)化(Differential Evolution,DE)算法是Storn和Price兩位學(xué)者提出的[12],由于其高效、快速、隨機(jī)并行搜索方式,且操作簡(jiǎn)單、搜索能力強(qiáng)等原因,已經(jīng)在陣列天線綜合等電磁優(yōu)化問題得到了廣泛的應(yīng)用[13-16]. 楊仕文教授[16]在時(shí)間調(diào)制天線陣列和幅度激勵(lì)的方向圖綜合中應(yīng)用DE算法進(jìn)行優(yōu)化,取得了比遺傳算法更快的收斂速度. 本文針對(duì)矩陣平面稀布陣的多約束優(yōu)化問題(包括陣元數(shù)、陣列孔徑和最小陣元間距約束),提出一種基于矩陣映射的差分進(jìn)化算法. 通過特殊的矩陣映射關(guān)系,將陣元坐標(biāo)矩陣轉(zhuǎn)換為僅含差分進(jìn)化算法優(yōu)化變量的上、下約束問題,消除了優(yōu)化過程中的不可行解,降低了算法的尋優(yōu)空間,與現(xiàn)有的文獻(xiàn)方法相比,大幅度地降低了稀布陣優(yōu)化的計(jì)算量.

1 矩形稀布陣優(yōu)化問題模型

設(shè)優(yōu)化稀布陣模型為圖1所示的對(duì)稱結(jié)構(gòu)的矩形平面陣,陣元數(shù)為4N(N為正整數(shù)),位于xoy平面上,關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱. 任一陣元的坐標(biāo)|xi|≤L且|yi|≤H,可保證陣列孔徑約束為2L×2H.

圖1 對(duì)稱稀布陣在第一象限的示意圖

設(shè)(xn,yn)為第n陣元在xoy平面內(nèi)的坐標(biāo),記In為第n個(gè)陣元的激勵(lì)值. 由于陣列的對(duì)稱性,可以通過圖1中N個(gè)陣元得到其他3N個(gè)陣元的坐標(biāo)和激勵(lì),則矩形平面陣列的陣因子為

ejk(xnu-ynv)+ejk(-xnu+ynv)+ejk(-xnu-ynv)].

(1)

式中: k=2π/λ,λ為自由空間波長(zhǎng); u=sin θcos φ,v=sin θsin φ為方向余弦,θ、φ分別為球坐標(biāo)系下的俯仰角和方位角. 假設(shè)陣元是理想點(diǎn)源,且等幅同相激勵(lì),即In=1. 為保持陣列孔徑為2L×2H,設(shè)置xN=L,yN=H.

為了方便優(yōu)化,將陣元位置向量[x1,x2,…,xn]和[y1,y2,…,yn]變形為矩陣形式,則稀布平面陣列的坐標(biāo)可以用P行Q列的矩陣X和Y來描述,P和Q通過以下計(jì)算得到:

(2)

當(dāng)陣元數(shù)N=P×Q時(shí),陣元坐標(biāo)矩陣X和Y為滿陣;當(dāng)陣元數(shù)N

(3)

這是一個(gè)非線性的多約束優(yōu)化問題,陣元間距可簡(jiǎn)單地取為切比雪夫距離:

d=max{|xij-xkl|,|yij-ykl|}.

(4)

容易證明,若陣列滿足切比雪夫距離約束,則滿足最小陣元間距約束. 若為了抑制兩個(gè)主面的PSLL,可以依據(jù)φ=0和φ=π/2面的PSLL之和構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù),即

(5)

若要使所有φ平面的PSLL盡量低,適應(yīng)度函數(shù)可定義為

(6)

式中: Fmax是陣列方向圖的主瓣峰值; θ,φ的取值為方向圖的副瓣區(qū)域.

2 矩陣映射的DE算法

2.1 種群的生成方法

(7)

式中: αij、βij(1≤i≤P, 1≤j≤Q)為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù); xiQ(1≤i≤P)為第i行第Q列陣元的x坐標(biāo); yPj(1≤j≤Q)為第P行第j列陣元的y坐標(biāo). 為了滿足陣元間距的約束,每一行第一列陣元的坐標(biāo)Δxi1應(yīng)該滿足Δxi1≥0.5d0,其他列的陣元間距應(yīng)滿足Δxij≥d0(2≤j≤Q),令Δd=[0.5d0, d0,…,d0]為陣元間距最小約束向量. 那么在x方向有Q個(gè)陣元,xiQ的取值范圍為[(Q-0.5)d0, L]. 同理可得在y方向,第P行第j列陣元的y坐標(biāo)yPj的取值范圍為[(P-0.5)d0, H]. 則陣元間距矩陣ΔX和ΔY可以通過以下特殊的映射關(guān)系得到:

(8)

(9)

下面證明,對(duì)于任意矩陣A和B映射得到的陣元坐標(biāo)矩陣X和Y均滿足陣元間距約束和陣列孔徑約束,且滿足間距和孔徑約束的任何X和Y都可以通過矩陣A和B映射得到.

同理可證,B與Y之間的映射關(guān)系. 所以陣元坐標(biāo)矩陣X和Y的所有可行解都可以通過矩陣A和B的映射得到. 通過矩陣A和B映射得到的陣元坐標(biāo)矩陣X和Y,如果陣元數(shù)N

2.2 DE算法優(yōu)化流程圖

對(duì)于平面稀布陣的多約束問題,通過映射把陣元坐標(biāo)矩陣X和Y轉(zhuǎn)換為矩陣A和B僅含單個(gè)變量上、下限約束的連續(xù)優(yōu)化問題. 從矩陣映射DE算法的流程圖(圖2)可以看出,在優(yōu)化過程中,作為計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)時(shí)的陣元坐標(biāo)矩陣X和Y不參與DE算法的變異、交叉、選擇操作,這樣不需對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn),就可以保證在進(jìn)化過程中的X和Y都是可行解,避免了為不可行解而設(shè)置懲罰函數(shù). 同時(shí)DE算法的收斂性由可行解空間范圍的封閉性得到了保證.

圖2 矩陣映射DE算法流程圖

3 計(jì)算機(jī)仿真性能比較

文獻(xiàn)[10]運(yùn)用改進(jìn)的遺傳算法對(duì)陣列孔徑2L×2H=9.5λ×4.5λ的陣列進(jìn)行綜合,在陣元間距不小于0.5λ約束下,分別實(shí)現(xiàn)了陣元數(shù)4N=108和4N=100的稀布矩形平面陣設(shè)計(jì). 為了驗(yàn)證本文方法的有效性和穩(wěn)健性,在同樣的約束下,通過仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比兩例矩陣平面稀布陣的綜合結(jié)果.

3.1 仿真實(shí)例1(4N=108)

陣元數(shù)4N=108的對(duì)稱矩形平面陣,陣元間距不小于0.5λ,總孔徑2L×2H=9.5λ×4.5λ,為了進(jìn)行算法性能的對(duì)比,采用相同的采樣點(diǎn)數(shù),即在u=sinθ區(qū)間[0,1]內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)為100,同樣取式(5)作為適應(yīng)度函數(shù),P=3,Q=9來表示陣元位置矩陣X和Y,可知本文中矩陣A和B的變量個(gè)數(shù)為2PQ+P+Q-2=64,個(gè)體采用64位的實(shí)數(shù)編碼.DE算法的參數(shù)采用文獻(xiàn)[17]推薦的DE/rand/1/bin,變異概率為0.5,交叉概率為0.9,種群數(shù)為50,進(jìn)化代數(shù)為300,為了檢驗(yàn)本文方法的穩(wěn)健性,獨(dú)立隨機(jī)地運(yùn)行5次仿真程序. 在文獻(xiàn)[10]中,其適應(yīng)度最優(yōu)個(gè)體為-45.456dB(在φ=0面,PSLL=-29.597dB;在φ=π/2面,PSLL=-15.859dB).

在本文算法仿真結(jié)果中,最好的適應(yīng)度值為-51.424dB(在φ=0面,PSLL=-34.998dB;在φ=π/2 面,PSLL=-16.426dB,兩個(gè)主面的結(jié)果都優(yōu)于文獻(xiàn)[10]),最差的一次為-49.269dB. 比文獻(xiàn)[10]中最好優(yōu)化結(jié)果分別低了5.968dB和3.308dB. 圖3給出了DE算法單次和5次平均收斂曲線,圖4是最優(yōu)稀布陣在φ=0和φ=π/2截面的方向圖. 表1給出了最優(yōu)個(gè)體的陣元坐標(biāo)矩陣X和Y,對(duì)應(yīng)的陣元分布圖與文獻(xiàn)[10]的對(duì)比如圖5所示.

圖3 DE算法單次和5次平均收斂曲線

圖4 φ=0和φ=π/2面的方向圖

圖5 第一象限內(nèi)文獻(xiàn)[10]與本文稀布陣分布圖

3.2 仿真實(shí)例2(4N=100)

陣元數(shù)4N=100,最小陣元間距約束、陣列孔徑以及DE算法的參數(shù)設(shè)計(jì)與實(shí)例1一樣. 采用式(6)作為適應(yīng)度函數(shù),對(duì)所有φ平面的副瓣進(jìn)行抑制. 根據(jù)式(2)計(jì)算得到P=3,Q=9,與實(shí)例1不同,經(jīng)過矩陣映射后的陣元位置矩陣X和Y有兩個(gè)元素需要被剔除掉(第3行第9列的元素必須保留). 在文獻(xiàn)[10]中,最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度為-18.84 dB.

在本文算法優(yōu)化結(jié)果中,最好的適應(yīng)度值為-20.384 dB,最差的結(jié)果為-20.272 dB,比文獻(xiàn)[10]中最好優(yōu)化結(jié)果分別低了1.54 dB和1.43 dB. 圖6是最優(yōu)稀布陣的歸一化遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖. 表2列出了最優(yōu)個(gè)體的陣元坐標(biāo)稀疏矩陣X和Y,其中被剔除的位置用“X”標(biāo)示,對(duì)應(yīng)的陣元分布圖與文獻(xiàn)[10]的對(duì)比如圖7所示.

通過上述兩例的數(shù)值結(jié)果分析,證實(shí)了本文提出優(yōu)化算法的優(yōu)化效率,且具有好的收斂性和穩(wěn)健性.

圖6 歸一化遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖 圖7 第一象限內(nèi)文獻(xiàn)[10]與本文得到的稀布陣分布圖

列 1列 2列 3列 4列 5列 6列 7列 8列 9行10254，02540757，02671259，02511763，02502271，02542808，02513478，02604210，02504745，0264行20251，07690756，08141259，07521767，07512285，08442872，07523582，08704241，07514750，1708行30251，17650752，15411253，12531759，12512267，22482901，12523542，16074190，12524750，2250

表2 最優(yōu)陣4N=100的第一象限陣元坐標(biāo)矩陣X和Y(第一、第二個(gè)數(shù)分別為x,y坐標(biāo),單位λ)

4 結(jié) 論

本文針對(duì)矩形平面稀布陣綜合中的多約束優(yōu)化問題(包括陣元數(shù),陣列孔徑和最小陣元間距約束),提出了一種基于矩陣映射的差分進(jìn)化算法,通過精心設(shè)計(jì)參數(shù)變量矩陣,將差分進(jìn)化算法中的變量與陣元位置按照特定的關(guān)系進(jìn)行映射. 在保持可行解空間不變的前提下,將多約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為僅含變量上、下限約束的優(yōu)化問題,從而避免了算法在優(yōu)化過程中的不可行解. 與現(xiàn)有公開發(fā)表的方法相比,本文提出的方法在變量數(shù)上有所增加,但避免了進(jìn)化過程中復(fù)雜的后期處理,極大地提高了算法優(yōu)化效率. 且本文提出的方法具有好的通用性,可用于差分進(jìn)化算法外的多種算法.

[1] SKOLNIK M I, NEMHAUSER G, SHERMAN J W III. Dynamic programming applied to unequally spaced arrays[J]. IEEE transactions on antennas and propagation, 1964, 12(1): 35-43.

[2] KUMAR B P, BRANNER G R. Design of unequally spaced arrays for performance improvement[J]. IEEE transactions on antennas and propagation, 1999, 47(3): 511-523.

[3] KUMAR B P, BRANNER G R. Generalized analytical technique for the synthesis of unequally spaced arrays with linear, planar, cylindrical or spherical geometry[J]. IEEE transactions on antennas and propagation, 2005, 53(2): 621-634.

[4] HAUPT R L. Thinned arrays using genetic algorithm[J]. IEEE transactions on antennas and propagation, 1994, 42(7): 993-999.

[5] KEIZER W P M N. Synthesis of thinned planar circular and square arrays using density tapering[J]. IEEE transactions on antennas and propagation, 2014, 62(4): 621-634.

[6] CHEN K S, HE Z S, HAN C L. A modified real GA for the sparse linear array synthesis with multiple constraints [J]. IEEE transactions on antennas and propagation, 2006, 54(7): 2169-2173.

[7] GOUDOS S K, SIAKAVARA K, SAMARAS T, et al. Sparse linear array synthesis with multiple constraints using differential evolution with strategy adaptation[J]. IEEE antennas wireless propagation letters, 2011, 10: 670-673.

[8] LIN Z Q, JIA W M, YAO M L, et al. Synthesis of sparse linear arrays using vector mapping and simultaneous perturbation stochastic approximation[J]. IEEE antennas wireless propagation letters, 2012, 11: 220-223.

[9] 賈維敏, 林志強(qiáng), 姚敏立, 等. 一種多約束稀疏線陣的天線綜合方法[J]. 電子學(xué)報(bào), 2013,41(5):926-930.

JIA W M, LIN Z Q, YAO M L, et al. A synthesis technique for linear sparse array with multiple constraints [J]. Acta electronic sinica, 2013, 41(5): 926-930.(in Chinese)

[10]CHEN K S, YUN X H, HE Z S, et al. Synthesis of sparse planar array using modified real genetic algorithm[J]. IEEE transactions on antennas and propagation, 2007, 55(4): 1067-1073.

[11]唐斌, 陳客松, 楊曉波. 圓形口徑平面天線陣列的多約束稀布優(yōu)化方法一種多約束稀疏線陣的天線綜合方法[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 41(5):21-27.

TANG B, CHEN K S, YANG X B. An optimum method of sparse plane arrays with circular boundary[J]. Chinese journal of radio science, 2013, 41(5): 21-27. (in Chinese)

[12]STORN R, PRICE K. Differential evolution-a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces[J]. Journals of global optimization, 1997, 11: 341-359.

[13]CAORSI S, MASSA A, PASTORINO M, et al. Optimization of the difference patterns for monopulse antennas by a hybrid real/integer-coded differential evolution method [J]. IEEE transactions on antennas and propagation, 2005, 53(1): 372-3765.

[14]GOUDOS S K, SAHALOS J N. Pareto optimization microwave filter design using multiobjective differential evolution[J]. IEEE transactions on antennas and propagation, 2010, 58(1): 132-142.

[15]ROCCA P, OLIVERI G, MASSA A. Differential evolution as applied to electromagnetics[J]. IEEE antennas propagation magazine, 2011, 53(1): 38-49.

[16]YANG S, GAN Y B, QING A. Sideband suppression in time modulated linear arrays by the differential evolution algorithm[J]. IEEE antennas wireless propagation letters, 2002, 1:173-175.

[17]BREST J, GREINER S, BOSKOVIC B, et al. Self-adapting control parameters in differential evolution: A comparative study on numerical benchmark problems [J]. IEEE transactions on evolutionary computation, 2006, 10(6): 646-657.

趙宏偉 (1982-),男,山東人,中國(guó)空間技術(shù)研究院博士研究生,研究方向?yàn)榭臻g譜估計(jì)、智能優(yōu)化算法.

李維梅 (1986-),女,甘肅人,中國(guó)空間技術(shù)研究院工程師、博士研究生,研究方向?yàn)樾l(wèi)星射頻系統(tǒng)關(guān)鍵技術(shù).

劉波 (1963-),男,湖南人,中國(guó)空間技術(shù)研究院研究員、博士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)樾l(wèi)星總體設(shè)計(jì).

An optimum method of sparse planar arrays with rectangular boundary

LIU Heng ZHAO Hongwei LI Weimei LIU Bo

(China Academy of Space Technology, Xi’an 710100, China)

This paper proposes an array antenna synthesis technique based on differential evolution(DE) with matrix mapping for sparse rectangular planar arrays with multiple constraints. The constraints include the number of elements, the array aperture, and the minimum spacing between adjacent elements. With a novel matrix mapping between the element spacings and the variables of DE, the strong constrained optimization problem is simply transformed to an optimization problem with only lower and upper limit, and the infeasible solutions are naturally avoided. Simulation results confirm the great efficiency and the robustness of the proposed method and show that our method can achieve better results than the existing methods.

array antenna; planar sparse array; sidelobe level; differential evolution; constraint optimization

10.13443/j.cjors.2015070101

2015-07-01

國(guó)家自然科學(xué)基金(No.61201089)； 國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金(9140C530101130C53013)

TN820.1

A

1005-0388(2016)03-0522-06

劉恒 (1986-),男,湖南人,中國(guó)空間技術(shù)研究院博士研究生,研究方向?yàn)殛嚵刑炀€設(shè)計(jì)與優(yōu)化.

劉恒, 趙宏偉, 李維梅, 等. 一種稀布矩形平面陣的多約束優(yōu)化方法[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào),2016,31(3):522-527.

LIU H, ZHAO H W, LI W M, et al. An optimum method of sparse planar arrays with rectangular boundary [J]. Chinese journal of radio science,2016,31(3):522-527. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2015070101

聯(lián)系人： 劉恒 E-mail: liuheng@mail.nankai.edu.cn