曾鈺耀

摘 要：文章采用了比例導(dǎo)引法對(duì)平行追擊問(wèn)題進(jìn)行了研究，通過(guò)基于比例導(dǎo)引法的導(dǎo)彈平行追擊問(wèn)題模型進(jìn)行了算法設(shè)計(jì)。利用MATLAB工具對(duì)算法進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)模擬，能夠直觀有效地看出導(dǎo)彈與目標(biāo)各自的運(yùn)動(dòng)軌跡模型。再根據(jù)模擬仿真的結(jié)果分析，驗(yàn)證了比例導(dǎo)引法的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞：平行追擊；比例引導(dǎo)法；MATLAB

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-8937（2016）30-0056-04

1 概 述

平行追擊問(wèn)題在運(yùn)動(dòng)學(xué)當(dāng)中，屬于比較典型的問(wèn)題。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，空戰(zhàn)中導(dǎo)彈的使用日益增多。導(dǎo)彈如何采用一種有效合理的攻擊方式去攻擊目標(biāo)成為了研究熱點(diǎn)。而導(dǎo)彈對(duì)攻擊目標(biāo)的打擊問(wèn)題也就是所謂的平行追擊問(wèn)題，本文就是基于此例探討平行追擊問(wèn)題，通過(guò)對(duì)導(dǎo)彈追擊的連續(xù)模型進(jìn)行離散化，設(shè)計(jì)算法達(dá)到能過(guò)MATLAB編程實(shí)現(xiàn)模型的地步，對(duì)平行追擊問(wèn)題進(jìn)行研究。

2 引導(dǎo)方法簡(jiǎn)述

對(duì)于導(dǎo)彈平行追擊問(wèn)題來(lái)說(shuō)，選擇一種合適的引導(dǎo)方法，就能有效、充分的發(fā)揮其性能。通過(guò)選擇較為合適的引導(dǎo)方法，又或者通過(guò)完善現(xiàn)有的引導(dǎo)方法以及去創(chuàng)新一種新的引導(dǎo)方法，這些都是導(dǎo)彈發(fā)展環(huán)節(jié)重要的技術(shù)之一。人們?cè)谘芯繉?dǎo)彈的經(jīng)典引導(dǎo)方法這一問(wèn)題上得到的結(jié)論頗多、貢獻(xiàn)較大。常見(jiàn)的有追蹤法、平行接近法、比例引導(dǎo)法這三種基本引導(dǎo)方法。

在這三種方法當(dāng)中，比例引導(dǎo)發(fā)是在追蹤法與平行接近法這兩者方法之間的一種方法。比例引導(dǎo)法，是指導(dǎo)彈在飛行的過(guò)程中，導(dǎo)彈的速度矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和其與追擊目標(biāo)連線的轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度有一定比例的一種引導(dǎo)方法。它能通過(guò)自身的參數(shù)的調(diào)整，來(lái)滿足對(duì)另外兩種方法的變化。故與其他兩種方法比較起來(lái)，比例引導(dǎo)法有較大的優(yōu)勢(shì)。本文主要應(yīng)用比例引導(dǎo)法在導(dǎo)彈平行追擊問(wèn)題的應(yīng)用進(jìn)行深層次的研究以及探討。

3 基于比例引導(dǎo)法的導(dǎo)彈追擊問(wèn)題模型

3.1 模型的基本假設(shè)

在導(dǎo)彈平行追擊過(guò)程中，作如下基本假設(shè)：

①不考慮地球曲率以及地球自轉(zhuǎn)影響；

②不計(jì)風(fēng)速等天氣狀況的影響；

③默認(rèn)目標(biāo)物沒(méi)有較強(qiáng)的機(jī)動(dòng)性；

④認(rèn)為導(dǎo)彈與追擊目標(biāo)均做勻速運(yùn)動(dòng)；

⑤認(rèn)為導(dǎo)彈有良好的控制系統(tǒng)；

⑥把導(dǎo)彈與追擊目標(biāo)都視于做質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。

3.2 導(dǎo)彈與追擊目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

在導(dǎo)彈平行追擊問(wèn)題中，導(dǎo)彈與追擊目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，如圖1所示。

比例引導(dǎo)法，是指導(dǎo)彈在飛行的過(guò)程中，導(dǎo)彈的速度矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度dθm/dt和目標(biāo)線的轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度dq/dt有一定的比例的一種引導(dǎo)方法，其中引導(dǎo)關(guān)系式為：

導(dǎo)彈M與目標(biāo)T的相對(duì)距離的變化率dr/dt可以表示為導(dǎo)彈速度矢量和目標(biāo)速度矢量在目標(biāo)線上分量的代數(shù)和；目標(biāo)線的旋轉(zhuǎn)角速度dq/dr等于導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度矢量分別在垂直面上的矢量代數(shù)和再除以它們之間的相對(duì)距離r。

綜上，導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程：

分析（1）式，我們可以發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的特性由下面幾個(gè)因素所決定：

①目標(biāo)物的特性，比如速度等；

②導(dǎo)彈的特性，比如速度等；

③導(dǎo)彈飛行的時(shí)候軌跡的變化規(guī)律；

④導(dǎo)彈采用的引導(dǎo)方法，即的選?。?/p>

⑤初始時(shí)候的取值。

3.3 差分法導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡模型

大多數(shù)導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡仿真的文獻(xiàn)中，居多數(shù)都是只給出了導(dǎo)彈和追擊目標(biāo)在同一平面運(yùn)動(dòng)的時(shí)候的軌跡的二維圖形。本文基于比例導(dǎo)引法的原理，對(duì)導(dǎo)彈和追擊目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行三維的模擬。本文采用差分法，來(lái)求得各個(gè)時(shí)刻的導(dǎo)彈與追擊目標(biāo)各自的離散的三維坐標(biāo)。通過(guò)繪出其坐標(biāo)點(diǎn)的變化，就能得到模擬的平行追擊問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)求出飛行時(shí)間、撞擊點(diǎn)的坐標(biāo)。

K-1時(shí)刻到k時(shí)刻的導(dǎo)彈和追擊目標(biāo)關(guān)系，如圖2所示。

更改了Δq值后需要將其帶入（2）式中再進(jìn)行迭代差分計(jì)算一次，最后得到一系列值。

4 基于MATLAB的導(dǎo)彈追擊問(wèn)題算法實(shí)現(xiàn)

4.1 算法設(shè)計(jì)

根據(jù)算法利用MATLAB軟件對(duì)導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡模型進(jìn)行模擬。在實(shí)現(xiàn)模擬時(shí)，通過(guò)采取導(dǎo)彈與目標(biāo)不同時(shí)刻的坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行繪制，用每隔一段時(shí)間的三維坐標(biāo)變化（當(dāng)導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的距離r等于60時(shí)，就判斷導(dǎo)彈有效的擊中了目標(biāo)），最終繪制出平行追擊問(wèn)題的一個(gè)完整的三維的運(yùn)動(dòng)軌跡圖。

具體的比例導(dǎo)引法的算法流程圖，如圖3所示。

4.2 仿真結(jié)果

本例采用的初始參數(shù)，見(jiàn)表3。

將以上參數(shù)帶入MATLAB，對(duì)應(yīng)的三維運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖4所示。

經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到導(dǎo)彈擊中目標(biāo)時(shí)導(dǎo)彈運(yùn)行時(shí)間為48.3 s；導(dǎo)彈與目標(biāo)的最終撞擊點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2423.060，9992.971，

25129.392）。

4.2.1 比例導(dǎo)引系數(shù)K對(duì)導(dǎo)彈軌跡的影響

當(dāng)采取不同導(dǎo)引系數(shù)K值的時(shí)候，導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)三維運(yùn)動(dòng)軌跡圖，如圖5所示。

從圖中我們可以清楚地看到，當(dāng)K=1的時(shí)候，導(dǎo)彈軌跡彎曲是最大的，當(dāng)K=7時(shí)，導(dǎo)彈軌跡彎曲時(shí)最小的，基本趨于直線，由此可以得出結(jié)論：

當(dāng)K較小時(shí)，導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡越彎曲；K越大時(shí)，越接近平行接近法，導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡幾乎是平直的，這一點(diǎn)就證明了比例導(dǎo)引法的理論的觀點(diǎn)是正確的。

4.2.2 比例導(dǎo)引導(dǎo)彈的速度對(duì)導(dǎo)彈軌跡的影響

當(dāng)設(shè)定不同的導(dǎo)彈速度的初始值時(shí)，導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)三維運(yùn)動(dòng)軌跡圖，如圖6所示。

從圖中可以看出，對(duì)于不同的導(dǎo)彈初始速度，仿真得到的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡也有所不同，主要表現(xiàn)在以下方面：導(dǎo)彈初始速度越小，導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡初始段半徑越大，軌跡相應(yīng)就會(huì)較為平直；反之，速度比p越大，軌跡初始段曲率半徑越小，軌跡就會(huì)變得越彎曲；導(dǎo)彈初始越大，相遇距離越近，相遇時(shí)間越短；反之，距離越遠(yuǎn)，時(shí)間越長(zhǎng)。

4.3 算法優(yōu)缺點(diǎn)分析

4.3.1 優(yōu)點(diǎn)

可以得到較為平直的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡，在與追蹤法和平行接近法相比，它沒(méi)有對(duì)發(fā)射初始條件有嚴(yán)格的要求，從而能夠在技術(shù)上得以實(shí)施。

4.3.2 缺點(diǎn)

比例導(dǎo)引法還存在明顯的缺點(diǎn)，即命中點(diǎn)導(dǎo)彈需用法向過(guò)載受導(dǎo)彈速度和攻擊方向的影響。為了消除比例導(dǎo)引法的缺點(diǎn)，多年來(lái)人們一直致力于比例導(dǎo)引法的改進(jìn)，研究出了很多形式的比例導(dǎo)引方法。例如，需用法向過(guò)載與目標(biāo)視線旋轉(zhuǎn)角速度成比例的廣義比例導(dǎo)引法。

4.4 結(jié)果分析

本節(jié)根據(jù)設(shè)計(jì)意圖繪制出設(shè)計(jì)流程圖，進(jìn)行比例引導(dǎo)法的算法設(shè)計(jì)，用MATLAB繪制出導(dǎo)彈與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖。

通過(guò)以上結(jié)果可以清楚地看見(jiàn)導(dǎo)彈與追擊目標(biāo)各自的運(yùn)動(dòng)軌跡以及他們之間的運(yùn)行時(shí)間、導(dǎo)彈與追擊目標(biāo)相撞時(shí)坐標(biāo)點(diǎn)的數(shù)據(jù)情況。這些數(shù)據(jù)都表明了本次設(shè)計(jì)初步到達(dá)了對(duì)平行追擊問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)的要求。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)結(jié)合一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)對(duì)平行追擊問(wèn)題的模型進(jìn)行了連續(xù)的離散化，對(duì)追擊問(wèn)題進(jìn)行了經(jīng)典方式方法的探討，基于MATLAB軟件，對(duì)平行追擊問(wèn)題繪制出三維的導(dǎo)彈追擊目標(biāo)模擬運(yùn)動(dòng)軌跡圖，進(jìn)一步驗(yàn)證了比例導(dǎo)引法這一導(dǎo)引律的正確性。得出在平行追擊問(wèn)題的關(guān)鍵技術(shù)就是對(duì)導(dǎo)彈的導(dǎo)引技術(shù)。

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