張忠強 崔 兵 崔 浩 路 闊

(河北大學建筑工程學院，河北 保定 071002)

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建筑物變形預測模型的對比分析

張忠強 崔 兵 崔 浩 路 闊

(河北大學建筑工程學院，河北 保定 071002)

運用灰色GM(1，1)和自適應Kalman濾波兩種模型，分別分析了某磚混結構建筑物的沉降變形趨勢，并借助MATLAB2014平臺編寫了兩種模型的擬合程序，基于此磚混結構建筑物的實測沉降數(shù)據(jù)，對兩種模型進行了變形預測，通過這兩種模型預測值與實測值的對比及模型誤差的檢驗表明，自適應Kalman濾波模型在變形預測方面具有一定的優(yōu)勢。

Kalman濾波，變形預測，建筑物，沉降

0 引言

為了確保建筑物的穩(wěn)定性及安全性，建筑物在施工過程中及竣工后都需要進行定期的變形監(jiān)測，尤其是高層建筑物及早期的建筑物如一些高校早期建造的磚混結構教學樓或宿舍樓等。本文根據(jù)灰色GM(1,1)和自適應Kalman濾波模型理論，結合某高校磚混結構教學樓實測數(shù)據(jù)，通過MATLAB編程對這兩種方法建立相應的模型，通過這兩種模型的預測值與實測值的對比分析，來探討這兩種模型在建筑物的沉降變形趨勢分析和預測中的應用，為及時預報險情確保生命財產安全等提供重要的依據(jù)。

1 灰色GM(1，1)模型

灰色系統(tǒng)理論是一門跨領域的新興學科，灰色模型是針對小樣本、貧信息的預測，也是建立系統(tǒng)運行趨勢模型的有效方法[1,2]，近年來灰色模型在預測方面已得到廣泛的應用，如交通事故預測、農業(yè)產量預測以及水利工程災害預測和建筑工程災害預測等?；疑到y(tǒng)模型所需數(shù)據(jù)較少，對數(shù)據(jù)沒有嚴格的要求，采用有限已知數(shù)據(jù)建立微分預測模型，并對事物發(fā)展規(guī)律作出模糊性的描述[3,4]。

灰色GM(1,1)一階預測模型是時間序列常用的一種模型，其原理是通過對一階變量的原始數(shù)據(jù)先進行一次累加處理生成一個新的數(shù)列，然后生成緊鄰均值數(shù)列，通過求解一階灰色微分方程得到擬合曲線，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)未知量的預測。具體過程如下：

1)已知原始序列：

x(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]

(1)

2)生成一次累加序列：

x(1)=[x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)]

(2)

3)生成緊鄰均值序列：

z(1)=[z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)]

(3)

4)建立一階灰色微分方程：

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(4)

其中，a，b為未知參數(shù)，記為:

YN=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]。

5)對應白化方程變換：

(5)

6)求解微分方程：

(6)

7)還原一階變量序列：

(7)

2 自適應Kalman濾波模型

自適應Kalman濾波模型就是在利用觀測數(shù)據(jù)進行濾波的同時，實時地對未知的或不確切知道的系統(tǒng)模型參數(shù)或噪聲的統(tǒng)計特性進行適當?shù)墓烙嫼托拚詼p弱模型誤差的影響，使濾波結果更接近于實際，因此，可以在濾波過程中，利用已有信息對動態(tài)噪聲方差陣進行實時估計以補償濾波中對動態(tài)噪聲方差或協(xié)方差估計的不足，這就是自適應Kalman濾波的方差補償法，它的公式推導過程如下[5-9]：

當不考慮具有確定性輸入時，離散線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波模型的狀態(tài)方程和觀測方程為：

(8)

式(8)中，k=1,2,3,…；Φk,k-1,Ωk-1,Γk-1,Xk,Lk，Bk,Δk分別為第k-1期到第k期的狀態(tài)轉移矩陣，第k-1期動態(tài)噪聲向量及動態(tài)噪聲的系數(shù)矩陣；余下系數(shù)為第k期t時刻狀態(tài)向量，觀測向量，觀測向量的系數(shù)矩陣及觀測噪聲向量。

{Ωk}和{Δk}為互不相關的零均值白噪聲序列,即：

(9)

其中,DΩk為動態(tài)噪聲方差；DΔk為觀測噪聲方差；δkj為Kronecker—δ函數(shù)。

設標準卡爾曼濾波的狀態(tài)一步預測方程為:

(10)

預報誤差協(xié)方差陣為：

(11)

濾波增益矩陣為：

(12)

狀態(tài)濾波方程為:

(13)

濾波誤差協(xié)方差陣為:

DXk,k=(I-JkBk)DXk,k-1

(14)

假定{Ωk}和{Δk}為正態(tài)序列，X0為正態(tài)向量，定義i步預測殘差為:

(15)

(16)

其中,ηk+i為零均值隨機變量，i=1，…,N，令：

(17)

又記：η=[ηk+1，…,ηk+N]T，則有E=AdiagDΩΩ+η。

上式是關于diagDΩΩ的線性方程組，當N≥r時，有唯一解，記diagDΩΩ的LS估計為:

diagDΩΩ=(AtA)-1ATE。

3 模型精度檢驗

3.1 殘差檢驗

預測的絕對誤差為：

(18)

預測的相對誤差為：

(19)

3.2 后驗差檢驗

后驗差比值為：

c=S2/S1

(20)

小誤差概率為：

(21)

4 工程實例

4.1 濾波初值的選取

4.2 結果分析

以河北大學某5層磚混結構建筑物為研究對象，通過在建筑物頂端四個角典型位置處布置巖土公司生產的BSIL-GS700T光纖光柵靜力水準儀，通過對建筑物整體沉降的監(jiān)測數(shù)據(jù)的整理，在實測數(shù)據(jù)中截取一段時間的15個樣本為例，在這15個數(shù)據(jù)(見表1)中取前10個數(shù)據(jù)建模進行擬合計算，后5個(見表2)進行預測，通過MATLAB2014編寫灰色GM(1,1)和自適應Kalman濾波模型的程序進行分析，并對比分析兩組預測值與原始實測值的曲線吻合度及趨勢。

通過前10個實測數(shù)據(jù)作為訓練樣本，用MATLAB編寫了兩個模型的程序，經MATLAB運行后得到了兩種模型沉降值擬合曲線，如圖1所示。將后5個數(shù)據(jù)作為檢驗樣本代入到上述擬合曲線中，得到如圖2所示的預測曲線，表2給出了實測值與兩種模型的預測值及其絕對誤差與相對誤差。

表1 實測數(shù)據(jù) mm

表2 模型的預測值及誤差

從圖1可以看出，自適應Kalman濾波的擬合效果優(yōu)于灰色系統(tǒng)模型，前者與實測值的曲線走勢幾乎吻合并且具有較好的擬合精度，而灰色系統(tǒng)模型由于對隨機成分只起弱化作用，使得對數(shù)據(jù)列中的周期成分和隨機成分無法進行預測，在圖中表現(xiàn)為數(shù)據(jù)突變后有一定的滯后性。經過計算，自適應Kalman濾波模型的平均誤差為-0.000 671 429，平均相對誤差為0.035%，小誤差概率p=100%，而灰色系統(tǒng)模型的平均誤差為2.312 96E-19，平均相對誤差為0.057%，小誤差概率p=90%，由此可見自適應Kalman濾波模型的預測精度較高。

通過表1，表2及圖1，圖2的對比分析可知，自適應Kalman濾波模型的預測值和實測沉降值的曲線非常接近，殘差值的波動較小，相對于灰色系統(tǒng)模型更為穩(wěn)定。通過圖中曲線可以發(fā)現(xiàn)，Kalman濾波的曲線相對于實測曲線中的一些尖端點被消弱了，曲線更平滑一些，這表明Kalman濾波模型能很好的模擬狀態(tài)向量的變化規(guī)律，從表2可以看出，自適應Kalman濾波的誤差相對來說較小。

5 結語

本文結合工程實例對灰色GM(1,1)和自適應Kalman濾波模型在建筑物變形監(jiān)測中的應用進行了對比分析，得出如下結論：借助MATLAB2014平臺，編寫的兩種模型的預測程序均能預測未來沉降變形的趨勢。由于建筑物的沉降變形是一個動態(tài)過程，會受到諸多因素的影響，灰色GM(1,1)所反映的建筑物沉降變形的真實度會隨著時間的累加而降低，可見，灰色模型適合于具有較強趨勢線數(shù)據(jù)序列的預測，但是Kalman濾波在濾波時能實時地對未知的或不確切知道的系統(tǒng)模型參數(shù)或噪聲的統(tǒng)計特性進行適當?shù)墓烙嫼托拚詼p弱模型誤差的影響，所以受此的影響較低，在長時間的變形趨勢預測精度高于灰色GM(1,1)模型。可見，自適應Kalman濾波在變形預測精度和準確性方面有一定的優(yōu)勢。

[1] 劉思峰,黨耀國,方志耕,等.灰色系統(tǒng)理論及其應用[M].北京：科學出版社,2004:125-134.

[2] 鄧聚龍.灰色系統(tǒng)理論教程[M].武漢：華中理工大學出版社,1990.

[3] 趙江平,丁佳麗.基于小波分析的灰色GM(1,1)模型道路交通事故預測[J].數(shù)學的實踐與認識,2015,45(12):119-124.

[4] 劉思峰,鄧聚龍.GM(1,1)模型的適用范圍[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2000(5):121-124.

[5] 楊昌民，崔 兵，張忠強.自適應卡爾曼濾波在建筑物變形監(jiān)測中的應用[J].北京測繪，2016(2):83-85.

[6] 胡小伍.Kalman濾波在高鐵橋梁變形預測分析中的應用[J].測繪地理信息,2014,39(5):58-61.

[7] 袁明月,文鴻雁,聶光裕，等.高鐵變形分析中自適應Kalman濾波算法應用研究[J].公路工程,2015,40(1):55-58.

[8] 謝 波.卡爾曼濾波在建筑物變形監(jiān)測中的應用[J].地礦測繪,2009,25(3):25-27.

[9] 申繼鵬.卡爾曼濾波在路面檢測信號處理中的應用[J].中國高新技術企業(yè),2015(13):42-43.

[10] 陳 蕾,劉立龍,陳東銀.自適應卡爾曼濾波法用于變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理[J].測繪工程,2008,17(1):48-54.

[11] 王 琦,孫 華,李偉華,等.卡爾曼濾波在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應用[J].工程地球物理學報,2009,6(5):658-661.

[12] 王井利,張春哲.自適應卡爾曼濾波在地鐵監(jiān)測中的應用[J].沈陽建筑大學學報,2014,30(2):263-268.

Comparison and analysis of building deformation prediction

Zhang Zhongqiang Cui Bing Cui Hao Lu Kuo

(CollegeofCivilEngineeringandArchitecture,HebeiUniversity,Baoding071002,China)

Using the grey GM(1,1) and the adaptive Kalman filter model analysis a brick concrete structure building settlement deformation trend respectively. Through with MATLAB2014 is developed on the platform of the two kind of model fitting procedure. The measured settlement data of a brick concrete structure building was trained on two kinds of model and the deformation prediction based on. Through the comparison of the measured and predicted values of the two models and the test of the model error, the adaptive Kalman filtering model has some advantages in deformation prediction.

Kalman filtering, deformation prediction, building, settlement

1009-6825(2016)28-0198-03

2016-07-29

張忠強(1989- )，男，在讀碩士； 崔 兵(1991- )，男，在讀碩士； 崔 浩(1991- )，男，在讀碩士；

TU196.1

A

路 闊(1993- )，男，在讀碩士