邱衛(wèi)忠，張 輝，唐新功，嚴(yán)良俊，張雷潔

(1.山西省煤田地質(zhì)115勘察院，山西 大同 037039;2.長江大學(xué) 地球物理與石油資源學(xué)院，湖北 武漢 430100)

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煤田積水采空區(qū)井地電位法三維有限差分正演模擬

邱衛(wèi)忠1，張 輝2，唐新功2，嚴(yán)良俊2，張雷潔1

(1.山西省煤田地質(zhì)115勘察院，山西 大同 037039;2.長江大學(xué) 地球物理與石油資源學(xué)院，湖北 武漢 430100)

煤田積水采空區(qū)是威脅礦井安全的主要因素之一。針對(duì)井地電位法特定的邊值問題，推導(dǎo)出了相應(yīng)的有限差分格式，結(jié)合煤田積水采空區(qū)的電性特征及分布特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了多個(gè)地電模型，分別利用有限差分法對(duì)其進(jìn)行了正演模擬。正演結(jié)果表明，井地電位法對(duì)單個(gè)積水采空區(qū)及橫向上分布的多個(gè)積水采空區(qū)識(shí)別能力較好，而對(duì)垂向分布的多個(gè)積水采空區(qū)識(shí)別能力較弱。研究結(jié)果對(duì)于煤田積水采空區(qū)的探測(cè)研究具有一定的參考價(jià)值。

煤田積水采空區(qū)；井地電位法；有限差分法；三維正演

1 引 言

礦井的水害事故是煤田生產(chǎn)中重要的災(zāi)害之一，是僅次于瓦斯事故的第二大煤礦事故，其中采空區(qū)積水在水害事故占有相當(dāng)大的比重[1]。同時(shí)，采空區(qū)積水具有突發(fā)性強(qiáng)，突水量大，破壞性強(qiáng)等特點(diǎn)，是威脅礦井安全的主要因素之一[2]。因此，做好煤田積水采空區(qū)的探測(cè)工作，對(duì)礦井水害事故的防治具有積極的意義。

作為無損探測(cè)的電磁探測(cè)方法，由于其對(duì)含水體敏感、分辨能力較高，因此在煤田水文地質(zhì)勘探中獲得了廣泛的應(yīng)用。但在地下結(jié)構(gòu)復(fù)雜，目的層埋深又較深的情況下，地面物探方法會(huì)由于探測(cè)深度不夠、信號(hào)不強(qiáng)、干擾太大等原因，無法采集到高質(zhì)量的物探數(shù)據(jù)，給后期的資料處理與解釋造成很大的困難，不能得出精確的結(jié)果。

為克服常規(guī)地面物探方法的缺陷，地—井物探方法開始逐漸興起，井地電位法便是其中的代表之一。它是近幾年發(fā)展起來的一種電磁勘探新方法和新技術(shù)。井地電位法是通過套管井向地下供入大功率電流，在地表觀測(cè)由于地下介質(zhì)的電性變化引起的電位異常，據(jù)此來分析地下導(dǎo)電體的電性分布情況。相比于傳統(tǒng)的電阻率法，井地電位法具有勘探深度大、探測(cè)范圍廣、分辨率高等特點(diǎn)[3]。

從20世紀(jì)70年代開始，一直到本世紀(jì)初，井地電位法在圈定煤層、油氣邊界以及確定深部礦藏等領(lǐng)域不斷取得成果[4]。這一階段對(duì)井地電位法的研究，還集中在定性解釋和物理模擬[11，12]上，數(shù)值模擬研究較少。此后，徐凱軍等[13]、劉地淵等[14]、蘇朱劉等[15]、王志剛等[16]、屈有恒等[17]、柯敢攀等[18]先后分別使用多種數(shù)值方法，對(duì)油田井地電位法的三維正反演問題展開了研究。近年來，戴前偉等[19]、李蕓蕓[3]還開展了復(fù)雜地形條件下的井地電位法三維數(shù)值模擬研究，取得了一定的效果。

隨著井地電位法在煤田積水采空區(qū)探測(cè)中的進(jìn)一步應(yīng)用，結(jié)合煤田積水采空區(qū)的特點(diǎn)，繼續(xù)深入開展煤田井地電位法的三維數(shù)值模擬是非常必要的。有限差分法作為應(yīng)用最早、最經(jīng)典的數(shù)值模擬方法，依靠其相對(duì)簡(jiǎn)單的理論基礎(chǔ)及簡(jiǎn)便的計(jì)算過程，在地球物理工作中應(yīng)用非常廣泛[20-22]。本文利用有限差分算法，結(jié)合井地電位方法在煤田積水采空區(qū)中的應(yīng)用，進(jìn)行三維正演模擬研究，探討地井電位法對(duì)不同位置積水采空區(qū)的探測(cè)效果。

2 井地電位法的邊值問題

井地電位法的工作原理如圖1所示，在地表向被測(cè)井A施加一個(gè)大功率電流，同時(shí)在無窮遠(yuǎn)處選擇另一口井B作回流電極。兩個(gè)供電電極的金屬套管，全部用水泥封固。由于水泥膠結(jié)致密，因此電流主要通過地表及地下目的層流向地層，造成地層中的電流密度分布不均勻，但是電流幾乎垂直于套管壁流出。同時(shí)，由于套管直徑與套管長度相比可以忽略，因此在井地電位法的正演模擬、反演成像以及后期的數(shù)據(jù)處理過程中，一般都將套管當(dāng)作線電流源來處理。

圖1 井地電位法工作原理示意圖Fig.1 Schematic map of borehole-surface potential method

在非均勻各向同性的三維介質(zhì)中，點(diǎn)電流源產(chǎn)生的電位U可以用如下的邊值問題來描述[3]：

(1-1)

(1-2)

(1-3)

式(1)中，I為供電電流大小，σ為電阻率ρ的倒數(shù)，δ(A)為δ函數(shù)，Γs和?！薹謩e是研究區(qū)域Ω的地表邊界和地下邊界，n為地下邊界的外法線方向，r為點(diǎn)電流源A到邊界點(diǎn)的距離，cos(r,n)為n與r之間夾角的余弦值。

線電流源的本質(zhì)，其實(shí)可以看成是無數(shù)個(gè)點(diǎn)電流源的疊加。而根據(jù)疊加原理，幾個(gè)點(diǎn)電源在空間中某處電位的大小，等于各個(gè)點(diǎn)電源單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電位大小的代數(shù)和。因此，在井地電位法對(duì)線電流源的正演模擬中，可以將線電流源剖分成多個(gè)點(diǎn)電流源，分別對(duì)點(diǎn)電流源產(chǎn)生的電位U做正演模擬，再將得到的結(jié)果進(jìn)行疊加處理，便得到線電流源的響應(yīng)。

3 有限差分法的格式推導(dǎo)

對(duì)三維求解區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格離散化處理，采用直角坐標(biāo)系，如圖2所示。

圖2 求解區(qū)域網(wǎng)格離散示意圖Fig.2 Schematic map of mesh grid discretization

利用有限差分法的原理：用差商來代替導(dǎo)數(shù)，可以寫出任意網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)(i,j,k)處電位U的一階差商和二階差商分別為：

(2-1)

(2-2)

(2-3)

(3-1)

(3-2)

(3-3)

因此，對(duì)于線電流源L的任一線元dL，電流大小設(shè)為dI，式(1)可以寫為：

=-dIδ(i,j,k),∈Ω

(4-1)

(4-2)

(4-3)

利用邊界條件，在每一個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處得到一個(gè)方程，聯(lián)立方程組，數(shù)值求解即可得到區(qū)域內(nèi)任意節(jié)點(diǎn)處的電位U。疊加所有線元dL正演得到的U，便可得到線電流源L在空間各處產(chǎn)生的電位大小。

4 三維模型的正演計(jì)算

利用上述的三維有限差分算法，計(jì)算均勻半空間條件下線電流源在地表產(chǎn)生的電位，與解析解之間的誤差大小如圖3所示。此檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木W(wǎng)格步長為1 m，網(wǎng)格區(qū)域大小為15 m×15 m×30 m，線源L位于地表中心處，長度為10 m。

從圖3中可以看出，除源點(diǎn)附近電位值有所畸變外，區(qū)域內(nèi)的其他測(cè)點(diǎn)誤差大小都在可以接受的范圍內(nèi)。因此可以認(rèn)為，本文采用的三維有限差分算法是正確的。

由于煤田的積水采空區(qū)往往不止一層，所以開展三維空間中多個(gè)異常體的異常響應(yīng)的研究是很有必要的。考慮到積水區(qū)范圍有限，結(jié)合采空區(qū)積水的電性特征，設(shè)計(jì)了如下3個(gè)地質(zhì)模型：①單個(gè)低阻異常體，代表單個(gè)積水采空區(qū)；②垂向的兩個(gè)低阻異常體，代表不同深度的兩個(gè)積水采空區(qū)；③橫向的兩個(gè)低阻異常體，代表埋深相同、但橫向不同位置的2個(gè)積水采空區(qū)模型。分別研究在井中激發(fā)、地表接收時(shí)的視電阻率值，以此分析井地電位法對(duì)地下不同位置煤田積水采空區(qū)的識(shí)別能力。

圖3 數(shù)值解與解析解的誤差Fig.3 The rms error of numerical solution and analytical solution

在本文所有的模型中，背景電阻率均取為100 Ω·m，異常體電阻率為1 Ω·m，線源長度L為10 m，有限差分網(wǎng)格步長為1 m。模型①、②的異常體大小為5 m×5 m×1 m，網(wǎng)格區(qū)域大小為60 m×15 m×30 m，測(cè)距MN=1.414 m，指向?yàn)槠叫杏趛=x的方向。模型③的異常體大小為5 m×5 m×5 m，網(wǎng)格區(qū)域大小為60 m×15 m×30 m，測(cè)距MN=1 m，指向?yàn)槠叫杏趛=0的方向。

4.1 單個(gè)低阻異常體

圖4為均勻半空間中單個(gè)異常體模型的示意圖，圖中實(shí)線小長方體為異常體，垂直實(shí)線L代表放置于井中的垂直線源。圖5(a)、(b)分別為圖4中異常體埋深為3 m、5 m時(shí)的視電阻率等值線圖，圖5中黑色十字與方框分別代表垂直線源和異常體在地面上的投影位置。從圖5中可以看到對(duì)應(yīng)于視電阻率明顯偏低的區(qū)域與低阻異常體位置吻合較好，而隨著埋深的增加，異常響應(yīng)會(huì)有所減小。在低阻異常區(qū)域的兩端，出現(xiàn)了一個(gè)不太明顯的高阻假象，這可以利用視電阻率的微分形式來解釋[23]。同時(shí)由于源的奇異性，在源附近視電阻率值不準(zhǔn)確。

圖4 單個(gè)異常體模型示意圖Fig.4 Schematic map of one anomaly body model

圖5 模型①視電阻率的等值線Fig.5 The apparent resistivity contour map of the first model

4.2 垂向的兩個(gè)低阻異常體

圖6為垂向上兩個(gè)異常體模型的分布示意圖，來模擬地下三維空間中不同深度上的多個(gè)積水采空區(qū)情況。兩個(gè)異常體的埋深分別為5 m和10 m，水平方向頂點(diǎn)坐標(biāo)均為(10,10)。相應(yīng)的視電阻率等值線圖如圖7所示。從圖7可以看到，與圖5相同，在低阻體相應(yīng)位置有一個(gè)低阻異常區(qū)域，同時(shí)與只有一個(gè)埋深為5 m的異常體(圖5b)相比，低阻異常數(shù)值上略微增加，這是由于疊加了10 m的低阻異常體的響應(yīng)的原因。但僅從地表觀測(cè)的電位上，很難直接分辨埋深為5 m與10 m的兩個(gè)異常體。這說明，對(duì)于煤田中深度不同的多個(gè)積水采空區(qū)，井地電位法的分辨能力并不理想。

圖7 模型②視電阻率等值線Fig.7 The apparent resistivity contour map of the second model

圖6 垂向兩個(gè)異常體模型示意圖Fig.6 Schematic model of two anomaly bodies distributed vertically

圖8 橫向兩個(gè)異常體模型示意圖Fig.8 Schematic model of two anomaly bodies distributed transversely

圖9 模型③視電阻率等值線Fig.9 The apparent resistivity contour map of the third model

4.3 橫向的兩個(gè)低阻異常體

圖8為橫向兩個(gè)異常體模型的示意圖，以此來模擬地下空間中水平位置不同的積水采空區(qū)。兩個(gè)異常體的埋深均為5 m，水平方向頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(20,6)和(45,6)。其相應(yīng)的視電阻率等值線圖如圖9所示。從圖9可以看到，在兩個(gè)低阻體的對(duì)應(yīng)位置都有一個(gè)明顯的低阻異常區(qū)域，并且數(shù)值大小也非常接近。這一模型的正演結(jié)果表明，井地電位法對(duì)水平位置不同的多個(gè)積水采空區(qū)有較好的識(shí)別效果。

5 結(jié) 論

針對(duì)廣泛應(yīng)用于煤田積水采空區(qū)探測(cè)的井地電位法，本文利用有限差分法做了三維正演模擬研究，研究表明：井地電位法對(duì)一定深度范圍內(nèi)的積水采空區(qū)有良好的識(shí)別能力，但對(duì)垂向分布的多個(gè)積水采空區(qū)的分辨能力較弱，而對(duì)水平位置不同的多個(gè)積水采空區(qū)分辨能力較好。

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Three-dimensional Finite Difference Forward Modeling of Borehole-Surface Potential Method in Water Accumulating Gob in Coalfield

Qiu Weizhong1，Zhang Hui2,Tang Xingong2,Yan Liangjun2,Zhang Leijie1

(1.115CoalfieldGeologicalSurveyInstituteofShanxiProvince,DatongShanxi037039,China;2.SchoolofGeophysicsandOilResources,YangtzeUniversity,WuhanHubei430100,China)

Water accumulating gob in coalfield is one of the factors threatening mining safety. According to the special boundary value problem of borehole-surface potential method, the corresponding finite difference scheme is derived in this paper. Combining with the electrical characteristics and the distribution features of water-accumulating gob, a series of geo-electric models are designed to calculate their electric responses by using 3D finite difference approach. The forward modeling results show that the detection ability of borehole-surface potential method for a single water accumulating gob and multiple gobs which distributed transversely is good, while the detection ability for multiple gobs distributed vertically is relatively weak. The result has reference value for the detection of water accumulating gobs in coalfield.

Water accumulating gob; Borehole-surface potential method; Finite difference method; Three-dimensional forward modeling

1672—7940(2016)02—0149—06

10.3969/j.issn.1672-7940.2016.02.002

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(編號(hào)：41274115，41274082，41404087，41504096)；973計(jì)劃項(xiàng)目(編號(hào)：2013CB228605)

邱衛(wèi)忠(1963-)，男，碩士，高級(jí)工程師，主要從事電磁法勘探與研究。E-mail：115qwz@sina.com

唐新功(1968-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事電磁法勘探，重磁勘探和巖石物理學(xué)的教學(xué)與研究。

E-mail：tangxingong@163.com

P631.3

A

2015-11-10