張昭++蘇開創(chuàng)+韓星凱

摘要： 基于有限元法計(jì)算分析散射體材料屬性和散射體形狀對(duì)單面柱板結(jié)構(gòu)局域共振型聲子晶體帶隙特性的影響，并通過計(jì)算單胞位移特征模式解釋聲子晶體帶隙特性變化的物理機(jī)理.結(jié)果表明：散射體的密度和彈性模量以及散射體形狀通過改變聲子晶體單胞局域狀態(tài)，對(duì)聲子晶體帶隙特性產(chǎn)生很大影響.總結(jié)聲子晶體板結(jié)構(gòu)低頻帶隙特性變化規(guī)律，為工程減振降噪提供參考.

關(guān)鍵詞： 聲子晶體； 散射體； 基體； 帶隙特性； 位移特征模式； 密度； 彈性模量； 減振降噪

中圖分類號(hào)： O481.1； TB535 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

0 引 言

聲子晶體是由一種或幾種彈性材料周期排列在基底材料中形成的一類人工復(fù)合材料.[1]周期性復(fù)合材料或結(jié)構(gòu)的聲子晶體可以阻擋某些頻率的彈性波傳播，這種現(xiàn)象稱為聲子晶體帶隙或禁帶.[2]頻率落在帶隙范圍內(nèi)的彈性波理論上在聲子晶體中被禁止傳播，對(duì)應(yīng)到有限尺寸的聲子晶體周期結(jié)構(gòu)，帶隙頻率范圍內(nèi)的彈性波在傳播過程中會(huì)產(chǎn)生指數(shù)衰減.[3]研究認(rèn)為，聲子晶體帶隙產(chǎn)生的機(jī)理有2種：布拉格散射型和局域共振型.[4]前者主要是結(jié)構(gòu)的周期性起主導(dǎo)作用，當(dāng)入射彈性波的波長(zhǎng)與結(jié)構(gòu)的特征長(zhǎng)度（晶格常數(shù)）相近時(shí)，將受到結(jié)構(gòu)強(qiáng)烈的散射；后者則是單個(gè)散射體的共振特性起主導(dǎo)作用.[5]LIU等[6]提出局域共振型聲子晶體理論.根據(jù)局域共振理論，相同特征長(zhǎng)度的局域共振型聲子晶體帶隙頻率要低于布拉格散射型聲子晶體帶隙頻率2個(gè)數(shù)量級(jí)[7]，這使得聲子晶體小尺寸控制大波長(zhǎng)成為可能.為實(shí)現(xiàn)低頻減振降噪領(lǐng)域聲子晶體的實(shí)際應(yīng)用，目前出現(xiàn)針對(duì)各種聲子晶體結(jié)構(gòu)[8-11]的研究，其中關(guān)于Lamb波在聲子晶體板結(jié)構(gòu)中傳播[12-14]的研究尤其引人注意，特別是橡膠吸聲層聲子晶體結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于潛艇等水下裝備，用于吸收干擾聲波或噪聲[15].YU等[16]提出一種極具應(yīng)用前景的局域共振型單面柱板結(jié)構(gòu)聲子晶體，對(duì)該結(jié)構(gòu)聲子晶體低頻帶隙特性受部分幾何參數(shù)影響進(jìn)行計(jì)算研究和物理解釋.除聲子晶體單胞幾何參數(shù)外，材料參數(shù)和散射體形狀對(duì)聲子晶體帶隙特性也可能有很大影響，對(duì)其進(jìn)行研究將非常有利于低頻帶隙特性聲子晶體的實(shí)際應(yīng)用.

本文采用有限元法，使用多物理場(chǎng)分析軟件COMSOL建立單面柱板結(jié)構(gòu)聲子晶體單胞模型，計(jì)算分析聲子晶體散射體材料密度、彈性模量和改變射體形狀對(duì)聲子晶體帶隙特性的影響；同時(shí)使用多物理場(chǎng)分析軟件COMSOL計(jì)算聲子晶體單胞位移特征模式，給出聲子晶體帶隙特性變化的物理解釋.這些計(jì)算和分析可為這種極具前景的聲子晶體板結(jié)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用鋪平道路，也為其他類似具有低頻帶隙特性的局域共振型聲子晶體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供參考.

1 聲子晶體帶隙計(jì)算的有限元法

利用多物理場(chǎng)分析軟件COMSOL求解彈性波在聲子晶體中的波動(dòng)方程.由于聲子晶體是周期結(jié)構(gòu)，依照Bloch定理，計(jì)算可在一個(gè)單胞內(nèi)完成.[17]對(duì)模型劃分網(wǎng)格后，單胞離散形式的特征值方程為

2 帶隙特性計(jì)算和位移特征模式分析

首先，將本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[16]對(duì)比驗(yàn)證本文計(jì)算方法準(zhǔn)確性.圓柱散射體聲子晶體單胞有限元模型見圖1，單胞基體底面（正方形）邊長(zhǎng)a=10 mm，基體厚度e=2 mm，散射體高度h=10 mm，圓柱散射體半徑r=4.5 mm.基體所用材料為橡膠，散射體所用材料為鋼，材料參數(shù)見表1.

使用多物理場(chǎng)分析軟件COMSOL計(jì)算得到的聲子晶體帶隙特性見圖2.圓柱散射體半徑r=4.5 mm時(shí)計(jì)算得到的聲子晶體第一帶隙數(shù)據(jù)與文獻(xiàn)[16]對(duì)比結(jié)果見表2.由此可以看出：第一帶隙中心頻率、帶寬和截止頻率誤差都很小，驗(yàn)證本文模型和計(jì)算方法準(zhǔn)確可信.

取散射體半徑r=4 mm，單胞模型其他幾何尺寸不變.單胞的基體材料為橡膠，散射體材料以鋼為基準(zhǔn)，改變散射體材料的密度，計(jì)算分析聲子晶體帶隙特性變化規(guī)律，結(jié)果見圖3.

由圖3可知：散射體密度對(duì)第一帶隙截止頻率影響很小幾乎可以忽略，但對(duì)第一帶隙起始頻率影響很大；當(dāng)散射體密度很小時(shí)，幾乎沒有帶隙產(chǎn)生；而散射體密度足夠大時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生明顯帶隙，且散射體密度大于7 000 kg/m3后，第一帶隙起始頻率下降變得平緩，產(chǎn)生的低頻帶隙帶寬慢慢趨于穩(wěn)定.

計(jì)算聲子晶體單胞的位移特征模式，進(jìn)而分析散射體材料的密度變化影響聲子晶體帶隙特性的物理機(jī)制.分別計(jì)算散射體密度為1 000，3 000，5 000，11 000，15 000和19 000 kg/m3時(shí)的聲子晶體帶隙（第一帶隙）起始頻率和截止頻率頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)波矢點(diǎn)的6組單胞位移特征模式，見表3.

由此可以發(fā)現(xiàn)：隨著散射體密度逐漸增大，起始頻率頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)波矢點(diǎn)的單胞振動(dòng)能量集中從基體上轉(zhuǎn)移到散射體上，呈現(xiàn)明顯的局域狀態(tài)，而截止頻率頂點(diǎn)的單胞位移特征模式幾乎沒有變化.由此可以解釋上面計(jì)算得到的帶隙特性隨散射體密度變化規(guī)律（見圖3）：當(dāng)散射體密度增大時(shí)，根據(jù)簡(jiǎn)單彈簧模型公式f=k/m/2π，起始頻率的單胞散射體振子（振動(dòng)能量集中的部分）質(zhì)量逐漸變大而截止頻率的單胞基體振子（此時(shí)單胞振動(dòng)能量總是集中在單胞基體的4個(gè)邊角上）質(zhì)量幾乎不變，彈簧剛度總是散射體和4個(gè)基體角邊相連接的基體部分的剛度且?guī)缀醣３植蛔?，故聲子晶體帶隙起始頻率降低而截止頻率基本不變，低頻帶隙曲線打開變寬.

仍取散射體半徑r=4 mm，單胞模型其他幾何尺寸不變.單胞的基體材料為橡膠，散射體材料以鋼為基準(zhǔn)，改變散射體材料的密度，計(jì)算分析聲子晶體帶隙特性變化規(guī)律，結(jié)果見圖4.

由圖4可知：改變散射體彈性模量，其他保持不變，第一帶隙起始頻率和截止頻率隨彈性模量的增

大逐漸變大.當(dāng)散射體彈性模量大過橡膠基體的彈

性模量1.175×105 Pa后，截止頻率的變大速率明顯更快，產(chǎn)生的低頻帶隙帶寬明顯變大.當(dāng)散射體彈性模量大于1.175×107 Pa后，聲子晶體帶隙趨于穩(wěn)

定.

計(jì)算散射體彈性模量為1.175×103，1.175×104，1.175×105，1.175×106，1.175×107，1.175×108 Pa時(shí)的聲子晶體帶隙（第一帶隙）起始頻率和截止頻率頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)波矢點(diǎn)的6組單胞位移特征模式，見表4.由此可以看出：隨著散射體彈性模量逐漸增大，起始頻率頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)波矢點(diǎn)的單胞位移特征模式單胞振子在散射體上由大變小.彈簧部分是與散射體振子相連接的基體橡膠，其彈性模量不變，根據(jù)簡(jiǎn)單彈簧模型公式f=k/m/2π，m變小而k不變.截止頻率單胞振子由鋼散射體轉(zhuǎn)移到橡膠基體的4個(gè)角上，彈簧部分總是位于與散射體相連接的橡膠基體上，故m變小且變化很大，k不變.這也可解釋前文計(jì)算得到的聲子晶體帶隙特性隨散射體彈性模量的變化規(guī)律（見圖4），當(dāng)散射體彈性模量變大時(shí)，起始頻率和截止頻率均變大但截止頻率變化更顯著，低頻帶隙打開變寬.

除圓柱散射體幾何尺寸大?。▓A柱散射體半徑和高度）會(huì)影響聲子晶體帶隙特性外，散射體的幾何形狀也可能會(huì)對(duì)聲子晶體帶隙特性有重要影響.為此，把散射體幾何形狀由圓柱體改為長(zhǎng)方體，單胞有限元模型見圖5，長(zhǎng)方散射體的高度h=10 mm保持不變，改變長(zhǎng)方散射體的底面（正方形）邊長(zhǎng)，計(jì)算得到帶隙特性變化規(guī)律見圖6，且與圓柱散射體聲子晶體帶隙特性作對(duì)比，見圖7.

由圖6和7可以看到：散射體底面邊長(zhǎng)對(duì)第一帶隙起始頻率影響不大，但對(duì)第一帶隙截止頻率有很大影響，與圓柱散射體情況下圓柱半徑對(duì)第一帶隙的影響一致.

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，散射體的高度和體積相同時(shí)，2種聲子晶體的第一帶隙起始頻率幾乎相同，但長(zhǎng)方散射體聲子晶體的第一帶隙截止頻率明顯大于圓柱散射體聲

子晶體，因此長(zhǎng)方散射體聲子晶體比圓柱散射體聲子晶體有更好的低頻帶隙特性.

聲子晶體帶隙特性，二者起始頻率和截止頻率對(duì)比見表5.由此可知：等高等體積的長(zhǎng)方散射體聲子晶體帶隙特性明顯優(yōu)于圓柱散射體聲子晶體.計(jì)算2種散射體截面的剛度見表6，分別對(duì)比二者起始頻率帶隙頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)波矢點(diǎn)的單胞位移特征模式和截止頻率帶隙頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)波矢點(diǎn)的單胞位移特征模式見表7.由表7可知，關(guān)于起始頻率帶隙頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)波矢點(diǎn)的單胞位移特征模式，二者都是彎曲振動(dòng)，但由于長(zhǎng)方散射體截面抗彎剛度略大于圓柱散射體截面抗彎剛度，導(dǎo)致前者帶隙起始頻率略大于后者且相差不大；關(guān)于截止頻率帶隙頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)波矢點(diǎn)的單胞位移特征模式，長(zhǎng)方散射體聲子晶體單胞主要是基體的扭轉(zhuǎn)和彎曲振動(dòng)，圓柱散射體聲子晶體單胞主要是基體的彎曲振動(dòng)，故前者的總剛度明顯大于后者，導(dǎo)致長(zhǎng)方散射體聲子晶體帶隙截止頻率明顯高于圓柱散射體聲子晶體帶隙截止頻率.

3 聲學(xué)應(yīng)用實(shí)例

綜合前文研究結(jié)果，在實(shí)際常用材料中選用最優(yōu)材料組合，采用合適的聲子晶體單胞構(gòu)型，得到低頻帶隙性能最優(yōu)的聲子晶體板用于聲學(xué)降噪隔聲.漢語的聲能密度一般都集中在200～700 Hz，實(shí)際常用材料見表8.

為得到低頻彈性波帶隙，基體材料采用橡膠，分別選用鎢、銅、鋼、鋁作為散射體材料；聲子晶體單胞采用低頻帶隙特性更好的長(zhǎng)方散射體單胞構(gòu)型，散射體底邊邊長(zhǎng)b=9 mm，其他幾何參數(shù)不變.計(jì)算得到4種聲子晶體帶隙特性見表9.對(duì)比發(fā)現(xiàn)：鋁作為散射體材料得到的聲子晶體帶隙特性明顯不如另外3種材料；鎢、銅、鋼分別作為散射體材料時(shí)，都能符合漢語聲能密度集中在200～700 Hz頻率范圍的降噪隔聲要求.銅和鋼的密度遠(yuǎn)小于鎢，鋼遠(yuǎn)比銅經(jīng)濟(jì)且輕質(zhì)，因此，基體材料為橡膠、散射體材料為鋼的長(zhǎng)方散射體單面柱板結(jié)構(gòu)聲子晶體是降噪隔聲最佳方案.

取8×8聲子晶體有限周期板考察振動(dòng)傳輸特性，驗(yàn)證單面柱板結(jié)構(gòu)聲子晶體設(shè)計(jì)和帶隙特性計(jì)算的有效性.選擇基體材料為橡膠、散射體材料為鋼的長(zhǎng)方散射體聲子晶體板，8×8聲子晶體板結(jié)構(gòu)幾何模型見圖8.使用COMSOL軟件進(jìn)行頻率響應(yīng)分析，從板的一端輸入幅值為單位值的位移頻譜，x軸正方向?yàn)槲灰祁l譜方向，頻率范圍為100～1 500 Hz，得到板另一端即輸出端的位移響應(yīng)平均值，結(jié)果見圖9.

由圖9可知：帶隙頻率范圍內(nèi)聲子晶體周期板減振效果明顯，且頻響分析減振頻率范圍和前文計(jì)算得出的帶隙范圍幾乎重合，驗(yàn)證本文單面柱板結(jié)構(gòu)聲子晶體設(shè)計(jì)和帶隙計(jì)算的有效性.

4 結(jié) 論

（1）單面柱板結(jié)構(gòu)聲子晶體材料參數(shù)中，散射體的密度和彈性模量足夠大時(shí)，都會(huì)產(chǎn)生優(yōu)良的低頻帶隙，二者對(duì)聲子晶體帶隙特性有很大影響.

（2）將單面柱板結(jié)構(gòu)聲子晶體散射體形狀改變?yōu)殚L(zhǎng)方體，發(fā)現(xiàn)等高等體積散射體條件下，長(zhǎng)方散射體聲子晶體比圓柱散射體聲子晶體具有更好的低頻帶隙特性.

（3）從聲子晶體單胞位移特征模式可以得出，聲子晶體帶隙特性隨散射體材料密度和彈性模量變化規(guī)律可以用簡(jiǎn)單彈簧振動(dòng)模型來解釋，簡(jiǎn)單彈簧模型的振子質(zhì)量發(fā)生變化（彈簧剛度幾乎不變），進(jìn)而導(dǎo)致聲子晶體帶隙特性改變.改變散射體形狀，保持散射體體積和材料常數(shù)不變，結(jié)合聲子晶體帶隙頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)波矢點(diǎn)的單胞位移特征模式，可以認(rèn)為單胞振動(dòng)截面剛度的變化導(dǎo)致聲子晶體帶隙的變化.

（4）計(jì)算對(duì)比得出以鋼為散射體、橡膠為基體的長(zhǎng)方散射體單面柱板結(jié)構(gòu)聲子晶體能很好地應(yīng)用于實(shí)際聲學(xué)低頻降噪隔聲，說明合理選用材料組合和單胞構(gòu)型，聲子晶體可以在工程實(shí)際中發(fā)揮重要作用.

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