章希睿，劉志文，王亞昕，徐友根

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081)

?

四元數(shù)域主特征空間投影魯棒自適應(yīng)波束形成

章希睿，劉志文，王亞昕，徐友根

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081)

針對(duì)常規(guī)四元數(shù)域波束形成器在模型誤差條件下的性能退化問題，提出基于拉伸三極子雙平行陣列的四元數(shù)域主特征空間投影魯棒自適應(yīng)波束形成方法. 相比現(xiàn)有四元數(shù)域最劣態(tài)最優(yōu)化魯棒波束形成器，該方法無需求解具有高計(jì)算復(fù)雜度的凸優(yōu)化問題，且不涉及用戶參數(shù)的優(yōu)化設(shè)置，更易于實(shí)現(xiàn). 仿真結(jié)果表明，所提出的波束形成器可有效克服信號(hào)相消問題，能夠以較低的計(jì)算成本獲取優(yōu)于四元數(shù)域最劣態(tài)最優(yōu)化魯棒自適應(yīng)波束形成器的性能，且其優(yōu)勢(shì)在高信噪比和短快拍條件下尤為顯著.

魯棒自適應(yīng)波束形成；電磁矢量傳感器陣列；四元數(shù)；主特征空間投影

自適應(yīng)波束形成技術(shù)可廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、無線通信、語音信號(hào)處理以及超聲成像等領(lǐng)域，并已取得許多重要成果與進(jìn)展[1-5]. 面對(duì)當(dāng)今日益復(fù)雜多變的電磁環(huán)境，僅利用信號(hào)幅度、相位、頻率和波形等信息已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，將具有極化分集特性的電磁矢量傳感器應(yīng)用于自適應(yīng)波束形成技術(shù)中就顯得十分必要. 在文獻(xiàn)[6-7]中，交叉偶極子和三極子首次被應(yīng)用于自適應(yīng)陣列系統(tǒng)，可有效抑制與期望信號(hào)具有相同或相近入射角的干擾源. 此后，基于全電磁矢量傳感器的自適應(yīng)波束形成方法輸出信干噪比性能得到定量研究[8-9].

近年來，基于四元數(shù)的電磁矢量傳感器陣列信號(hào)處理方法受到廣泛關(guān)注[10-14]. 在信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)方面，文獻(xiàn)[15-16]中首次基于雙分量傳感器陣列構(gòu)建四元數(shù)信號(hào)模型，并在此基礎(chǔ)上提出四元數(shù)域多重信號(hào)分類方法；另外，旋轉(zhuǎn)不變信號(hào)參數(shù)估計(jì)技術(shù)亦被推廣至四元數(shù)域[17]. 在自適應(yīng)波束形成方面，經(jīng)典的最小方差無畸變波束形成器在四元數(shù)框架下得以研究[18-19]. 隨后，利用兩路干擾及噪聲對(duì)消思想，文獻(xiàn)[20]中提出一種具有聯(lián)合結(jié)構(gòu)且能夠抑制單個(gè)強(qiáng)相干干擾的四元數(shù)域波束形成算法. 最近，最劣態(tài)最優(yōu)化波束形成器亦被推廣到四元數(shù)域[21-23].

本文研究基于主特征空間投影的四元數(shù)域魯棒自適應(yīng)波束形成算法，由于僅涉及樣本協(xié)方差矩陣的特征分解運(yùn)算，因而比上面提及的四元數(shù)域最劣態(tài)最優(yōu)化波束形成器更易于實(shí)現(xiàn).

1 拉伸三極子雙平行陣列四元數(shù)信號(hào)模型

考慮如圖1所示的由2N個(gè)拉伸三極子天線所構(gòu)成的雙平行陣列，對(duì)陣列進(jìn)行空域子陣劃分：子陣1包括所有位于y軸的偶極子，子陣2則包括所有位于y′軸的偶極子. 兩個(gè)子陣的輸出矢量可寫為

(1)

(2)

建立下述拉伸三極子雙平行陣列四元數(shù)信號(hào)模型：

(3)

利用K次獨(dú)立數(shù)據(jù)快拍，可得到四元數(shù)域陣列輸出樣本協(xié)方差矩陣為

(4)

2 四元數(shù)域主特征空間投影魯棒波束形成器

(5)

利用拉格朗日乘數(shù)法，可得Q-Capon之最優(yōu)權(quán)矢量為

(6)

(7)

(8)

(9)

稱之為四元數(shù)域主特征空間投影魯棒自適應(yīng)波束形成器(QPEP). 與現(xiàn)有波束形成器相比，QPEP只需要進(jìn)行四元數(shù)特征分解，無需求解凸優(yōu)化問題，且不涉及用戶參數(shù)的選取.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

采用由6個(gè)拉伸三極子構(gòu)成的雙平行陣列(即N=3)，其中拉伸間隔以及每兩個(gè)拉伸三極子間的距離均設(shè)置為信號(hào)半波長. 假設(shè)有1個(gè)期望信號(hào)與2個(gè)非相干干擾從y-z平面入射至陣列，此時(shí)所有入射信號(hào)的方位角均為90°，而俯仰角分別為5°、30°和60°；信干比固定為-20 dB；蒙特卡羅獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)設(shè)置為100. 另外，在考慮導(dǎo)向矢量誤差的實(shí)驗(yàn)中，將各種模型誤差歸結(jié)為真實(shí)導(dǎo)向矢量和標(biāo)稱導(dǎo)向矢量之間的誤差矢量e，且其范數(shù)‖e‖為(0，2]區(qū)間里滿足均勻分布的隨機(jī)數(shù). 仿真實(shí)驗(yàn)共比較3種四元數(shù)域波束形成器的性能：本文提出的QPEP算法、Q-Capon算法[18]以及用戶參數(shù)ε=2的QWCCB算法[21-22]，其中求解QWCCB算法最優(yōu)權(quán)矢量采用了SeDuMi工具包[25]與YALMIP求解器[26]；此外，最優(yōu)輸出SINR曲線“OPT-SINR”亦作為性能基準(zhǔn)出現(xiàn)在仿真圖中.

3.1 波束方向圖

本實(shí)驗(yàn)旨在驗(yàn)證所提出的QPEP算法在面對(duì)模型失配誤差時(shí)的有效性. 為了繪制一維波束方向圖，假定入射信號(hào)的極化參數(shù)相同，僅存在俯仰角差異；本實(shí)驗(yàn)中，輸入SNR和快拍數(shù)分別設(shè)置為10 dB和50次. 圖2所示的仿真結(jié)果表明，QPEP算法可有效解決模型失配問題，不僅在兩個(gè)干擾處(30°和60°)形成零陷，還在期望信號(hào)俯仰角5°處形成主瓣；相比之下，Q-Capon算法則發(fā)生了期望信號(hào)相消問題：在期望信號(hào)5°處亦形成零陷. QPEP算法面對(duì)模型失配誤差時(shí)的魯棒性主要?dú)w因于基于四元數(shù)域的特征空間投影使得信號(hào)特征空間與噪聲特征空間具有更強(qiáng)的正交性. 除此之外，四元數(shù)域樣本協(xié)方差矩陣所隱含的數(shù)據(jù)平滑過程也是該法可應(yīng)對(duì)模型失配誤差的又一因素.

3.2 輸出信干噪比曲線

通過比較各種方法在存在導(dǎo)向矢量誤差時(shí)的輸出信干噪比性能，本實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了QPEP算法在同時(shí)面對(duì)導(dǎo)向矢量誤差和協(xié)方差矩陣有限采樣誤差時(shí)具備的更高魯棒性. 圖3(a)和圖3(b)所示的仿真結(jié)果顯示，QPEP算法在魯棒性和收斂速度方面均為最優(yōu)，其優(yōu)勢(shì)在高信噪比和短快拍條件下尤為明顯. 相比而言，Q-Capon算法在高信噪比條件下性能較差，這是因?yàn)楫?dāng)期望信號(hào)導(dǎo)向矢量不能精確已知時(shí)，Q-Capon算法會(huì)產(chǎn)生信號(hào)相消問題，隨著輸入信噪比的增加，信號(hào)相消問題越明顯，從而導(dǎo)致輸出信干噪比下降.

3.3 單次運(yùn)行時(shí)間

本實(shí)驗(yàn)旨在考察QPEP、QWCCB與Q-Capon 3種算法在相同硬件及軟件條件下(Intel i3雙核處理器，主頻3.30 GHz，內(nèi)存4 GB；Matlab仿真軟件)的單次運(yùn)行時(shí)間隨快拍數(shù)和傳感器個(gè)數(shù)變化的曲線. 圖4(a)顯示，當(dāng)采用10個(gè)拉伸三極子時(shí)，QWCCB算法運(yùn)行1次需要近0.3 s，而QPEP和Q-Capon算法運(yùn)行1次則分別需要0.03 s和0.06 s；圖4(b)則說明，3種算法的計(jì)算復(fù)雜度主要取決于傳感器的個(gè)數(shù)，幾乎不受快拍數(shù)的影響.

4 結(jié) 論

本文研究了基于拉伸三極子雙平行陣列的四元數(shù)域主特征空間投影魯棒自適應(yīng)波束形成方法. 首先，與此前基于極化匹配子陣劃分的建模方法不同，本文以空域子陣劃分的方式構(gòu)建新型四元數(shù)模型；所提出的四元數(shù)域主特征空間投影方法利用Q-Capon波束形成器權(quán)矢量屬于信號(hào)加干擾主特征空間的本征結(jié)構(gòu)，對(duì)噪聲子空間泄漏現(xiàn)象進(jìn)行截?cái)嗵幚?，最終達(dá)到提升波束形成器魯棒性的目的；該算法為無需求解凸優(yōu)化問題與選取用戶參數(shù)的硬約束類方法，較現(xiàn)有軟約束類方法更易于實(shí)現(xiàn).

[1] Monzingo R A，Miller T W. Introduction to adaptive arrays[M]. New York: Wiley，1980.

[2] Johnson D H，Dudgeon D E. Array signal processing: concepts and techniques，signal processing series[M]. Englewood Cliffs，USA: Prentice Hall，1993.

[3] Van Trees H L. Optimum array processing[M]. New York: Wiley，2002.

[4] Zhang L，Liu W，Li J. Low-complexity distributed beamforming for relay networks with real-valued implementation[J]. IEEE Transactions on Signal Processing，2013，61(20)：5039-5048.

[5] Wang Z S，Li J，Wu R B. Time-delay-and time-reversal-based robust capon beamformers for ultrasound imaging[J]. IEEE Transactions on Medical Imaging，2005，24(10)：1308-1322.

[6] Compton R T. On the performance of a polarization sensitive adaptive array[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1981，29(5)：718-725.

[7] Compton R T. The tripole antenna: an adaptive array with full polarization flexibility[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1981，29(6)：944-952.

[8] Nehorai A，Ho K C，Tan B T G. Minimum-noise-variance beamformer with an electromagnetic vector sensor[J]. IEEE Transactions on Signal Processing，1999，47(3)：601-618.

[9] Xu Y G，Liu T，Liu Z W. Output SINR of MV beamformer with one EM vector sensor of non-identical electric and magnetic noise power[C]∥IEEE International Conference on Signal Processing. Beijing, China: IEEE Press, 2004:419-422.

[10] Reed I S，Mallett J D，Brennan L E. Rapid convergence rate in adaptive arrays[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1974，AES-10(6)：853-863.

[11] Chang L，Yeh C C. Performance of DMI and eigenspace-based beamformers[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1992，40(11)：1336-1347.

[12] Feldman D D，Griffiths L J. A projection approach for robust adaptive beamforming[J]. IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42(4)：867-876.

[13] Li J，Stoica P. Robust adaptive beamforming[M]. Hoboken，New Jersey: Wiley，2005.

[14] Vorobyov S A，Gershman A B，Luo Z Q. Robust adaptive beamforming using worst-case performance optimization: A solution to the signal mismatch problem[J]. IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51(2)：313-324.

[15] Miron S，Le Bihan N，Mars J I. High resolution vector-sensor array processing using quaternions[C]∥IEEE/SP 13th Workshop on Statistical Signal Processing. Bordeau，F(xiàn)rance: IEEE Press, 2005:918-923.

[16] Miron S，Le Bihan N，Mars J I. Quaternion-MUSIC for vector-sensor array processing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing，2006，54(4)：1218-1229.

[17] Gong X F，Xu Y G，Liu Z W. Quaternion ESPRIT for direction finding with a polarization sensitive array[C]∥IEEE International Conference on Signal Processing. Beijing, China: IEEE, 2008:378-381.

[18] Gou X M，Xu Y G，Liu Z W，et al. Quaternion-Capon beamformer using crossed-dipole arrays[C]∥IEEE International Symposium on Microwave，Antenna，Propagation，and EMC Technologies for Wireless Communications. Beijing, China: IEEE, 2011:34-37.

[19] Tao J W，Chang W X. The MVDR beamformer based on hypercomplex processes[C]∥IEEE International Conference on Computer Science and Electronics Engineering. Hangzhou, China: IEEE, 2012:273-277.

[20] Tao J W，Chang W X. A novel combined beamformer based on hypercomplex processes[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2013，49(2)：1276-1289.

[21] Zhang X R，Liu W，Xu Y G，et al. Quaternion-based worst case constrained beamformer based on electromagnetic vector-sensor arrays[C]∥IEEE International Conference on Acoustics，Speech，and Signal Processing. [S.l.]: IEEE, 2013:4149-4153.

[22] Zhang X R，Liu W，Xu Y G，et al. Quaternion-valued robust adaptive beamformer for electromagnetic vector-sensor arrays with worst-case constraint[J]. Signal Processing. Vancouver, Canada: IEEE, 2014，104:274-283.

[23] Zhang X R，Liu Z W，Liu W，et al. Quasi-vector-cross-product based direction finding algorithm with a spatially stretched tripole[C]∥IEEE Region 10 Conference (TENCON). Xi’an，China: IEEE，2013:1-4.

[24] Lee H C. Eigenvalues and canonical forms of matrices with quaternion coefficients[C]∥Proceedings of Royal Irish Academy. Ireland: Royal Zrish Acaderny, 1949(52)：253-260.

[25] Sturm J F. Using SeDuMi 1.02，a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones[J]. Optimization Methods and Software，1998，11(1-4)：625-653.

[26] Lofberg J. YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB [C]∥IEEE International Symposium on Computer Aided Control Systems Design. Taipei，China: IEEE, 2004:284-289.

(責(zé)任編輯：劉芳)

Quaternion-Valued Robust Adaptive Beamforming Based on Principal Eigenspace Projection

ZHANG Xi-rui，LIU Zhi-wen，WANG Ya-xin，XU You-gen

(School of Information and Electronics，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China)

Based on the principal eigenspace projection in the quaternion domain，a robust adaptive beamforming scheme was proposed with a dual-parallel array of spatially stretched tripole antennas，to tackle the performance degradation of quaternion-based adaptive beamformers in the presence of model mismatch errors. Compared with the quaternion-based worst-case constrained beamformer，the presented method does not need convex optimization and user-parameter selection. Numerical simulations show that the proposed method can tackle the signal self-nulling problem effectively，and significantly outperforms the quaternion-based worst-case constrained beamformer in the case of high SNRs and small sample sizes with reduced computational complexity.

robust adaptive beamforming; electromagnetic vector-sensor array; quaternion; principal eigenspace projection

2015-03-21

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61331019，61490691)

章希睿(1984—)，男，博士生，E-mail：xrzhang@bit.edu.cn.

劉志文(1962—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:zwliu@bit.edu.cn.

TN 971.1

A

1001-0645(2016)07-0755-05

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.07.018