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自然解法“無果”，另辟蹊徑“有門”

☉江蘇南京金陵中學河西分校李玉榮

一般而言，解題時最容易想到的解法當屬自然解法，數(shù)學難題的自然解法通常不夠簡潔，有時甚至根本無法完成.改進自然解法或另辟蹊徑，促使從自然解法走向完美解法是教師解題教學的職責和理想目標，路難走，但必須前行.

題目如圖1，在梯形ABED中，∠D=∠E=90°，△ABC是等邊三角形，且點C在DE上，如果AD=7，BE= 11，求△ABC的面積.（第24屆希望杯初二）

圖1

圖2

解法1：如圖2，作BF⊥DA交DA的延長線于點F，得矩形DEBF.

所以AF=BE-AD=4.設(shè)DC=x，CE=y，則BF=x+y.

圖3

這是二元二次方程組，初中生有能力求解嗎？

解法2：如圖3，作AF⊥BE交BE于點F，得矩形DEFA，所以BF=BEAD=4.設(shè)AB=AC=BC=x，則DC=

這是無理方程，初中生有能力求解嗎？

點評：這兩種解法是命題者提供的，從解題過程看，上述兩種解法的難點顯然是所列方程（組）超越了學生的能力范疇，難以求解，致使考生大多無法最終求出結(jié)果.可見解法雖很自然，但卻并不完美.作為教師可以繼續(xù)求解.

解得y2=3，從而BC2=BE2+CE2=121+3=124.

再兩邊平方、整理得：x4-124x2=0，解得x2=124.

教師的求解固然可行，但改進解法讓學生能夠理解、接受勢在必行.怎樣改進這個自然解法呢？注意到△ABC是等邊三角形，其特殊的角及線段相等可以使人聯(lián)想到輔助圓，構(gòu)造出特殊的直角三角形，避開自然解法中的方程組，得到以下完美解法.

圖4

另解1：如圖4，作BF⊥DA交DA的延長線于點F，則AF=BE-AD=4；

延長AD至點G，使得DG=AD= 7，則CG=CA=CB，故點G、A、B在以C為圓心，CA為半徑的⊙C上.

【評注】此解法恰當?shù)貥?gòu)造輔助圓，根據(jù)“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”得到一個含30°角的直角三角形，巧妙地求出了BF，過程十分簡潔，令人拍案叫絕.

另解2：如圖5，作AG⊥BE于點

圖5

在Rt△AGB中，根據(jù)勾股定理得：

AB2=AG2+BG2=124.

【評注】此解法恰當?shù)貥?gòu)造輔助圓，得到兩個含30°角的直角三角形，巧妙地將AG轉(zhuǎn)化為“AG=DE=DF+EF”求解，過程十分簡潔，數(shù)學之精躍然紙上.

在解題教學中，本著自然生成的原則，尋求自然解法無可厚非，但因循守舊、故步自封也會一無所獲.當用自然解法受挫時，教師就必須想方設(shè)法引導學生改進自然解法，或另辟蹊徑尋求其他解法，從而起到化隱為顯、化難為易的解題效果，實現(xiàn)解題從自然到完美的蛻變和升華.這正如人類的生存一樣：尊重自然、敬畏自然，但要生活得更美好，必須適度改造自然、美化自然.Z