☉江蘇泰州市高港區(qū)教師發(fā)展中心　蔣　飛

初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的三個(gè)層次

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眾所周知，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)是知識整合性較高的一種教學(xué)，相比新知教學(xué)而言，其往往要瞻前顧后；相比公開課教學(xué)而言，其往往需要更為高效；相比探究性教學(xué)而言，其往往更注重知識的總結(jié)和記憶.今年六月陜西師大在本省舉辦的解題教學(xué)高級研討活動(dòng)中，羅增儒教授對于初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)提出了三個(gè)方面的建議.

第一，概念為本，扎實(shí)雙基.從復(fù)習(xí)教學(xué)的第一層次來說，這是任何教學(xué)需要解決的基本問題.我們發(fā)現(xiàn)，不少初中學(xué)生在復(fù)習(xí)階段還無法清楚地理解基本概念、掌握基本問題解決的技能，這是非常令人焦急的.可以這么說，雙基層面的復(fù)習(xí)是任何數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)步的前提，隨著學(xué)生進(jìn)入更高級別的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)形式化的程度也相應(yīng)增加，只有解決基本層面的知識才能進(jìn)一步解決后續(xù)的問題，因此重視概念、重視雙基是復(fù)習(xí)的第一層次.

第二，關(guān)注交匯、注重整合.隨著知識學(xué)習(xí)程度的加深，我們知道區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力的試題都是考查多種知識的交匯，所以提高學(xué)生在知識交匯處解決問題的能力，是復(fù)習(xí)教學(xué)的第二層次.

第三，強(qiáng)調(diào)模型、滲透思想.初中學(xué)生在原創(chuàng)問題上的解決能力還有待進(jìn)一步提高，其實(shí)很多數(shù)學(xué)問題都依舊具備一定的數(shù)學(xué)模型，用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來說即模式識別，在復(fù)習(xí)教學(xué)中加強(qiáng)模式的識別，滲透數(shù)學(xué)思想方法，這對于學(xué)生站在更高的角度、系統(tǒng)地看待數(shù)學(xué)問題大有幫助.筆者認(rèn)為羅教授的一席話，深刻地點(diǎn)出了復(fù)習(xí)教學(xué)如何呈現(xiàn)螺旋式上升的方法，現(xiàn)結(jié)合教學(xué)實(shí)踐簡單分析一二.

一、概念為本，扎實(shí)雙基

復(fù)習(xí)教學(xué)中，概念的復(fù)習(xí)有兩種方式.其一是系統(tǒng)整理（群概念復(fù)習(xí)），以約瑟夫·D·諾瓦克的概念圖最為有效.在復(fù)習(xí)教學(xué)中，結(jié)合概念圖將概念的來龍去脈、層級遞進(jìn)展示得一清二楚.筆者發(fā)現(xiàn)，少數(shù)學(xué)生對于數(shù)的基本概念：實(shí)數(shù)—有理數(shù)和無理數(shù)—正數(shù)和分?jǐn)?shù)—整數(shù)和分?jǐn)?shù)等之間的層級關(guān)系比較模糊，可在學(xué)習(xí)過程中引導(dǎo)學(xué)生回顧概念，更從親自繪制概念圖的角度復(fù)習(xí)回顧，掌握數(shù)的基本概念.從幾何圖形角度來說，不少女生對于基本圖形之間的從屬關(guān)系有些模棱兩可，筆者從結(jié)合圖形特征的角度出發(fā)，將特征與概念圖結(jié)合，從從一般到特殊的角度掌握圖形概念.

圖1

說明：從上述兩種不同的概念圖復(fù)習(xí)角度出發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)的基本概念采用了從特殊到一般的復(fù)習(xí)視角，而幾何圖形概念復(fù)習(xí)視角卻恰恰是從一般到特殊的角度至少做如何復(fù)習(xí)，關(guān)鍵是抓住了各自概念的不同特征入手.利用概念圖是復(fù)習(xí)群概念比較有效的一種手段.

其二，概念教學(xué)的復(fù)習(xí)結(jié)合數(shù)學(xué)問題實(shí)施.諸如問題：將三角形中余弦的倒數(shù)稱之為正割，則30°的正割值為多少？這是典型的雙基知識結(jié)合問題背景考查.我們知道三角函數(shù)是以角度為自變量的函數(shù)，余弦值恰為鄰邊除以斜邊的值，因此正割恰為斜邊除以鄰邊，因此本題的答案顯而易見.這樣的概念結(jié)合問題背景的考查，主要以基本問題的形態(tài)出現(xiàn)在應(yīng)試中，加強(qiáng)概念的關(guān)注是解決復(fù)習(xí)第一層次的關(guān)鍵.

二、關(guān)注交匯，注重整合

知識的單一考查是無法區(qū)分學(xué)生的綜合問題解決能力的，因此復(fù)習(xí)教學(xué)要提供整合性要求更高的問題，從這些問題中加強(qiáng)復(fù)習(xí)教學(xué)知識的聯(lián)系性，引導(dǎo)學(xué)生自身關(guān)注知識整合性，從多元知識的角度駕馭復(fù)習(xí)教學(xué)，迅速提高復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性.

問題1：已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y= ax2-（a+1）x與直線y=kx的一個(gè)公共點(diǎn)為A（4，8）.

（1）求此二次函數(shù)和直線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在線段OA上，過點(diǎn)P作y軸的平行線交（1）中二次函數(shù)于點(diǎn)Q，求線段PQ長度的最大值；

（3）記（1）中二次函數(shù)的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)N在此二次函數(shù)上，若四邊形AOMN恰好是梯形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及梯形AOMN的面積.

分析：本題復(fù)習(xí)教學(xué)的知識，注重三個(gè)方面.第一是圖形的繪制能力，本題并未提供問題圖形，首先考查學(xué)生圖形繪制的能力；第二考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力；第三是在函數(shù)中使用平面幾何的基本知識，體現(xiàn)知識交匯處命題的意圖.

解析：（1）由題意，可得8=16a-4（a+1）及8=4k，解得a=1，k=2，所以二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x，直線的解析式為y=2x.

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2t）（0≤t≤4），可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，t2-2t），則PQ=2t-（t2-2t）=4t-t2=-（t-2）2+4，因此當(dāng)t=2時(shí)，PQ的長度取得最大值4.

圖2

說明：本題結(jié)合了多種知識的交匯，將問題圖形化是首先需要解決的，進(jìn)而將基本運(yùn)算及梯形面積求解方式轉(zhuǎn)化，這都體現(xiàn)了教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生注重這些知識的整合使用，從一定的復(fù)習(xí)時(shí)間上來說，學(xué)生對于知識整合的考查將會(huì)隨著整合性問題復(fù)習(xí)的增多而熟練.

三、強(qiáng)調(diào)模型，滲透思想

二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的函數(shù)模型，對于這一函數(shù)模型的基本處理方式，離不開三個(gè)模式特征：其一是與二次方程相關(guān)的判別式，其二是與平面幾何圖形結(jié)合，其三是與面積相關(guān)的三角形研究，這是中考最基本的模型及演變.這一過程中再進(jìn)行恰當(dāng)?shù)乃枷敕椒ǖ臐B透，必定可以提高學(xué)生復(fù)習(xí)的視野和教學(xué)的效率.

問題2：設(shè)二次函數(shù)方程為y=-x2+（m-2）x+3（m+1）.

（1）判斷：二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；

（2）記二次函數(shù)交y軸于點(diǎn)C，當(dāng)二次函數(shù)交x軸于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B（不妨設(shè)B在A的右側(cè)）時(shí)，若∠CAB或∠CBA中存在其中一個(gè)角為鈍角，則m的取值范圍是多少？

（3）記二次函數(shù)的頂點(diǎn)為P，在（2）求得的m條件下，若△PAO與△ABC的面積相等，求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

分析：（1）對于二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，學(xué)生易知利用判別式進(jìn)行判斷；（2）利用數(shù)形結(jié)合思想，可以對鈍角三角形的情形進(jìn)行判斷；（3）恰當(dāng)引入分類的原因，x軸兩交點(diǎn)的位置不能唯一確定，因此以兩交點(diǎn)的位置進(jìn)行兩種不同情形的分類，指導(dǎo)學(xué)生正確辨別是解決本題的關(guān)鍵.

解析：（1）Δ=（m-2）2-4×（-1）×3（m+1）=（m+4）2≥0.當(dāng)m=-4時(shí)，Δ=0，二次函數(shù)與x軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m≠-4時(shí)，Δ＞0，二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

（2）令y=-x2+（m-2）x+3（m+1）=0，得到：x1=m+1，x2= -3，利用數(shù)形結(jié)合可知m＜-1且m≠-4.

說明：本題可謂中考壓軸試題的基本模型，其中結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的滲透：分類討論和數(shù)形結(jié)合.在復(fù)習(xí)教學(xué)中若能讓學(xué)生清晰理解、合理、找到分類的切入點(diǎn)，考慮到A、B兩個(gè)不同位置的存在性，可使得學(xué)生對這一綜合性問題的解決水到渠成.

筆者認(rèn)為，加強(qiáng)概念圖的整理歸納、知識綜合性整合的使用嘗試、模型的掌控和思想方法的滲透都大大提升了復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性.從復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性來說，筆者結(jié)合羅教授的理論給出了自身結(jié)合案例教學(xué)的一些思考，限于篇幅未能就學(xué)生問題解決視角、復(fù)習(xí)學(xué)案等很多方面進(jìn)行一一展開述說，懇請讀者批評和指正.

1.王新.“數(shù)學(xué)思想方法研究綜述”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2011（10）.

2.王懷梁.在“數(shù)學(xué)活動(dòng)”中“做”數(shù)學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2012（4）.

3.李曉云.概念教學(xué)中的“動(dòng)場”建構(gòu)芻議［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2013（7）.

4.劉明對.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)過程中存在問題的思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（5）.Z