江 莉,趙國(guó)慶,李 林

(1.西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院,陜西西安 710071; 2.西安建筑科技大學(xué)信息與控制工程學(xué)院,陜西西安 710055)

一種改進(jìn)的復(fù)延遲時(shí)頻分布算法

江 莉1,2,趙國(guó)慶1,李 林1

(1.西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院,陜西西安 710071; 2.西安建筑科技大學(xué)信息與控制工程學(xué)院,陜西西安 710055)

針對(duì)計(jì)算復(fù)延遲信號(hào)時(shí)存在計(jì)算機(jī)精度不夠、甚至溢出的問(wèn)題,提出了一種改進(jìn)算法.該算法通過(guò)頻譜遞推估計(jì)和信號(hào)尺度變換,有效解決了復(fù)延遲時(shí)頻分布的算法實(shí)現(xiàn)問(wèn)題.仿真實(shí)驗(yàn)表明,改進(jìn)算法相比原始算法具有較好的噪聲抑制能力和時(shí)頻能量聚集性.

復(fù)延遲時(shí)頻分布;復(fù)延遲信號(hào);時(shí)頻能量聚集性

時(shí)頻分布又稱時(shí)頻表示,是非平穩(wěn)信號(hào)分析的一個(gè)重要手段,可得到信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的分布特征[1-2].傳統(tǒng)的時(shí)頻表示分為兩類[3]:一類是線性時(shí)頻表示,由傅里葉變換轉(zhuǎn)化而來(lái),如短時(shí)傅里葉變換(Short-Time Fourier Transform,STFT)、小波變換等;另一類是二次型時(shí)頻表示,又稱雙線性時(shí)頻分布,如Wigner-Ville分布(Wigner-Ville Distribution,WVD)、Choi-Williams分布(Choi-Williams Distribution,CWD)[4]等.線性時(shí)頻表示無(wú)交叉項(xiàng)干擾,但時(shí)頻聚集性較差.二次時(shí)頻分布在一定程度上提高了時(shí)頻聚集性,但受交叉項(xiàng)干擾嚴(yán)重.針對(duì)自然界和工程應(yīng)用中廣泛存在的非線性、非平穩(wěn)信號(hào),高階時(shí)頻分布[5]近年來(lái)得到人們的廣泛關(guān)注.在Cohen類二次時(shí)頻分布的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[6]提出的一種新型的高階時(shí)頻分布,即復(fù)延遲時(shí)頻分布(Complex-Time Distribution,CTD),對(duì)于非線性連續(xù)頻率調(diào)頻信號(hào),CTD具有優(yōu)良的時(shí)頻聚集性[7-8].計(jì)算CTD時(shí),需要通過(guò)傅里葉變換及反變換計(jì)算復(fù)延遲信號(hào),指數(shù)變化的幅度因子導(dǎo)致計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)精度不夠,甚至溢出,從而影響算法性能.算法實(shí)現(xiàn)問(wèn)題一直是CTD的一個(gè)難點(diǎn),制約著其在實(shí)際工程中的應(yīng)用.基于此問(wèn)題,筆者以4階CTD為例,提出了一種基于頻點(diǎn)遞推的復(fù)延遲信號(hào)計(jì)算方法,避免了計(jì)算復(fù)延遲信號(hào)的計(jì)算機(jī)精度及溢出問(wèn)題.并針對(duì)噪聲干擾,提出了一種基于信號(hào)尺度變換的復(fù)延遲信號(hào)計(jì)算方法.

1　復(fù)延遲時(shí)頻分布

假設(shè)解析信號(hào)s(t)=A exp(j?(t)),于是,可定義L階復(fù)延遲時(shí)頻分布為[9]

其中,ΩL,p=exp(j2πpL),為復(fù)數(shù)延遲,可通過(guò)傅里葉反變換進(jìn)行計(jì)算,即

其中,S(ω)為信號(hào)s(t)的頻譜.

一般情況下CTD的階數(shù)L為偶數(shù),最常用的為4階,則4階CTD可表示

4階CTD的時(shí)頻擴(kuò)展因子為

理論上,CTD的階數(shù)越高,時(shí)頻聚集性越好.實(shí)際中由于信號(hào)調(diào)制復(fù)雜并存在多個(gè)分量,復(fù)延遲時(shí)頻分布的自交叉項(xiàng)和互交叉項(xiàng)干擾會(huì)隨階數(shù)的增加而變得更加嚴(yán)重.可將L階CTD用另外一種方式表示為

其中,c(t,τ)是瞬時(shí)自相關(guān)的修正項(xiàng),C(t,ω)是c(t,τ)的傅里葉變換,C(t,ω)可看作頻域?yàn)V波器,表示對(duì)ω進(jìn)行卷積,W(t,ω)表示W(wǎng)VD.式(5)中,CTD可看作是一種加了核的WVD,而式(6)為核函數(shù).

考慮到實(shí)際處理的信號(hào)為離散形式,D4的離散計(jì)算公式為

利用傅里葉反變換計(jì)算信號(hào)的復(fù)延遲,離散公式可表示為

其中,S(k)為信號(hào)s(n)的離散傅里葉變換.可見,幅度因子exp(πmk(2N))隨mk呈指數(shù)變化,當(dāng)mk較大時(shí),幅度因子趨于0或無(wú)窮大,會(huì)導(dǎo)致計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)精度不夠,甚至溢出.算法實(shí)現(xiàn)問(wèn)題一直是CTD的一個(gè)難點(diǎn).

圖1　幅度修正后的信號(hào)幅頻特性圖

圖1為經(jīng)過(guò)幅度因子修正后的信號(hào)幅頻特性圖.仿真信號(hào)為線性調(diào)頻信號(hào),并疊加信噪比為20 dB的高斯白噪聲,信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)N=256.圖1(a)中m=0,即原始信號(hào)的幅頻特性圖;圖1(b)和(c)分別對(duì)應(yīng)m=32和m=-32.可以看出,當(dāng)m＞0時(shí),幅度因子導(dǎo)致信號(hào)頻率正半軸指數(shù)增加,而負(fù)半軸指數(shù)減小;當(dāng)m＜0時(shí),情況正好相反.幅度因子極大地增加了頻率數(shù)值的動(dòng)態(tài)范圍,從而導(dǎo)致計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)精度不夠,甚至溢出.在現(xiàn)有的有關(guān)離散信號(hào)CTD研究中,僅針對(duì)采樣點(diǎn)數(shù)較短情況(例如N≤128)進(jìn)行分析[10].

2　改進(jìn)算法

2.1基于頻點(diǎn)遞推的復(fù)延遲信號(hào)計(jì)算方法

針對(duì)CTD的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題,文中提出一種遞推算法.這里主要針對(duì)D4,其他更高階的CTD可參考D4實(shí)現(xiàn).首先,式(9)可改寫為

其中,Bn,1和Bn,2分別表示式(10)中的后兩部分求和.Bn,1的遞推公式可表示為

利用上述的遞推公式可解決復(fù)延遲的計(jì)算機(jī)精度及溢出問(wèn)題,也使其可分析采樣點(diǎn)數(shù)更長(zhǎng)的信號(hào).對(duì)于任意復(fù)數(shù)z的虛數(shù)次冪,可表示為

當(dāng)m=0時(shí),有c(n,m)=1.

2.2噪聲抑制方法

以圖1為例,如果分析信號(hào)中存在噪聲,那么由于指數(shù)幅度因子會(huì)放大噪聲的影響,從而導(dǎo)致復(fù)延遲信號(hào)產(chǎn)生較大誤差.同時(shí),當(dāng)分析信號(hào)的帶寬較寬或中心頻率較高時(shí),指數(shù)幅度因子對(duì)信號(hào)的影響更大.帶內(nèi)的小噪聲將會(huì)被指數(shù)量級(jí)放大,增強(qiáng)了噪聲頻率分量.因此,這里提出一種信號(hào)尺度變換方法.

考慮信號(hào)s(at),a＞1.針對(duì)復(fù)延遲信號(hào)s(at+j aτ),應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)展開,即

其中,S(f)為s(t)的傅里葉變換,經(jīng)推導(dǎo)可得

可以看出,上式相當(dāng)于提高了頻譜的聚集性,使得計(jì)算復(fù)延遲時(shí)受幅度因子exp(-2πτf)的影響變小.將上述思想應(yīng)用到截獲的離散信號(hào)s(n),假設(shè)a=2,先對(duì)信號(hào)進(jìn)行兩倍插值,計(jì)算插值信號(hào)的頻譜S2N(k),再利用式(9)和式(18)計(jì)算復(fù)延遲.利用2.1節(jié)提出的遞推算法,解決了插值后信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)增加情況下CTD的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題,保證了計(jì)算精度.為進(jìn)一步抑制帶外噪聲,可考慮對(duì)頻譜進(jìn)行加窗,這里采用高斯窗.高斯窗函數(shù)適合于非周期指數(shù)信號(hào),在一定程度上抑制指數(shù)幅度的影響.

3　仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

首先比較上節(jié)中提出的D4改進(jìn)算法與原始算法在計(jì)算復(fù)延遲信號(hào)時(shí)的差異.仿真信號(hào)為線性調(diào)頻信號(hào),信號(hào)參數(shù)與圖1相同,信號(hào)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為256點(diǎn),延遲量m=-4.圖2(a)和(b)是原始算法的計(jì)算結(jié)果,圖2(c)和(d)是改進(jìn)算法的計(jì)算結(jié)果.可以看出,無(wú)噪聲時(shí)在數(shù)據(jù)兩端由于加權(quán)幅度因子較大,如圖1(c)所示,直接利用原始算法計(jì)算復(fù)延遲信號(hào)時(shí)會(huì)受計(jì)算精度影響.對(duì)比圖2(a)和(c)可以看出,遞推算法有效解決了復(fù)延遲信號(hào)的計(jì)算問(wèn)題.信號(hào)復(fù)延遲受噪聲影響很大,原始算法幾乎無(wú)法應(yīng)用.如圖2(b),當(dāng)信噪比為8 d B(高斯白噪聲)時(shí),原始算法對(duì)復(fù)延遲信號(hào)的估計(jì)產(chǎn)生了較大的偏差.對(duì)比圖2(b)和(d)可以看出,改進(jìn)算法通過(guò)頻譜壓縮,可較好抑制噪聲的影響,使噪聲受到指數(shù)幅度因子加權(quán)而產(chǎn)生的干擾大大降低.

圖2　噪聲對(duì)復(fù)延遲信號(hào)影響的比較圖

下面的實(shí)驗(yàn)中利用復(fù)延遲時(shí)頻分布分析非平穩(wěn)信號(hào).為了驗(yàn)證復(fù)延遲時(shí)頻分布的時(shí)頻聚集性,選擇非線性連續(xù)頻率調(diào)制信號(hào),該類信號(hào)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信等實(shí)際系統(tǒng)中.考慮到原始D4算法在數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)較多時(shí)容易導(dǎo)致計(jì)算機(jī)溢出,本實(shí)驗(yàn)中信號(hào)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為128.圖3(a)和(b)分別為譜圖(短時(shí)傅里葉變換的模平方)和WVD的時(shí)頻分布計(jì)算結(jié)果.譜圖時(shí)頻分辨率較差,WVD受交叉項(xiàng)影響較大,兩種時(shí)頻分析方法均無(wú)法精確表示信號(hào)的瞬時(shí)頻率變換特征.圖3(c)和(d)分別是原始D4和改進(jìn)D4的計(jì)算結(jié)果.對(duì)于仿真信號(hào),D4的時(shí)頻能量聚集性要明顯優(yōu)于譜圖和WVD的.改進(jìn)D4算法也優(yōu)于原始D4的,不但抑制了交叉項(xiàng),也具有更高的時(shí)頻聚集性.

圖3　不同時(shí)頻分析算法的比較圖

4　結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)頻譜遞推估計(jì)和信號(hào)尺度變換,有效解決了復(fù)延遲時(shí)頻分布的算法實(shí)現(xiàn)問(wèn)題.仿真實(shí)驗(yàn)證明,改進(jìn)算法相比原始算法具有較好的噪聲抑制能力和時(shí)頻能量聚集性.然而,高階時(shí)頻分布(包括D4)的計(jì)算量較大,文中提出的迭代算法計(jì)算效率有限,需要進(jìn)一步進(jìn)行算法優(yōu)化.此外,高階時(shí)頻分布對(duì)噪聲的魯棒性較差,需要進(jìn)一步研究低信噪比下的改進(jìn)算法.

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(編輯:齊淑娟)

Modified algorithm for complex-time distribution

JIANG Li1,2,ZHAO Guoqing1,LI Lin1
(1.School of Electronic Engineering,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China;2.School of Information and Control Engineering,Xi’an Univ.of Architecture and Technology,Xi’an 710055,China)

Aiming at the problems of computer precision and even overflow,a new modified algorithm is proposed.The complex-time distribution algorithm can be accomplished effectively by frequency spectrum iteration estimation and signal scale conversion.Simulation results show that the proposed method has a good ability to suppress the influence of noise interferences,improve the energy convergence,and provide theoretical and technical support for the enginnering application.

complex-time distribution;complex-lag signal;time frequency energy concentration

TN971

A

1001-2400(2016)05-0036-05

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.05.007

2015-09-07 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2015-12-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61201287);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(JB140208);陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(16JK1429)

江 莉(1982-),女,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:yolanda_jiangli@163.com.

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20151210.1529.014.html