張 卓，楊 晨

（山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，山西太原030031）

一類時(shí)滯邊界反饋控制系統(tǒng)的精確能控性研究

張 卓，楊 晨

（山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，山西太原030031）

研究一類具有時(shí)滯邊界反饋控制的Euler-Bernoulli梁震動(dòng)系統(tǒng)在初值條件下的精確能控性.作者首先選擇了適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)線性空間M,引入了輸入、輸出算子B、C,并證明了系統(tǒng)可寫(xiě)成M上的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)∑(A,B,C)。最終通過(guò)研究算子性質(zhì)證明其在線性空間M上不具備精確能控性。

時(shí)滯；邊界反饋控制；精確能控性

本文研究一類具有時(shí)滯邊界反饋控制的梁震動(dòng)系統(tǒng)

在初值條件

下的精確能控性。在該系統(tǒng)中,各變量的物理意義如下：w(x,t)為橫向位移,wt(x,t)為速度,wx(x,t)=θ為旋轉(zhuǎn)角,wtx(x,t)為角速度,-wxx(x,t)=M為彎矩,wxxx(x,t)=V為剪力。

Euler-Bernoulli梁震動(dòng)系統(tǒng)的適定性、穩(wěn)定性、精確能控性在工程，物理，化學(xué)，電子，機(jī)械，生物等諸多領(lǐng)域都有重要的研究?jī)r(jià)值，見(jiàn)文獻(xiàn)[1-2]。在這些文章中，作者用基擾動(dòng)法，牛頓迭代法，半群法等研究了具有邊界控制的Euler-Bernoulli梁方程的適定性，穩(wěn)定性，精確能控性等。但在實(shí)踐中總是難以避免存在時(shí)滯，于是這方面的研究也很活躍，如文獻(xiàn)[3]中關(guān)于時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性、非線性、辨識(shí)、時(shí)滯消除與利用技術(shù)等方面的研究，取得了許多成果，包括時(shí)滯辨識(shí)、兩種基于時(shí)滯方程的控制律的設(shè)計(jì)方法、時(shí)滯正反饋控制技術(shù)、時(shí)滯實(shí)驗(yàn)等。

不同于上述文章，為研究的需要，本文首先選取了適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)線性空間M,引入輔助系統(tǒng)，將其改寫(xiě)為M上的狀態(tài)方程∑(A,B,C)。其中A是M上的強(qiáng)連續(xù)半群的生成元,B,C均為無(wú)界算子。作者最終是通過(guò)研究算子的性質(zhì)證明該震動(dòng)系統(tǒng)在線性空間M上是不具備精確能控性的。

1 預(yù)備知識(shí)

狀態(tài)線性系統(tǒng)∑(A,B,-)精確能控性的相關(guān)知識(shí)：

（1）∑(A,B,-)在[0,τ]上的能控映射Bτ滿足：

（2）∑(A,B,-)在[0,τ]上的能控域滿足：

（3）∑(A,B,-)在[0,τ]上精確能控當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于某個(gè)γ＞0和?z∈Z，下列條件之一成立：

2 狀態(tài)線性系統(tǒng)的建立

首先研究相應(yīng)的無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)：

定義算子

令x(t)=(w(·,t),wt(·,t))T, 其中w(·,t)是方程 (2)的解，則系統(tǒng)(2)可寫(xiě)成Cauchy方程：

其中A0如(3)定義，M,及內(nèi)積 ((p,f(·))T,(q,g(·))T)M見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。

這里H1([-ε,0],X)={f：[-ε,0]→X|f在 [-ε,0]上絕對(duì)連續(xù)，且f'(·)∈L2([-ε,0],X)} 。又D(A1)到M是緊嵌入,故A1有緊的預(yù)解算子。

為A1的延拓算子，則為方便，仍用A1表示1。用同樣的方法延拓A0，使A0∈L(X,X-1)。

令

定理1 設(shè)A1如（5）定義C,u(t),y(t),如（6）～（9）定義，則系統(tǒng)（1）可寫(xiě)為M上的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)：

3 精確能控性

定理2 若B如（6）定義，則

定理3設(shè)T(t)為A1生成的C0-半群，則?ε＞0，系統(tǒng)(I)在[0,ε]上不精確能控。

綜上，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)線性空間，改寫(xiě)系統(tǒng)，研究算子性質(zhì)，文中證明了該類具有時(shí)滯邊界反饋控制的Euler-Bernoulli梁震動(dòng)系統(tǒng)在初值條件下是不具備精確能控性的。

[1]張卓.一類時(shí)滯邊界反饋控制系統(tǒng)的適定性和穩(wěn)定性研究[J].太原師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2010(4)：34-36.

[2]周華成,寇春海.Euler-Bernoulli梁方程基于邊界分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)反饋控制的鎮(zhèn)定[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2015,29(2)：211-221.

[3]蔡國(guó)平,陳龍祥.時(shí)滯反饋控制的若干問(wèn)題[J].力學(xué)進(jìn)展,2013,43(1)：21-28.

〔責(zé)任編輯 高海〕

The Exact Controllability of the System with Small Delays in the Boundary Feedback Controls

ZHANG Zhuo，YANG Chen
(Basic Course Department,Business College of Shanxi University,Taiyuan Shanxi,030031)

In this paper,we mainly consider the beam systems with small delays in boundary feedback controls and boundary condition.Firstly,we formulate the systems as the state feedback control systems on the suitable Hilbert space H.Then we prove that B is admissible.In the end we prove that the system isn't exactly controllable on the state linear space M.

delay;boundary feed back;exact controllability

O175.21

A

1674-0874(2016)03-0020-04

2016-03-10

山西省自然基金資助項(xiàng)目[2013011003-3]

張卓(1983-)，女，山西太原人，碩士，講師，研究方向：運(yùn)籌學(xué)與控制論。