孟凡敏

尋找填空壓軸題的命制本源

孟凡敏

填空題是數學考試的基本題型之一，其特點是短小精干，且不需要過程.近年來，命題者相繼推出一些題意新穎，構思精巧，具有相當深度和明確導向的創(chuàng)新題型.對這些題目進行深度挖掘，將有助于我們總結這一類題的解題經驗，揭示數學知識間的內在聯系，提高分析問題和解決問題的能力.

一、利用特殊定義，考查知識整合

此類試題主要考查閱讀理解能力，試題往往涉及一些容易混淆的概念和性質，要求我們搞清定義的本質，用類比的方法將新知識遷移，進而轉化為熟悉的問題來解決.

【命制本源】本題創(chuàng)設了一個全新的問題情境，約定一種新概念二階行列式，實質是將四個整式交叉相乘再求差，轉化為解方程的問題.解決問題的關鍵是要善于挖掘其內涵和本質，真正理解概念.

解：（x+3）2-（x-3）2=12，解得，x=1.

二、開放條件結論，考查探索創(chuàng)新

該類試題是相對于給出明確條件或結論的封閉性問題而言，其特點是條件或結論不明確，有待于進一步探索，進而成為開放性問題.這類問題設計新穎，解答時需要綜合運用基礎知識、基本技能和基本的數學思想方法.

例2（2015·威海）如圖1，①②③用一種大小相等的正多邊形密鋪成一個“環(huán)”，我們稱之為環(huán)形密鋪，而④⑤不是我們所說的環(huán)形密鋪.請你再寫出一種可以進行環(huán)形密鋪的正多邊形：______.

圖1　

【命制本源】本題考查平面鑲嵌的有關知識，判斷中間空白正多邊形的內角是所用正多邊形的外角的2倍是解題的關鍵.題目新穎之處不在于所涉及的知識本身，而是抓住問題的本質，即圖形鑲嵌的條件.

解：正十二邊形的外角是360°÷12=30°，

∵30°×2=60°是正三角形一個內角的度數，

∴正十二邊形可以進行環(huán)形密鋪.

三、源于社會生活，反映時代主題

低碳排放、保護環(huán)境、優(yōu)惠政策是當今社會的主旋律，也是考試的熱點.

例3（2015·無錫）某商場在“五一”期間舉行促銷活動，根據顧客按商品標價一次性購物總額，規(guī)定相應的優(yōu)惠方法：①如果不超過500元，則不予優(yōu)惠；②如果超過500元，但不超過800元，則按購物總額給予8折優(yōu)惠；③如果超過800元，則其中800元給予8折優(yōu)惠，超過800元的部分給予6折優(yōu)惠.促銷期間，小紅和她母親分別看中一件商品，若各自單獨付款，則應分別付款480元和520元；若合并付款，則她們總共只需付款______元.

【命制本源】本題以優(yōu)惠購物這一生活問題為背景，主要考查分類討論思想，不僅考查分析和解決問題的能力，而且能促進同學們關注國家、人類和社會生活息息相關的民生問題.

解：∵480<500<520<800×0.8，

∴母親買的商品一定打折，小紅買的商品可能打折也可能沒打折.

①小紅買的商品打折：（480+520）÷0.8= 1250，

800×0.8+（1250-800）×0.6=910（元）；

②小紅買的商品不打折：480+520÷0.8= 1130，

800×0.8+（1130-800）×0.6=838（元）.

四、探究數學規(guī)律，考查數學建模

當一個問題涉及相當多的情形時，可以從問題所給條件中的特殊情況出發(fā)，挖掘隱含的一般規(guī)律，從而找到解決問題的關鍵.它要求同學們具有較強的觀察能力、歸納探究能力，體現從特殊到一般再到特殊的辯證思維能力.

例4（2015·貴港）如圖2，已知點A1，A2，…，An均在直線y= x-1上，點B1，B2，…，Bn均在雙曲線y=上，并且滿足：A1B1⊥x軸，B1A2⊥y軸，A2B2⊥x軸，B2A3⊥y軸，…，AnBn⊥x軸，BnAn+1⊥y軸，…，記點An的橫坐標為an（n為正整數）.若a1=-1，則a2015= ______.

圖2　

【命制本源】根據點在反比例函數、一次函數圖像上，求出點的坐標，找出其坐標規(guī)律特征.

解：由a1=-1，可得，a2=2，a3=，a4=-1，…，三個一循環(huán)，

∴a2015=2.

五、提供新穎信息，考查閱讀遷移

這類題型的特點是設計一個陌生的數學情境，這些情境可能是同學們未曾見過的，也可能是已學過的某個知識點的延伸或拓寬.它要求同學們在理解材料的基礎上，運用所學的知識和方法進行知識的遷移.

例5（2015·株洲）“皮克定理”是用來計算頂點在格點上的多邊形面積的公式，公式表達式為S=a+-1，孔明只記得公式中的S表示多邊形的面積，a和b中有一個表示多邊形邊上（含頂點）的格點個數，另一個表示多邊形內部的格點個數，但不記得究竟是a還是b表示多邊形內部的格點個數，請你選擇一些特殊的多邊形（如圖3（1））進行驗證，得到公式中表示多邊形內部的格點個數的字母是______，并運用這個公式求得圖3（2）中多邊形的面積是______.

圖3?。?）

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【命制本源】本題考查了圖形的變化，讀懂題目提供的信息，找到圖形內和圖形上格點的數目是解題的關鍵.該類試題要求真正讀懂題目提供的信息，會靈活應用提供的信息解決問題.

解：公式中表示多邊形內部的格點個數的字母是a，圖3（2）中多邊形的面積是S= 15+×7-1=17.5.

六、設計多重選擇，考查綜合素質

該類試題給出多個命題，要求答題者從題設條件出發(fā)，運用定理、性質、公式等進行推理論證，對每個備選命題逐個判斷其真?zhèn)危顚懭繚M足要求的命題序號，屬于選擇題中的多選題.由于排除了“唯一性”中的“猜”的成分，所以該類試題對運算、推理、應用提出了更高的要求.

例6（2015·烏魯木齊）如圖4，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=-1，且過點有下列結論：①abc＞0；②a-2b+4c= 0；③25a-10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a-b≥m（am-b）.其中所有正確的結論是______.

【命制本源】本題主要考查二次函數圖像與系數的關系等知識.熟練掌握二次函數的性質是解決問題的關鍵，同時要注意數形結合思想與轉化思想的靈活應用.這類試題考查容量大，綜合性強，而且要求判斷準確，所以做題必須謹慎應對.

解：①③⑤.

七、加強操作探究，引導方法創(chuàng)新

動手操作往往與面積、對稱性質聯系在一起，常涉及畫圖、測量、猜想證明、歸納等問題.這類試題通過動手操作、圖形的旋轉、翻折等運動，不僅注重數學實踐應用、動手探究的培養(yǎng)，還關注學習過程和思想方法的滲透，讓同學們在經歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程中領悟探究方法.

圖4　

例7（2015·黃石）現有多個全等直角三角形，先取三個拼成如圖5（1）所示的形狀，R為DE的中點，BR分別交AC，CD于P，Q，易得BP∶PQ∶QR=3∶1∶2.

圖5?。?）

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（1）若取四個直角三角形拼成如圖5（2）所示的形狀，S為EF的中點，BS分別交AC，CD，DE于P，Q，R，則BP∶PQ∶QR∶RS=________.

（2）若取五個直角三角形拼成如圖5（3）所示的形狀，T為FG的中點，BT分別交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，則BP∶PQ∶QR∶RS∶ST=________.

【命制本源】本題以圖形剪拼為背景，主要考查了相似三角形的判定和性質等有關知識.解決問題的關鍵是找出圖中的相似三角形，求得相應線段之間的比例關系.

解：（1）4∶1∶3∶2；（2）5∶1∶4∶2∶3.

總之，中考填空壓軸題無論從呈現形式，還是從提出問題的角度都有所創(chuàng)新.在平時的學習中，同學們要認真鉆研教材，精心解讀教材，利用數學思想方法進行整合、概括，充分發(fā)揮教材應有的功能，挖掘其具有的典型特征，對每種題型都要廣開思路，不要因為是“小題”而不夠重視，要真正做到“小題大做”，發(fā)現問題真正的本源.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）

圖5　（3）