高艷艷

(南京工程學(xué)院 數(shù)理部,江蘇 南京 211167)

?

群環(huán)的冪等穩(wěn)定度1

高艷艷

(南京工程學(xué)院 數(shù)理部,江蘇 南京 211167)

設(shè)a∈R，如果對(duì)環(huán)R元素b，滿足aR+bR=R，則存在冪等元e∈R，使得a+be有左逆，那么稱元素a有冪等穩(wěn)定度1(記為isr(a) =1).如果對(duì)于R中的所有元素a，都有isr(a) = 1，那么稱環(huán)R有冪等穩(wěn)定度1(記為isr(R) = 1).證明了若R是半完全環(huán)，G是初等阿貝爾p-群，則isr(RG) =1.另外，若isr(R)=1，G是局部有限p-群，且p∈J(G)，則isr(RG) = 1.

冪等穩(wěn)定度1；群環(huán)；p-群

若群G的每一個(gè)有限生成的子群都是有限的，則稱G為局部有限群.如果群G的每個(gè)元素的階都是p的方冪，則稱G為p-群.如果G的所有非單位元的階為p，則群G稱為初等p-群.眾所周知，有限初等交換p-群是有限多個(gè)Cp的直積.

在文獻(xiàn)[1]中，陳煥銀給出了環(huán)R具有冪等穩(wěn)定度1的一些充分必要條件.如果RG具有冪等穩(wěn)定度1，那么R作為RG的像也必具有冪等穩(wěn)定度1.筆者將給出這一問(wèn)題的更多刻畫.

對(duì)于群環(huán)RG，環(huán)同態(tài)ε:RG→R，∑agg∑ag，稱為RG的增廣映射且該映射的核，記為給定元素a=∑agg，α的支撐為.文中更多記號(hào)和概念詳見(jiàn)文獻(xiàn)[2-4].

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[1]設(shè)R為環(huán).下列陳述等價(jià)

(1) isr(R)=1；

(2) 對(duì)任意的x,y∈R，都存在一個(gè)冪等元e∈R，使得xy-xe+1∈U(R).

命題1 如果R=∏iRi，那么isr(R)=1當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有的i，都有 isr(Ri)=1.

命題2 令φ:RS為環(huán)的滿同態(tài).如果isr(R)=1，那么isr(S)=1.

證明 設(shè)isr(R)=1.令φ:RS為環(huán)的滿同態(tài).對(duì)任意的x1，x2∈S，都存在y1，y2∈R，使得x1=φ(y1)，x2=φ(y2).因?yàn)閕sr(R)=1，那么存在冪等元e∈R，使得y1y2-y1e+1=u∈U(R).由于φ是滿同態(tài)，可得φ(e)是S的冪等元，φ(u) 是S的單位.因此

x1x2-x1φ(e)+1=φ(y1)φ(y2)-φ(y1)φ(e)+1=φ(u)∈U(S).

由定義可知isr(S)=1.

注1 命題2的逆命題是不正確的.設(shè)R=Ζ(7)，G=C3.顯然可見(jiàn)Ζ7C3是 Ζ(7)C3的同態(tài)像.因?yàn)棣?C3是Artin 環(huán)，所以它是半完全的.由文獻(xiàn)[5]可知，isr(Ζ7C3) = 1.但是 Ζ(7)C3不是clean環(huán)，因此也有isr(Ζ(7)C3).

命題3 設(shè)I為R的理想，假設(shè)I?J(R).那么isr(S)=1當(dāng)且僅當(dāng)isr(R/I)=1，且冪等元模I可以提升.

證明 “?” 如果isr(S)=1，那么R/I作為R的像,有isr(R/I) = 1.任取a∈R，有aR+(-1)R=R.那么存在冪等元e∈R，使得a-e=u∈U(R)，進(jìn)而可知a=e+u.那么R是clean環(huán).由文獻(xiàn)[6]可知冪等元模I能夠提升.

由假設(shè)可以設(shè) e2=e∈R.另一方面，存在v∈R，使得

因此可知a+be有左逆，證畢.

推論1[1]設(shè)R為環(huán).下列陳述等價(jià)

(1) isr(R)=1；

注2 設(shè)R[x]為多項(xiàng)式環(huán)，那么由文獻(xiàn)[7]知R[x]不是clean 環(huán)，進(jìn)而可得isr(R[x])≠1.

但是，對(duì)R上的冪級(jí)數(shù)環(huán)R[[x]]，情形則截然相反.

命題4 設(shè)S=R[[x]]，那么isr(S)=1 當(dāng)且僅當(dāng)isr(R)=1.

證明 設(shè)α=a0+a1x+a2x2+…∈S和β=b0+b1x+b2x2+…∈S.因isr(R)=1，那么存在冪等元e∈R，使得

a0b0-a0e+1∈U(R).

因此

其中：l1,l2…∈R.那么isr(S)=1.

因?yàn)镽為S的同態(tài)像，所以必要性顯然可見(jiàn).

2 主要結(jié)果

引理2 設(shè)G為群.如果對(duì)G的每個(gè)有限生成子群H，都有isr(RH)=1，那么isr(RG)=1.

證明 對(duì)任意的 x,y∈RG，令H=.那么由于|supp(x)| <∞，|supp(y)| <∞可知H是G的一個(gè)有限生成子群.因?yàn)閕sr(RH)=1，那么存在冪等元e∈RH，使得 xy-xe+1∈U(RH).顯然e2=e∈RG且xy-xe+1∈U(RG).因此，isr(RG)=1.

注3 引理2的逆命題是不正確的.令R=Z(7)，G=S3為3次對(duì)稱群.由文獻(xiàn)[8]可知RG是半完全的.因此由文獻(xiàn)[5]可知isr(RG)=1.但是對(duì)子群C3≤S3,Ζ(7)C3不是clean環(huán).因此 isr(Ζ(7)C3)≠1.

引理3 如果isr(R)=1并且2∈U(R)，G是初等Abel 2-群，那么isr(RG)=1.

證明 可以假設(shè)G是有限群.那么G是n 個(gè)C2的直積，其中n≥1.因?yàn)?∈U(R)，則RC2?R⊕R，同樣2是RC2的單位，有

R(C2×C2)?(RC2)C2?RC2⊕RC2?R⊕R⊕R⊕R.

類似地可證明RG同構(gòu)于2n個(gè)R的直和.證明完畢.

定理1 設(shè)R為半完全環(huán)，G是初等Abel 2-群，那么isr(RG)=1.

證明 任取x,y∈RG.令 H=.那么x,y∈RH，由 |supp(x)|<∞，|supp(y)|<∞可知H是有限生成的.因此，可以假設(shè)G是有限群.所以 G?C2×C2×…×C2(n個(gè)C2).

首先，證明如果R是局部環(huán)，那么RG是半完全環(huán).如果2∈U(R)，由引理3知RG?R2n.RG是半完全環(huán).如果2?U(R)，則2∈J(R).因?yàn)镚是有限2-群，由文獻(xiàn)[9]可知RG是局部環(huán),進(jìn)而可知RG是半完全環(huán).

推論2[10]如果R是局部環(huán)，G是初等Abel 2-群，那么RG是clean環(huán).

命題6 設(shè)n≥2為正整數(shù).則下列陳述等價(jià)

(1) isr(RCn)=1，對(duì)任意的半完全環(huán)R；

(2) isr(RCn)=1，對(duì)任意的局部環(huán)R；

(3)n= 2.

證明 (1)? (2) 和 (3) ? (2) 是顯然的.

(2) ? (1).由定理1可得此結(jié)論.

(2)? (3).如果n>2，由文獻(xiàn) [11] 可知，存在素?cái)?shù)q，使得Ζ(q)Cn不是clean環(huán).那么isr(Ζ(q)Cn) ≠1，與已知矛盾.

命題7 如果R是布爾環(huán)，G是局部有限群，那么isr(RG)=1.

命題8 如果R是局部環(huán)，p∈J(R)且G=Cp×C2×…×C2( n 個(gè) C2)，其中p是奇素?cái)?shù)，那么isr(RG)=1.

引理4[12]設(shè)R為環(huán)，G為群.如果H是G的子群，那么J(RH)?RH∩J(RG).特別地，當(dāng)H= 1時(shí)，有 J(R)?R∩J(RG).

引理5[10]設(shè)p為素?cái)?shù)且p∈J(R).如果G是局部有限p-群，那么Δ(RG)?J(RG).

引理6 設(shè)p為素?cái)?shù)且p∈J(R).如果G是局部有限群且G=HK，其中K是G的正規(guī)p-群，H 是G的子群.如果isr(RH)=1，那么isr(RG)=1.

證明 任取g∈G，都存在k∈K和h∈H，使得g=kh=(k-1)h+h∈∑k∈K(1-k)RG+RH.所以 RG=∑k∈K(1-k)RG+RH.由引理6可得Δ(RK)?J(RK).因?yàn)镚是局部有限的，所以G/K也是局部有限的，因此由文獻(xiàn)[9]可得J(RK)?J(RG).那么，Δ(RK)?J(RK)，這就證明了 ∑k∈K(1-k)RG?Δ(RK)(RG)?J(RG).因此得到

RG=J(RG)+RH.

定理2 設(shè)p為素?cái)?shù)且p∈J(R).如果isr(R)=1，G是局部有限p-群，那么isr(RG)=1.

證明 在引理6中取 H = {1} 即可得證.

由文獻(xiàn)[7]，知道 Ζ(7)C3不是clean的.因此定理2中的條件 p∈J(R)是必要的.

例1 設(shè)p>2為一個(gè)素?cái)?shù)，Dp是階為2p的二面體群.如果isr(R)=1且p∈J(R)，那么isr(RDp)=1.

證明 令 Dp==，其中是Dp的正規(guī)p-子群.因?yàn)閜∈J(R)，所以p-1∈U(R)，易知 2 是R的單位.因?yàn)?R?RC2，由引理3，可知 isr(R)=1.由引理6可得 isr(RDp)=1.

命題9 設(shè)R為環(huán)，G為群.給定x∈RG，如果isr(x)≠1，那么存在R的真理想I，使得R/I沒(méi)有非平凡的冪等元,并且isr(x+RG)≠1.

如果R/I有非平凡的冪等元，那么對(duì)R的真包含I的理想I1和I2，有

R/I=I1/I×I2/I，

因此

RG/IG?(R/I)G?I1G/IG×I2G/IG，

(1)

RG/I1G?(RG/IG)(I1G/IG)?I2G/IG，

(2)

RG/I2G?(RG/IG)(I2G/IG)?I1G/IG.

(3)

令(x1+IG,x2+IG)∈I1G/IG×I2G/IG 為x+IG在同構(gòu) (1)下的像.由I中的極大性可知，isr(xk+IG)=1，其中x+IkG∈RG/IkG(k=1,2).那么由式(2)和式(3)可知isr(xk+IG)=1，其中xk+IG∈IkG/IG(k=1,2).由式(1)可知isr(x+IG)=1，其中x+IG∈RG/IG，與假設(shè)矛盾.證畢.

由于沒(méi)有非平凡中心冪等元的交換環(huán)是局部環(huán)，有如下推論：

推論3 設(shè)R為交換環(huán).如果isr(RG)≠1，那么存在R的真理想I，使得R/I是局部的并且isr((R/I)G)≠1.

設(shè)a為環(huán)R中的元素，如果存在n>0，使得an∈anRan那么a稱為π-正則元.當(dāng)然如果R中每一個(gè)元素都是π-正則元，那么環(huán)R稱為π-正則環(huán).

引理7[10]如果非零整數(shù)k在環(huán)R中是π-正則的，那么存在R的一個(gè)直和分解R=R1⊕R2，使得 k∈U(R1)且k在R2中是冪零的.

命題10 如果isr(R)=1，G是初等阿貝爾2-群.假設(shè)2∈R是 π-正則元，那么isr(RG)=1.

證明 由引理7知R=R1⊕R2，其中2∈J(R1)和2∈U(R2)，所以 RG=R1G⊕R2G.因?yàn)閕sr(R1)=1且isr(R2)=1，由定理2 和引理3可知isr(R1G)=1且isr(R2G)=1.綜上可得，isr(RG)=1.

[1] CHEN H Y.Rings with many idempotents[J].Internat J Math Sci,1999,22 (3):547-558.

[2] LAM T Y.A first course in noncommutative rings[M].New York:Springer-Verlag,2001.

[3] PASSMAN D S.The algebraic structure of group rings[M].New York:Wiley-Interscience,1977.

[4] POLCINO MILIES C,SEHGAL S K.An introduction to group rings[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,2002.

[5] WANF Z,CHEN J L,KHURANA D,et al.Rings of idempotent stable range one[J].Algebra Represent Theory,2012,15:195-200.

[6] NICHOLSON W K.Lifting idempotent and exchange rings[J].Trans Amer Math Soc,1977,229:269-278.

[7] HAN J,NICHOLSON W K.Extensions of clean rings[J].Comm Algebra,2001,29:2589-2595.

[8] WOODS S M.Some results on semiperfect group rings[J].Can J Math,1976,26:121-129.

[9] NICHOLSON W K.Local group rings[J].Can Math Bull,1972,15:138-139.

[10] ZHOU Y Q.On clean group rings[J].Advance in Ring Theory Trends in Math,2009 (1)：335-345.

[11] CHEN J L,ZHOU Y Q.Strongly clean power series rings[J].Proc Edinb Math Soc,2007,50:73-85.

[12] CONNELL I G.On the group rings[J].Can J Math,1963,15:650-685.

(責(zé)任編輯 朱夜明)

Group rings of idempotent stable range one

GAO Yanyan

(Department of Mathematics and Physics,Nanjing Institute of Technology,Nanjing 211167,China)

An element a in a ring R is said to have idempotent stable range 1 (written isr(a) = 1) if aR+bR=R(for any b∈R) implies there exists an idempotent e∈R，such that a+beis left invertible.If isr(a) = 1 ,for all a∈R ,then R，is called to have idempotent stable range 1 (written isr(R) = 1 ).In this paper,we showed that if R was semiperfect and G was an elementary abelian p-group,then isr(RG) = 1.It was shown that if isr(R) = 1 and p∈J(G)and G was a locally finite p-group,then isr(RG) = 1.

dempotent stable range 1;group ring;p-group.

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.06.005

2015-01-11

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11301071)；江蘇省青年基金資助項(xiàng)目(BK20160771)；南京工程學(xué)院引進(jìn)人才科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(YJK201340)

高艷艷(1983-)，女，山西晉中人，南京工程學(xué)院講師，博士.

O175

A

1000-2162(2016)06-0019-05