石顥

摘 要 嫦娥三號(hào)探測(cè)器是我國歷史上第一個(gè)實(shí)現(xiàn)在月球表面軟著陸的無人登月探測(cè)器，標(biāo)志著中國成為第三個(gè)實(shí)現(xiàn)月球軟著陸的國家，是中國向航天大國邁進(jìn)的一大步。軟著陸是嫦娥三號(hào)登月過程中最復(fù)雜也是最危險(xiǎn)的一步，因此軟著陸軌道的設(shè)計(jì)與控制策略的模擬顯得尤為重要。

關(guān)鍵詞 軟著陸 最優(yōu)化控制 龍格庫塔法 動(dòng)力學(xué)方程

中圖分類號(hào)：V1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度與位置的求解

根據(jù)天體力學(xué)的相關(guān)知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行分析，嫦娥三號(hào)的軌道是極月軌道。著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)為15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)為100km，探測(cè)器在近月點(diǎn)開始減速進(jìn)入主減速階段，并通過一系列姿態(tài)調(diào)整降落在月面。

能量守恒定律：

因?yàn)橹憸?zhǔn)備軌道為極月橢圓軌道，所以近月點(diǎn)的緯度為31.4803€癗，由于忽略月球自轉(zhuǎn)，因此近月點(diǎn)經(jīng)度與著陸點(diǎn)一致。所以，近月點(diǎn)位置為（19.51€癢，31.4803€癗），根據(jù)對(duì)稱性可以知道，遠(yuǎn)月點(diǎn)位置為（160.49€癊，31.4803€癝）。

2軟著陸軌道的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型及控制策略

2.1軟著陸軌道的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

在著陸過程中，分為6個(gè)階段，分別是主減速階段、快速調(diào)整階段、粗避障階段、精細(xì)避障階段、緩速下降階段和自由落體階段。這六個(gè)階段的受力情況基本一致，所以我們先建立普遍的受力分析模型，之后再分階段討論優(yōu)化控制策略。

記推力為F，分解到水平方向Fx和豎直方向Fy，引力方向與豎直夾角為€%Z（t），與速度反方向的夾角為€%[（t），由此建立衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程：

在不同的階段，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是不變的，變化的只是初始條件和終止?fàn)顟B(tài)。

分析六段過程的初始狀態(tài)和末狀態(tài)，可以通過優(yōu)化得出對(duì)應(yīng)的角度值。

2.2各階段的控制優(yōu)化模型和求解

（1）主減速階段：在主減速階段，主要目的是最大效率的降低衛(wèi)星速度，因此我們假設(shè)衛(wèi)星以最大推力F=7500N進(jìn)行減速，因此，目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的變量就只要推力方向和速度的夾角€%[（t）。

該模型是一個(gè)無窮維的優(yōu)化問題，很難求出精確解，實(shí)際中也不要求絕對(duì)的精確解。根據(jù)該階段所處的狀態(tài)，可以大體估計(jì)出需要的時(shí)間應(yīng)在410s左右，為此，在時(shí)間段（0s，450s）內(nèi)進(jìn)行離散化，并采用四階差分迭代方法進(jìn)行求解計(jì)算，最終估計(jì)出最優(yōu)參數(shù)和最優(yōu)時(shí)間。

（2）快速調(diào)整階段：快速調(diào)整階段的初始狀態(tài)即為主減速階段的末端狀態(tài)，該階段的末端位置要求懸停在預(yù)定落點(diǎn)上空2400m處，水平速度調(diào)整為0m/s，并將主減速發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向調(diào)整到豎直向上的狀態(tài)。

由于快速調(diào)整過程的時(shí)間短，所以燃料消耗量的優(yōu)化不是主要問題，主要是給出一個(gè)可行的控制策略。為了方便計(jì)算，假設(shè)在快速調(diào)整階段末端，嫦娥三號(hào)速度為0m/s，即懸停于2400m的高度，發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向控制策略同主減速階段。

（3）粗避障階段：在粗避障階段，探測(cè)器距離月面2.4km處利用自身所攜帶的相機(jī)對(duì)正下方月面進(jìn)行拍照，獲得數(shù)字高程圖。從三個(gè)方面考慮粗避障：安全區(qū)平整度，光照條件和平移距離。

考慮日照條件，嫦娥三號(hào)在著陸區(qū)相對(duì)安全的情況應(yīng)保證充足的光照條件。太陽相對(duì)環(huán)繞為著陸點(diǎn)正上方且自東向西的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，選取著陸點(diǎn)東西方向?yàn)楹Y選軸，因?yàn)榈匦我话氵B續(xù)變形，選取1m為遍歷單位，依次連接著陸點(diǎn)o和遍歷點(diǎn)，找出傾角的最大值。左邊傾角最大處表示最后日光照射時(shí)刻，右邊最大傾角表示最初日光照射時(shí)刻，則兩條傾角線的夾角可以近似表示光照時(shí)間G（x，y）。

（4）精避障階段：精避障階段區(qū)間為30m至100m ，探測(cè)器在100m處對(duì)著陸點(diǎn)附近區(qū)域100m范圍內(nèi)拍攝圖像，并獲得三維數(shù)字高程圖。對(duì)三維數(shù)字高程圖進(jìn)行分析，避開較大的隕石坑，確定最佳著陸地點(diǎn)。在懸停狀態(tài)下，三維成像敏感器對(duì)視場(chǎng)內(nèi)的著陸區(qū)域進(jìn)行三維成像。

（5）緩速下降階段：在緩速下降階段，主要任務(wù)是控制探測(cè)器在距離月面30m至40m的區(qū)間內(nèi)逐漸減速至0m/s，即實(shí)現(xiàn)在距離月面4m處相對(duì)月面靜止，之后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)自由落體運(yùn)動(dòng)至預(yù)定著陸點(diǎn)。在這個(gè)階段中，探測(cè)器需要保持姿態(tài)豎直向下，為自由落體階段做準(zhǔn)備，因此該階段探測(cè)器的姿態(tài)穩(wěn)定性極為重要。對(duì)于該階段的最優(yōu)控制策略，我們以姿態(tài)穩(wěn)定性為優(yōu)化目標(biāo)。

（6）自由落體階段：嫦娥三號(hào)在反推火箭的作用下，距地面4m處速度為零，做自由落體運(yùn)動(dòng)，著陸在指定著陸點(diǎn)。在這個(gè)階段發(fā)動(dòng)機(jī)推力為0，切向速度和法向速度均為0。那么可以計(jì)算這個(gè)過程消耗的時(shí)間：

3結(jié)論

模型計(jì)算的整個(gè)任務(wù)時(shí)間是，與官方公布的時(shí)間接近，說明在使用這個(gè)模型是較為準(zhǔn)確的。模型運(yùn)用的數(shù)學(xué)背景和物理背景簡(jiǎn)單易懂，便于編程分析，在機(jī)載計(jì)算機(jī)計(jì)算能力有限的情況下，合理建立著陸點(diǎn)搜索模型是很關(guān)鍵的一步，也是整個(gè)任務(wù)成功的關(guān)鍵，但在建立模型的時(shí)候，參數(shù)控制簡(jiǎn)單，可能沒有兼顧或者完全符合整個(gè)嫦娥三號(hào)運(yùn)動(dòng)過程中各個(gè)參數(shù)的變化趨勢(shì)。

參考文獻(xiàn)

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