王江山

你可能曾為巴赫鋼琴曲的壯麗而震撼，為肖邦圓舞曲的清新優(yōu)雅而沉醉，為柴可夫斯基樂章的悲壯與深情而感嘆，為貝多芬交響樂的激情澎湃而心旌搖曳。

你一定也曾驚嘆過數(shù)學(xué)的縝密邏輯，那些巧妙的定理、簡潔或復(fù)雜的公式，其中都揭示著某種深刻的規(guī)律。數(shù)學(xué)如此抽象，有時候難免讓人產(chǎn)生迷惑，但也激發(fā)出人們一探究竟的樂趣。

那么，充滿激情和幻想的音樂與強調(diào)理性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)之間有什么關(guān)系呢？音樂中是否蘊含著數(shù)學(xué)知識，音樂的和諧柔美是否也隱藏著數(shù)學(xué)的奧秘呢？

畢達(dá)哥拉斯的思考：五度相生律

“do、 re、mi……”隨著這幾個簡單的音階，我們開始了人生中的第一堂音樂課。數(shù)字簡譜以1、2、3、4、5、6、7代表音階中的7個基本音階，讀音為do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。提到數(shù)學(xué)與音樂的關(guān)系，我們所能想到的第一個有關(guān)音樂與數(shù)學(xué)的結(jié)合，也許就是這7個基本音階了。你可曾想過，這些音階是按照什么規(guī)律排列的呢？

讓我們回到2500年前，追隨大名鼎鼎的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的腳步，看看他是怎么解答的吧。

據(jù)說，畢達(dá)哥拉斯曾在散步時路過一家鐵匠鋪，鐵匠鋪里傳出的叮叮當(dāng)當(dāng)?shù)那脫袈曃怂淖⒁?。他走進(jìn)去，發(fā)現(xiàn)這些美妙的聲音源于鐵錘和鐵砧的大小不一，故而發(fā)出的聲音也不同，這激發(fā)了他的思考：這些聲音的和諧與什么有關(guān)呢？

眾所周知，畢達(dá)哥拉斯開創(chuàng)了自己的數(shù)學(xué)學(xué)派，該學(xué)派信奉數(shù)是萬物的起源，因此宇宙和諧的基礎(chǔ)應(yīng)當(dāng)是完美的數(shù)的比例。而音樂之所以能給人以美的感受，很大程度上是因為它有著一種和諧。在這種意識的啟發(fā)下，畢達(dá)哥拉斯用不同的樂器做了許多實驗，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)聲音與發(fā)聲體體積有著一定的比例關(guān)系。而后，他又在琴弦上做了試驗，發(fā)現(xiàn)只要按比例劃分一根振動著的弦，就可以產(chǎn)生悅耳的音程，而它們彼此間是存在比例關(guān)系的。

那么，這個比例是多少呢？能不能通過數(shù)學(xué)的方法計算出來呢？畢達(dá)哥拉斯又進(jìn)一步進(jìn)行了實驗。經(jīng)過更多的實驗和推算，畢達(dá)哥拉斯終于發(fā)現(xiàn)，當(dāng)弦長比分別為2∶1、3∶2、4∶3時，發(fā)出的音律最為和諧，這就是我們后來所使用的五度相生律。

美的東西總是簡單而和諧的。依據(jù)五度相生律產(chǎn)生的基礎(chǔ)音階構(gòu)成的旋律，按照任意的方式組合，都有各自的美感。而將全部半音階推算出來后，旋律的緊張度和動力度會得到增強，更能產(chǎn)生旋律之間動態(tài)的美感和張力。所以，自然界需要和諧，音樂也需要和諧。

中國先賢的探索：三分損益律

德國著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨曾說過：“音樂是一種無意識的數(shù)學(xué)演算，是心靈的算術(shù)練習(xí)?！笨梢?，音樂和數(shù)學(xué)是有著內(nèi)在聯(lián)系的。我國古代著名的思想家管仲（管子）也曾認(rèn)識到數(shù)學(xué)與音樂的關(guān)系，他不僅是政治家、軍事家和思想家，還有很高的音樂修養(yǎng)，被后人稱為我國“音律學(xué)之祖”。

《管子·地員篇》里曾記載：“凡將起五音，凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是生黃鐘小素之首，以成宮。三分而益之以一，為百有八，為徵。不無有三分而去其乘，適足，以是生商。有三分而復(fù)干其所，以是生羽。有三分去其乘，適足，以是成角?！边@篇文章中記載的宮、商、角、徵、羽就是我國古代的五音階。

那么，管仲又是如何確定宮、商、角、徵、羽這五音階的呢？他首先將一個弦的長度定為基音，而后將它三等分，增加一份（益一）或去掉一份（損一），就可以定出另一個音律的長度。以此類推，直到獲得比基音高出一倍或低一半的音，最后就可以得到五音階。這種樂理又被后人稱為“三分損益律”，是我國古代音樂的重要成就，為我國古代音樂發(fā)展史做出了很大的貢獻(xiàn)。

用這種方法產(chǎn)生的律被稱為“純律”，純律各音之間有最小的整數(shù)比關(guān)系，因此人們覺得純律的音色聽起來最為純凈。如今，純律主要在無伴奏的合唱中使用，人們一般認(rèn)為中國的古琴應(yīng)用了純律。從中我們也可以看出，只有當(dāng)兩音的音程關(guān)系符合泛音列中占優(yōu)勢的音程關(guān)系時，才會使人感到音樂的美妙。音樂能夠反映出宇宙本質(zhì)的數(shù)理關(guān)系，還能夠體現(xiàn)出宇宙根本規(guī)律的和諧。

五度相生律和三分損益律在生律法原則上是一致的，它們生律的結(jié)果也是相同的。由此可見，無論是東方還是西方，先哲們都是從悠揚的樂聲中認(rèn)識到了數(shù)學(xué)的存在，他們發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律也間接地促進(jìn)了音樂的發(fā)展。

尋找最美的音符：音樂中的黃金分割

提到黃金分割，大家都不陌生。0.618這個奇妙的數(shù)值總令人產(chǎn)生無限的遐想，從貝類動物身上的神秘螺線到金字塔的邊線角度，從人體的和諧線條到無機(jī)物質(zhì)的原子排列，這個神秘的比例在生活中隨處可見。那么，當(dāng)黃金分割理論被應(yīng)用于音樂中，又會碰撞出怎樣的火花呢？

許多作曲家有意或無意地把黃金分割理論運用到音樂中，這成了他們作品歷久彌新的法寶。許多樂曲都是一段式、二段式、三段式或五段回旋式，而黃金分割比例與音樂中的高潮位置有密切的關(guān)系。例如在《夢幻曲》中，全曲共分為6句、24小節(jié)，按照黃金分割率計算的話，高潮將在第14小節(jié)（24×0.618≈14.83）出現(xiàn)，而這與實際情況完全符合。

更典型的例子是莫扎特的《D大調(diào)奏鳴曲》，它的第一樂章全長160小節(jié)，若用小節(jié)數(shù)乘以黃金分割比值，即160×0.618=98.88，而曲子的再現(xiàn)部位恰恰位于第99小節(jié)，正好在黃金分割點上。也許是有意為之，也許是天賦的自然流淌，莫扎特的大部分鋼琴曲中都應(yīng)用了這個方法，以至于有人評價他：“我們應(yīng)當(dāng)知道，創(chuàng)作這些不朽作品的莫扎特也是一位喜歡數(shù)字的天才，莫扎特是懂得黃金分割，并有意識地運用它的?！?/p>

如果大家仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn)，許多優(yōu)秀歌曲的高潮部分一般也會出現(xiàn)在黃金分割點上。這一點不僅在古典音樂中得到充分的展示，在流行歌曲中也可以找到痕跡，許多歌曲的主歌和高潮部分都落在這個神秘的點上。

西爾弗斯特曾說過：“難道不可以把音樂描繪成感覺的數(shù)學(xué)，而把數(shù)學(xué)描繪成理性的音樂嗎？這樣，音樂家感覺到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)家想到音樂，每一方都經(jīng)由對方達(dá)到盡善盡美的境地?！睕]想到吧，音樂與數(shù)學(xué)的結(jié)合竟然如此奇妙，偉大的藝術(shù)中常常棲居著科學(xué)的秘密。

音樂是人類靈魂的酣暢釋放，是感性思維中最唯美的表達(dá)；數(shù)學(xué)是以數(shù)字為基本符號的排列組合，是理性思維最深刻的表現(xiàn)。然而，在更抽象的層面上，二者之間存在著緊密的聯(lián)系。正如德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨所說：“音樂是數(shù)學(xué)在靈魂中無意識的運算?！币魳氛缬星榫w的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)就像最純粹的音樂。樂音激蕩，數(shù)字翩躚，音樂與數(shù)學(xué)恰似人類心智開出的兩朵玫瑰。那么，就讓我們沉醉其中，縱情感受它們的魅力吧！