王　蒙，趙建平，楊恒耀

（曲阜師范大學(xué) 物理工程學(xué)院，山東 曲阜 273165）

一種變步長(zhǎng)凸組合自適應(yīng)濾波算法及其性能分析*

王蒙，趙建平，楊恒耀

（曲阜師范大學(xué) 物理工程學(xué)院，山東 曲阜 273165）

為了進(jìn)一步解決收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，提高自適應(yīng)濾波算法性能，將變步長(zhǎng)算法引入到凸組合自適應(yīng)濾波算法（CLMS）中，提出了一種新的變步長(zhǎng)凸組合最小均方算法（NVSCLMS）。該算法用一種基于塊步長(zhǎng)思想的變步長(zhǎng)算法代替原CLMS算法中的快速收斂算法。通過理論推導(dǎo)和仿真對(duì)比分析：提出的算法提高了CLMS算法的靈活性和實(shí)用性，且在收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤性三個(gè)方面展現(xiàn)出優(yōu)于變步長(zhǎng)算法、CLMS算法和已提出變步長(zhǎng)凸組合算法的濾波效果。

自適應(yīng)濾波；CLMS；變步長(zhǎng)算法；塊步長(zhǎng)；NVSCLMS

近年來，利用并行思想提出了凸組合最小均方［2-3］（Convex Combination of Least Mean Square，CLMS）算法，進(jìn)一步優(yōu)化了單一變步長(zhǎng)LMS算法的性能。該算法是將兩個(gè)不同迭代步長(zhǎng)的LMS算法濾波器（快速濾波器和慢速濾波器）進(jìn)行并聯(lián)，通過聯(lián)合參數(shù)進(jìn)行控制：算法收斂初期，快速濾波器起主要作用，以達(dá)到快速收斂的目的；等進(jìn)入穩(wěn)定階段，慢速濾波器起主要作用，使總的穩(wěn)態(tài)誤差降低。但是，不同迭代步長(zhǎng)的并行計(jì)算往往對(duì)算法參數(shù)的要求比較精確，而且不利于濾波器在噪聲環(huán)境中保持良好的性能。同時(shí)，對(duì)于時(shí)變環(huán)境，CLMS算法還存在一定不足。因此，本文在原有CLMS算法的基礎(chǔ)上，用一個(gè)基于塊步長(zhǎng)思想的變步長(zhǎng)LMS算法［4］去替代CLMS算法中的步長(zhǎng)較大的快速收斂算法。這樣在提高收斂速度、降低穩(wěn)態(tài)誤差的前提下，增強(qiáng)了算法的跟蹤性能，同時(shí)提高了CLMS算法的應(yīng)用空間。

1　CLMS算法的介紹

CLMS算法的核心思想：利用并行思想將兩個(gè)相互獨(dú)立的LMS濾波器并聯(lián)，并將兩個(gè)濾波器分別設(shè)為快速濾波器和慢速濾波器（為了討論方便，本文將第一個(gè)LMS濾波器看作是快速濾波器），最終通過聯(lián)合參數(shù)λ（n）協(xié)調(diào)兩個(gè)LMS濾波器的權(quán)重，使整個(gè)CLMS算法既可以通過快速濾波器達(dá)到快速收斂的效果，也可以通過慢速濾波器得到較小的穩(wěn)態(tài)誤差。整個(gè)濾波過程可發(fā)揮不同濾波器的優(yōu)勢(shì)，達(dá)到快速穩(wěn)定的工作效果。

CLMS濾波器原理示意圖如圖1所示。

圖1　CLMS濾波器的原理

對(duì)于單個(gè)的LMS濾波器，工作原理如下：

其中，i=1,2。

對(duì)于組合濾波器，等效輸出和等效誤差為：

算法初期，λ（n）取值從1開始逐漸變小，此時(shí)快速濾波器起主要作用，以提高收斂速度。隨著迭代的進(jìn)行，λ（n）逐漸變小至0，慢速濾波器起主要作用，以降低整個(gè)濾波器的穩(wěn)態(tài)誤差。運(yùn)算中，通常不直接調(diào)整聯(lián)合參數(shù)λ（n），而是根據(jù)Sigmoid函數(shù)定義變量a（n）來控制聯(lián)合參數(shù)，從而控制組合濾波器的工作。因此，聯(lián)合參數(shù)λ（n）∈［0,1］定義為：

參數(shù)a（n）以最小均方誤差為準(zhǔn)則，采用最速下降法來調(diào)整，使組合濾波器的誤差平方最小。因此，a（n）的更新公式如下：

其中μa為算法的步長(zhǎng)因子。

2　NVSCLMS算法

2.1VSCLMS算法的提出

雖然CLMS算法在一定程度上提高了變步長(zhǎng)LMS算法的性能，但是在某些方面仍然存在不足：①CLMS算法是兩個(gè)LMS算法的并行計(jì)算，往往對(duì)算法參數(shù)的要求比較精確，因此CLMS算法對(duì)于λ（n）過于依賴；②兩個(gè)固定步長(zhǎng)LMS算法組成的CLMS，在噪聲環(huán)境中無法保持良好的性能；③對(duì)于時(shí)變環(huán)境，CLMS算法靈活性和跟蹤性較差。

針對(duì)CLMS算法體現(xiàn)的不足，部分學(xué)者將變步長(zhǎng)思想引入到CLMS算法，提出了VSCLMS算法。VSCLMS算法即在CLMS算法的基本原則下，用變步長(zhǎng)LMS算法代替原CLMS算法中較大步長(zhǎng)LMS算法，以提高算法的靈活性和抗干擾性，同時(shí)不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。文獻(xiàn)［5-7］所提出的算法，就是分別將基于Sigmoid函數(shù)、洛倫茲函數(shù)、雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)函數(shù)帶入到CLMS算法中的VSCLMS算法。

2.2NVSCLMS算法的提出及性能分析

本文遵循這一思想提出一種新型變步長(zhǎng)CLMS算法（文中稱為NVSCLMS算法）。將帶有塊步長(zhǎng)思想的基于Sigmoid函數(shù)的變步長(zhǎng)LMS算法引入CLMS算法。變步長(zhǎng)LMS算法迭代步長(zhǎng)為：

其中eav（n）是根據(jù)文獻(xiàn)［4］提及的塊步長(zhǎng)思想而設(shè)計(jì)的誤差平均量，更新公式如下：

與其他變步長(zhǎng)LMS算法相同，新算法必須滿足α＞0，0＜β＜μmax的收斂條件。

NVSCLMS算法的性能分析可以從以下兩方面展開。

第一，對(duì)于CLMS算法的性能分析，文獻(xiàn)［2］和文獻(xiàn)［3］進(jìn)行了詳細(xì)闡述。VSCLMS算法作為CLMS算法的延伸，具有類似CLMS算法的性能。

對(duì)于NVSCLMS算法，其變步長(zhǎng)迭代規(guī)則為：

第二，將NVSCLMS算法中引入塊步長(zhǎng)思想的變步長(zhǎng)LMS算法（文本稱為NVSLMS算法）與固定步長(zhǎng)LMS算法、文獻(xiàn)［5］中VSCLMS算法提及的變步長(zhǎng)LMS算法（本文稱為VSLMS算法）進(jìn)行仿真比較。

將3種算法在同一系統(tǒng)辨識(shí)模型中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)：在信噪比為20 dB的情況下，假設(shè)未知系統(tǒng)為8階橫向?yàn)V波器，抽頭系數(shù)Hn=［0.878 3,-0.580 6,0.653 7,-0.322 3,0.657 7,-0.058 2,0.289 5,-0.271 0］。當(dāng)更新至600次時(shí)發(fā)生突變，抽頭系數(shù)Hn=［0.653 7, -0.322 3,0.657 7,-0.058 2,0.289 5,-0.271 0,0.127 8, -0.150 8］，再進(jìn)行600步更新。固定步長(zhǎng)LMS算法的參數(shù)：μ=0.01。VSLMS算法和NVSLMS算法的參數(shù)均為β=0.08，α=0.8。學(xué)習(xí)曲線如圖2所示。

圖2　三種LMS算法學(xué)習(xí)曲線比較

通過以上單一LMS濾波器的仿真對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，在不改變穩(wěn)態(tài)誤差的前提下，NVSLMS算法無論是在收斂速度還是跟蹤性能方面，都相對(duì)于固定步長(zhǎng)LMS算法和文獻(xiàn)［5］中提到的VSLMS算法有較大程度的提高。因此，將NVSLMS算法引入CLMS，將會(huì)有效改善CLMS算法和文獻(xiàn)［5］提出VSCLMS算法所出現(xiàn)的不足。

3　NVSCLMS算法在系統(tǒng)辨識(shí)系統(tǒng)中的應(yīng)用分析

所謂系統(tǒng)辨識(shí)就是根據(jù)系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)，建立系統(tǒng)模型的理論和方法。當(dāng)給定一個(gè)未知的系統(tǒng)時(shí)，自適應(yīng)濾波器通過各種算法逼近這個(gè)系統(tǒng)；當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)即是未知系統(tǒng)的系數(shù)，從而達(dá)到系統(tǒng)辨識(shí)的目的。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出算法與其他算法相比具有良好的性能，現(xiàn)在系統(tǒng)辨識(shí)的應(yīng)用中，將本文提出算法同CLMS算法、文獻(xiàn)［5］提出的VSCLSM算法進(jìn)行比較。在信噪比為20 dB的情況下，假設(shè)未知系統(tǒng)為8階橫向?yàn)V波器，抽頭系數(shù)Hn=［0.878 3, -0.580 6,0.653 7,-0.322 3,0.657 7,-0.058 2,0.289 5, -0.271 0］；當(dāng)更新至600次時(shí)發(fā)生突變，抽頭系數(shù)Hn=［0.653 7,-0.322 3,0.657 7,-0.058 2,0.289 5,-0.271 0,0.127 8,-0.150 8］，再進(jìn)行600步更新。每種算法進(jìn)行200次獨(dú)立仿真，求取統(tǒng)計(jì)平均值進(jìn)行比較。同時(shí)，為能客觀比較系統(tǒng)性能，各種算法均取其他文獻(xiàn)中討論過的相對(duì)最優(yōu)參數(shù)。CLMS算法中，μ1=0.08，μ2=0.01，μa=200；文獻(xiàn)［5］提出的VSCLMS算法中，β=0.08，α=0.8，μ2=0.01，μa=200；本文提出算法同樣取，β=0.08，α=0.8，μ2=0.01，μa=200。于是，得出對(duì)比學(xué)習(xí)曲線如圖3所示。

圖3　NVSCLMS算法與其他算法對(duì)比學(xué)習(xí)曲線比較

由圖3可以得出，在NVSCLMS算法中，快速濾波器步長(zhǎng)上限取0.08（CLMS算法中快速濾波器步長(zhǎng)）的情況下，與CLMS算法比較，收斂速度方面并沒有明顯差距，但在均方誤差上有顯著提高。此時(shí)，若改變快速濾波器收斂上限，必將獲得比CLMS算法更快的收斂速度。因此，NVSCLMS算法與CLMS算法相比，收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤性能三個(gè)方面都有很大提高。與文獻(xiàn)［5］中提出的VSCLMS算法相比較，在穩(wěn)態(tài)誤差基本相同的情況下，NVSCLMS算法在收斂速度和跟蹤性能有大幅度提升。

4　結(jié) 語

NVSCLMS算法在不改變?cè)蠧LMS算法的基礎(chǔ)上，將帶有塊步長(zhǎng)思想的變步長(zhǎng)LMS算法帶入CLMS算法中替代原有的快速收斂LMS算法，使得CLMS算法能夠根據(jù)收斂進(jìn)程及環(huán)境變化的要求隨時(shí)調(diào)整步長(zhǎng)，增強(qiáng)了濾波器的靈活性和實(shí)用性。通過理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)，將NVSCLMS算法與VSCLMS算法和固定步長(zhǎng)CLMS算法相比較發(fā)現(xiàn)，NVSCLMS算法不僅有較快的收斂速度，還降低了穩(wěn)態(tài)誤差，在跟蹤性能上也明顯優(yōu)于已提出的變步長(zhǎng)凸組合算法?？梢?，本文提出的NVSCLMS算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間找到了一個(gè)新的調(diào)和點(diǎn)，從而促使濾波器取得了更好的濾波效果。

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［4］ 張炳婷，趙建平，馬淑麗.新的變步長(zhǎng)LMS算法在系統(tǒng)辨識(shí)中的應(yīng)用［J］.通信技術(shù)，2015，48（06）:653-656. ZHANG Bing-ting，ZHAO JIAN-ping，MA Shuli.Application of Novel Variable Step Size LMS Algorithm in System Identification［J］.Communication Technology，2015，48（06）:653-656.

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王 蒙（1990—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闊o線通信技術(shù)；

趙建平（1964—），男，學(xué)士，教授，主要研究方向?yàn)闊o線通信技術(shù)；

楊恒耀（1990—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闊o線通信技術(shù)。

Variable Step-size Convex-combination Adaptive Algorithm and Its Performance Analysis

WANG Meng， ZHAO Jian-ping， YANG Heng-yao
（College of Physics Engineering， Qufu Normal University， Qufu Shandong 273165， China）

For further solving the contradiction of between the convergence speed and the steady-state error， and for improving the performance of adaptive filtering algorithm， the variable step size algorithm is introduced into the convex-combination adaptive filtering algorithm （CLMS）， and thus a new variable step-size convex-combination least-mean-square （VSCLMS） algorithm is proposed. The algorithm， with a variable step size algorithm based on block step size， replaces the fast convergence algorithm in the original CLMS algorithm. Theoretical derivation and simulation analysis indicate that the proposed algorithm could improve the flexibility and practicability of the CLMS algorithm， and exhibits much better filtering effect than other variable step size algorithms， CLMS algorithm and proposed VSCLMS algorithm in the three aspects of convergence speed， steady state error and tracking performance.

adaptive filtering； CLMS； variable step-size algorithm； block step-size； NVSCLMS

0　引 言

最小均方誤差（LMS）算法是Windrow和Hoff在1960年提出的一種建立在維納濾波理論上的算法。它以最小均方誤差為準(zhǔn)則，通過最速下降法來獲得最優(yōu)維納解［1］。它的主要過程是通過調(diào)節(jié)自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)，使濾波器輸出信號(hào)與期望信號(hào)之間誤差的均方最小。由于LMS算法計(jì)算量小、魯棒性高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于實(shí)現(xiàn)和控制等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用在通信領(lǐng)域的回波消除、信道自適應(yīng)均衡、噪聲中信號(hào)追蹤、系統(tǒng)模型識(shí)別等方面。步長(zhǎng)選擇在LMS算法中起著十分重要的作用：大步長(zhǎng)意味著快速收斂，但帶來了較大的穩(wěn)態(tài)誤差；小步長(zhǎng)可以滿足較小的穩(wěn)態(tài)誤差，但是嚴(yán)重影響收斂速度。因此，現(xiàn)有的固定步長(zhǎng)LMS很難同時(shí)獲得較快的收斂速度及較低的穩(wěn)態(tài)誤差。為了解決兩者的矛盾，許多變步長(zhǎng)LMS算法先后被提出，其中比較具有代表性的算法有改進(jìn)的Sigmoid函數(shù)變步長(zhǎng)LMS算法（SVSLMS）、歸一化最小均方誤差算法（NLMS）、指數(shù)因子變步長(zhǎng)算法等。它們遵循的原理：在算法收斂初期選擇較大的步長(zhǎng)以獲得較快的收斂速度，當(dāng)進(jìn)入收斂穩(wěn)態(tài)階段，選用較小的步長(zhǎng)來獲得較低的穩(wěn)態(tài)誤差。變步長(zhǎng)LMS算法雖然通過對(duì)算法步長(zhǎng)的控制使收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差基本都能滿足實(shí)際應(yīng)用的要求，但其對(duì)兩種性能都有些許折中，在一定程度上限制了自適應(yīng)濾波的性能。

National Natural Science Foundation of China（No.11404185）；Supported by the science and technology projectof higher education of Shandong province（No.J12LN08）；Qufu Normal University technology development project（No.hxkj2015017）

TN713

A

1002-0802（2016）-10-1301-05

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.10.007

2016-06-08；

2016-09-23

data:2016-06-08；Revised data:2016-09-23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.11404185）；山東省高等學(xué)?？萍加?jì)劃項(xiàng)目資助（No.J12LN08）；曲阜師范大學(xué)技術(shù)開發(fā)項(xiàng)目（No.hxkj2015017）