劉浩宇，唐友剛，王 賓，黃 印

（1.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津 300072；2.天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072）

水下桿狀結(jié)構(gòu)三維振動(dòng)數(shù)值模擬

劉浩宇1，2，唐友剛1，2，王 賓1，2，黃 印1，2

（1.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津 300072；2.天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072）

本文研究柔性桿狀在渦激-參激聯(lián)合作用下的三維振動(dòng)響應(yīng)特性問題?；贖amilton原理，建立了柔性桿的三維振動(dòng)模型，考慮 Morison力、渦激升力以及頂端變張力，對結(jié)構(gòu)的渦激振動(dòng)和參激-渦激聯(lián)合振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬。針對振動(dòng)方程，首先借助有限差分法和Runge-Kutta方法對方程進(jìn)行數(shù)值求解，求得結(jié)構(gòu)的三維振動(dòng)響應(yīng)，繪制了各自由度振動(dòng)的時(shí)歷曲線、相平面圖、龐加萊截面圖以及能量頻譜，研究了參激-渦激聯(lián)合振動(dòng)情況下，桿件的非線性振動(dòng)特性。

參激-渦激；耦合分析；非線性振動(dòng)

引 言

細(xì)長柔性桿狀結(jié)構(gòu)被廣泛的應(yīng)用于海洋工程領(lǐng)域，常見的包括深海立管、TLP平臺的張力腱等。對該類結(jié)構(gòu)的研究中，渦激振動(dòng)和參激振動(dòng)尤其吸引了研究者的注意。

柔性桿在流場中，會(huì)與尾流產(chǎn)生相互作用，在橫流方向產(chǎn)生渦激振動(dòng)。當(dāng)渦激振動(dòng)頻率接近柔性桿振動(dòng)固有頻率時(shí)，會(huì)引起大幅的諧振，即“鎖定效應(yīng)”，這類問題已經(jīng)被廣泛關(guān)注和研究［1～3］。Dong Y.Q.曾研究了波流聯(lián)合作用下的張力腿渦激非線性振動(dòng)［4］，并分析了渦激頻率接近張力腿固有頻率時(shí)，張力腿振動(dòng)的穩(wěn)定性問題［5］，研究表明，隨著阻尼和升力系數(shù)的減小，系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定，結(jié)果中出現(xiàn)多解區(qū)域，并伴隨有跳躍現(xiàn)象。

當(dāng)柔性桿頂端邊界條件發(fā)生變化時(shí)，會(huì)受到軸向動(dòng)力激勵(lì)，稱為參數(shù)激勵(lì)。Patel研究了軸向力和平臺深沉同時(shí)作用下，張力腿的振動(dòng)響應(yīng)和穩(wěn)定性問題［6，7］，研究表明在參數(shù)激勵(lì)下，張力腿振動(dòng)幅值增加，Mathieu不穩(wěn)定區(qū)域擴(kuò)大。Song.L使用頻域方法研究了因軸向變張力和隨機(jī)波浪力共同作用下立管的橫向振動(dòng)［8］，發(fā)現(xiàn)平臺垂蕩振動(dòng)的頻率和幅值均會(huì)對立管的波浪激勵(lì)響應(yīng)產(chǎn)生影響。

當(dāng)渦激振動(dòng)與參激振動(dòng)同時(shí)發(fā)生時(shí)，會(huì)引起新的動(dòng)力學(xué)問題［9，10］。Chatjigeorgiou建立了軸向與橫向的耦合方程，將軸向振動(dòng)簡化為簡諧參數(shù)激勵(lì)，研究了橫向振動(dòng)的穩(wěn)定性問題［11］，發(fā)現(xiàn)參數(shù)激勵(lì)會(huì)導(dǎo)致立管橫向振動(dòng)進(jìn)入耦合不穩(wěn)定區(qū)域，即使加入非線性阻尼，也無法阻止參數(shù)激勵(lì)引起的耦合不穩(wěn)定的發(fā)生。Chatjigeorgiou針對渦激載荷頻率是橫向一階固有頻率的二倍，使用多尺度方法以及數(shù)值解法兩種算法求解模型［12］，研究了一次和二次阻尼成分的影響。

目前針對細(xì)長柔性桿狀結(jié)構(gòu)的研究，大都使用單自由度模型，將邊界運(yùn)動(dòng)以及頂張力簡化為簡諧參數(shù)項(xiàng)加在柔性桿橫向振動(dòng)方程中，不考慮柔性桿的軸向和迎流向振動(dòng)隨時(shí)間的變化。而事實(shí)上，柔性桿狀結(jié)構(gòu)由于軸向剛度較低，其軸向振動(dòng)不可忽略［13，14］。本文基于 Han等［15］的工作，建立了細(xì)長柔性桿狀結(jié)構(gòu)三維振動(dòng)方程，研究了頂端參數(shù)激勵(lì)對結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅值、振動(dòng)狀態(tài)的影響和非線性特性，并開展實(shí)驗(yàn)對理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 理論模型推導(dǎo)

本文采用 Han提出的理論模型［15］，并針對工程實(shí)際進(jìn)行修改，如圖1所示：將柔性桿等效為柔性等截面梁，長度為 L。柔性桿頂端受到x方向張力NT=N0+N，用于模擬參激作用，柔性桿底端與海底鉸接。

圖1 柔性桿理論模型

得到振動(dòng)方程：

式中：ρ為柔性桿密度；A為橫截面面積；IZ和IY為慣性矩；EA為軸向剛度；EI為彎曲剛度；u..為u對時(shí)間t的二次導(dǎo)數(shù)；u＇、u＇＇和u＇＇＇＇為u對桿長l的一次、二次和四次導(dǎo)數(shù)。

滿足的邊界條件如下：

式中：N0為預(yù)張力，相應(yīng)的預(yù)應(yīng)變用0ε表示；N為動(dòng)張力。

本文采用有限差分法將式（3）在空間上離散，得到對時(shí)間 t的常微分方程組，考慮邊界條件式（2）～（6），利用4階Runge-Kutta法求解振動(dòng)響應(yīng)。

2 算例分析

本文算例如圖 2，該圖為桿件受力示意，流場沿y軸負(fù)方向，流速為U；重力沿z軸負(fù)方向，頂端受到動(dòng)張力NT。

圖2 柔性桿受力示意

采用Morison方程來表示流場在y方向產(chǎn)生的非線性力：

柔性桿z向的渦激升力：

式中：CL為渦激升力系數(shù)，這里取0.3；ωvor為渦泄頻率，滿足，St為斯特羅哈爾數(shù)，取0.2；φ取180°。

柔性桿x向不受到沿管長方向的分布力，有：

桿件參數(shù)見表1。

表1 柔性桿參數(shù)

表1中：Nc為參激力幅值；f為參激頻率。

計(jì)算工況如表2，共5組。

表2 實(shí)驗(yàn)和計(jì)算工況

工況1和2不包含參數(shù)激勵(lì)，通過對兩個(gè)結(jié)果的對比，研究流速對渦激振動(dòng)的影響。需要注意的是，流速為0.5 m/s時(shí)，渦激頻率接近模型z向振動(dòng)的固有頻率，所以該流速下，柔性桿受“鎖定”效應(yīng)影響。工況 3在工況 1的基礎(chǔ)上，增加參數(shù)激勵(lì)，通過兩者的對比，可以得到參激作用對柔性桿渦激振動(dòng)的影響。而工況4和5針對工況3分別改變了參激幅值和參激頻率，用以研究兩個(gè)參數(shù)的變化對參激-渦激聯(lián)合振動(dòng)的影響。

2.1 流速對柔性桿渦激振動(dòng)的影響

根據(jù)數(shù)值模擬，預(yù)張力100 N，流速0.5 m/s與0.8 m/s下，柔性桿中點(diǎn)渦激力方向（z向）位移時(shí)歷曲線如圖 3。從圖中可以看到，流速為 0.5 m/s時(shí)，柔性桿在“鎖定”效應(yīng)影響下，中點(diǎn)位移較大，且表現(xiàn)出單頻振動(dòng)特性，2倍頻成分不明顯，而在流速0.8 m/s下，兩個(gè)頻率成分均凸顯。

圖3 渦激z向時(shí)歷曲線（NT=N0，U=0.5 m/s和U=0.8 m/s）

柔性桿中點(diǎn)渦激z向位移能量頻譜如圖4。從圖4（a）中可以看到，流速為0.5 m/s時(shí)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量在時(shí)存在峰值，該頻率振動(dòng)由渦激力引起。在處同樣出現(xiàn)峰值，這是由于柔性桿振動(dòng)方程中包含二次非線性，導(dǎo)致振動(dòng)響應(yīng)出現(xiàn)倍頻成分。圖4（b）中，流速為 0.8 m/s，結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量在及時(shí)存在峰值，說明隨著流速的增加、結(jié)構(gòu)渦激振動(dòng)不再被“鎖定”，結(jié)構(gòu)仍對渦激激勵(lì)產(chǎn)生倍頻響應(yīng)。

另外，對比圖4（a）和圖4（b）還可以發(fā)現(xiàn)，流速為0.5 m/s時(shí)，兩個(gè)峰值相差較大，這說明由于“鎖定”效應(yīng)的存在，能量成分中渦激振動(dòng)占主要地位。流速增大到 0.8 m/s時(shí)，振動(dòng)脫離“鎖定”區(qū)域，能量譜中兩個(gè)峰值極為相近，說明“鎖定”效應(yīng)不再明顯時(shí)，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出強(qiáng)非線性，倍頻響應(yīng)不可忽略。

圖4 中點(diǎn)z向位移能量頻譜

各振動(dòng)成分能量峰值隨流速的變化曲線如圖5。從圖中可以看到，流速處于0.2 m/s到0.7 m/s之間時(shí)，渦激振動(dòng)能量峰值較大，說明該流速范圍屬于“鎖定”區(qū)域。注意到，倍頻激勵(lì)也存在類似的“2倍頻鎖定”區(qū)域（0.3～0.5 m/s），在該區(qū)域內(nèi)，柔性桿渦激振動(dòng)占主要作用，2倍頻振動(dòng)可以忽略，流速離開這個(gè)區(qū)域后，2倍頻成分作用凸顯，其影響不可忽略。

圖5 能量峰值隨參激頻率變化曲線

2.2 參激力對柔性桿渦激振動(dòng)的影響

預(yù)張力100 N，流速0.5 m/s，有/無軸向參數(shù)激勵(lì)情況下，柔性桿中點(diǎn)渦激z向位移時(shí)歷曲線如圖6，存在參數(shù)激勵(lì)時(shí)，振動(dòng)幅值有所增加。

圖6 中點(diǎn)位移時(shí)歷曲線

圖7 中點(diǎn)z向位移能量頻譜

流速0.5 m/s，頂端軸向張力為NT=20cos（2π×3t）+N0，柔性桿中點(diǎn)渦激z向位移能量頻譜如圖 7。從圖中可以看到，能量譜存在多個(gè)頻率成分：位移能量譜在和時(shí)存在幅值，說明柔性桿對渦激激勵(lì)產(chǎn)生渦激響應(yīng)和二倍頻響應(yīng)；位移能量譜在處存在峰值，該頻率恰好為參激頻率，說明該成分振動(dòng)是由參數(shù)激勵(lì)引起。

2.3 參激幅值和頻率對柔性桿渦激振動(dòng)的影響

預(yù)張力100 N，流速0.5 m/s，不同參激頻率和不同參激幅值下，柔性桿中點(diǎn)渦激z向位移時(shí)歷曲線如圖8。從圖8（a）中可以看到，不同參激頻率下，振動(dòng)位移均為0.036 m，變化不大。圖8（b）中可以看到，隨著參激幅值的增加，z向振幅隨著增加。

圖8 中點(diǎn)應(yīng)力時(shí)歷曲線

預(yù)張力100 N，流速0.5 m/s，參激頻率1 Hz（頂端張力NT=20cos（2πt×1）+N0）和參激幅值30 N（頂端張力NT=30cos（2πt×3）+N0）情況下，柔性桿中點(diǎn)渦激z向能量頻譜如圖9。從圖中可以看到，參激頻率和幅值發(fā)生改變后，柔性桿仍存在著倍頻響應(yīng)和組合諧振。

圖9 中點(diǎn)z向位移能量頻譜

預(yù)張力100 N，流速0.5 m/s，在不同參激頻率下（頂端張力NT=20cos（2πt×variable）+N0），各振動(dòng)成分能量峰值隨頻率變化曲線如圖10。從圖中可以看到，渦激激勵(lì)和2倍頻激勵(lì)的幅值隨參激頻率改變很小。其他各振動(dòng)成分的能量峰值隨參激頻率發(fā)生變化，參數(shù)激勵(lì)和組合激勵(lì)，尤其是和頻激勵(lì)，僅存在于低頻范圍內(nèi)，當(dāng)參激頻率增大到8 Hz后，與參激相關(guān)的各振動(dòng)成分不再起作用。

圖10 能量峰值隨參激頻率變化曲線

預(yù)張力100 N，流速0.5 m/s，在不同參激幅值下（頂端張力NT=variable×cos（2πt×3）+N0），各振動(dòng)成分能量峰值隨參激幅值變化曲線如圖11。從圖中可以看到，渦激激勵(lì)和2倍頻激勵(lì)的幅值隨參激幅值改變很小。其他各振動(dòng)成分的能量峰值隨參激幅值發(fā)生變化，參數(shù)激勵(lì)和組合激勵(lì)，隨著參數(shù)激勵(lì)幅值的增大而增大，當(dāng)參激幅值達(dá)到 3 N時(shí)，參數(shù)激勵(lì)成分凸顯，差頻激勵(lì)在參激幅值為4 N時(shí)出現(xiàn)，而和頻激勵(lì)在參激幅值達(dá)到15 N時(shí)才出現(xiàn)。

圖11 能量峰值隨參激頻率變化曲線

3 結(jié) 論

本文分析了柔性桿渦激振動(dòng)性特性，以及參數(shù)激勵(lì)對渦激振動(dòng)的影響。針對不同的參數(shù)影響，設(shè)計(jì)了5組工況，分別計(jì)算了每組工況下，柔性桿模型中點(diǎn)應(yīng)變的時(shí)歷曲線，并求取了其能量頻譜。通過不同工況下應(yīng)變幅值以及能量譜峰的相互對比，研究了流速、參激頻率和幅值對柔性桿渦激振動(dòng)幅值和振動(dòng)特性的影響。研究表明：

1）由于結(jié)構(gòu)的非線性，柔性桿會(huì)在對渦激力產(chǎn)生2倍頻響應(yīng)。

2）當(dāng)渦激頻率接近柔性桿z向固有頻率時(shí)，柔性桿發(fā)生渦激共振。當(dāng)流速增加，渦激頻率增大后，渦激頻率離開“鎖定”區(qū)域時(shí)，柔性桿振幅減小，倍頻響應(yīng)效應(yīng)更加明顯。

3）頂端簡諧參數(shù)激勵(lì)會(huì)引起柔性桿振幅的增加，且振幅隨著參激幅值的增加而增加。

4）參數(shù)激勵(lì)幅值和頻率的改變，對渦激振動(dòng)和2倍頻振動(dòng)影響不大。

5）柔性桿同時(shí)受到參數(shù)激勵(lì)和渦激力作用時(shí)，渦激力和參激力會(huì)以組合的形式，激發(fā)柔性桿的和頻和差頻響應(yīng)。

6）和頻和差頻振動(dòng)僅在參數(shù)激勵(lì)達(dá)到一定強(qiáng)度時(shí)才出現(xiàn)，本實(shí)驗(yàn)中，差頻振動(dòng)在參激幅值達(dá)到預(yù)張力的 4 %時(shí)會(huì)出現(xiàn)，而和頻振動(dòng)需要達(dá)到15 %，隨著參數(shù)激勵(lì)幅值的增加，參激振動(dòng)、和頻振動(dòng)和差頻振動(dòng)逐漸增強(qiáng)。

7）和頻和差頻振動(dòng)僅在低頻的參數(shù)激勵(lì)時(shí)出現(xiàn)，本實(shí)驗(yàn)中，只有參激頻率小于3 Hz時(shí)，才存在和頻振動(dòng)，小于6 Hz時(shí)，存在差頻振動(dòng)。

［1］Williamson C H K，Govardhan R.Vortex-Induced Vibrations［J］.Annual Review of Fluid Mechanics，2004，36（1）：413-455.

［2］Gabbai R D，Benaroya H.An overview of modeling and experiments of vortex-induced vibration of circular cylinders［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，282（3-5）：575-616.

［3］Bearman P W.Circular cylinder wakes and vortex-induced vibrations［J］.Journal of Fluids and Structures，2011，27（5-6）：648-658.

［4］Dong Y，Lou J.Vortex-induced nonlinear oscillation of tension leg platform tethers［J］.Ocean engineering，1991，18（5）：451-464.

［5］Dong Y，Xie G，Lou J.Stability of vortex-induced oscillations of tension leg platform tethers［J］.Ocean engineering，1992，19（6）：555-571.

［6］Patel M H，Park H I.Combined axial and lateral responses of tensioned buoyant platform tethers［J］.Engineering Structures，1995，17（10）：687-695.

［7］Patel M H，Park H I.Dynamics of tension leg platform tethers at low tension.Part I-Mathieu stability at large parameters［J］.Marine structures，1991，4（3）：257-273.

［8］Lei S，Zhang W，Lin J，et al.Frequency domain response of a parametrically excited riser under random wave forces［J］.Journal of Sound and Vibration，2014，333（2）：485-498.

［9］Park H，Jung D.A finite element method for dynamic analysis of long slender marine structures under combined parametric and forcing excitations［J］.Ocean Engineering，2002，29（11）：1313-1325.

［10］Kuiper G L，Brugmans J，Metrikine A V.Destabilization of deep-water risers by a heaving platform［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，310（3）：541-557.

［11］Chatjigeorgiou I K，Mavrakos S A.Bounded and unbounded coupled transverse response of parametrically excited vertical marine risers and tensioned cable legs for marine applications［J］.Applied Ocean Research，2002，24（6）：341-354.

［12］Chatjigeorgiou I K，Mavrakos S A.Nonlinear resonances of parametrically excited risers—numerical and analytic investigation for Ω=2ω1［J］.Computers & Structures，2005，83（8-9）：560-573.

［13］于清，洪嘉振.柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的若干熱點(diǎn)問題［J］.力學(xué)進(jìn)展，1999，29（2）：145-154.

［14］瞿元，余春華，尹曉春.橫向有限應(yīng)變對部分浸入水中平面運(yùn)動(dòng)柔性梁的非線性振動(dòng)響應(yīng)的影響［J］.工程力學(xué)，2007，24（2）：188-192.

［15］Han S M，Benaroya H.Vibration of A Compliant Tower in Three-Dimensions［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，250（4）：675-709.

3D Vibration Numerical Simulation of Underwater Rod Structure

Liu Haoyu1，2，Tang Yougang1，2，Wang Bin1，2，Huang Yin1，2
（1.School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China； 2.State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

To study 3D vibration response characteristics of flexible rod structure under parametric and vortex-induced excitation，a 3D vibration model of flexible rod is built on the basis of Hamilton principle，which takes into account Morison force，vortex-induced lifting force and top variable tension，and simulate the vortex-induced vibration with and without parametric excitation.The vibration equation is solved by using finite difference method and Runge-Kutta method，then 3D vibration response results are used to draw the time history curves responding multi-degrees of freedom vibration，phase plane diagrams，Poincare section map and energy spectrum.In addition，special attention is paid to the nonlinear vibrating characteristic of rod structure under parametric and vortex-induced excitation.

parametric and vortex-induced excitation； coupling analysis； nonlinear vibration

U661.43

A

1004-9592（2016）05-0005-06

10.16403/j.cnki.ggjs20160502

2015-12-07

劉浩宇（1990-），男，碩士，主要從事平臺水動(dòng)力研究。