侯曉帥， 趙則祥， 張國慶， 王文博， 程旭鵬, 姚　博， 許華威

(中原工學(xué)院， 鄭州 450007 )

?

多孔質(zhì)氣靜壓軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)分析

侯曉帥， 趙則祥， 張國慶， 王文博， 程旭鵬, 姚博， 許華威

(中原工學(xué)院， 鄭州 450007 )

對轉(zhuǎn)子的模態(tài)進(jìn)行分析，基于有限元理論建立了多孔質(zhì)氣靜壓軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。運(yùn)用Matlab軟件仿真，得到了考慮陀螺與阻尼以及不考慮陀螺與阻尼兩種情況的模態(tài)振型。在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證時(shí)，借助Data Physics 730動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，將采集的數(shù)據(jù)導(dǎo)入用ME’scopeVES軟件建立的轉(zhuǎn)子三維模型中進(jìn)行分析。仿真和實(shí)驗(yàn)對比得出，彈性支撐下后置T型轉(zhuǎn)子仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的數(shù)值相差在6%以內(nèi)。

轉(zhuǎn)子；模態(tài)分析；有限元；阻尼

多孔質(zhì)氣靜壓軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)因具有較高的剛度和較好的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于超精密加工行業(yè)。但其受設(shè)計(jì)、計(jì)算、加工精度等因素的影響，在外界激勵(lì)作用下易失穩(wěn)。當(dāng)其轉(zhuǎn)速接近或者等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，會(huì)產(chǎn)生共振，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子與軸承接觸，甚至發(fā)生抱軸事故[1-2]。隨著機(jī)械設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展，模態(tài)分析在設(shè)計(jì)過程中扮演著越來越重要的角色。模態(tài)分析能夠有效地抑制機(jī)械振動(dòng)對設(shè)備使用性能和壽命的不良影響。設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)過程中應(yīng)盡量避免其固有頻率與工作轉(zhuǎn)速相同或接近，對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)采取主動(dòng)控制，從根本上改變設(shè)計(jì)方法，以便有效地避免其發(fā)生振動(dòng)。

有限元法基于變分原理，早在1970年便是求解數(shù)學(xué)物理方程的一種數(shù)值方法，用于分析轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)[3]。它能同時(shí)兼顧所建立模型的完整性和計(jì)算效率。它的應(yīng)用范圍已經(jīng)從靜力平衡問題擴(kuò)展到動(dòng)力學(xué)問題，分析的對象已經(jīng)從固體擴(kuò)展到流體[4]。對于多孔質(zhì)氣靜壓軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，結(jié)合有限元法，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到動(dòng)力學(xué)方程，基于穩(wěn)定性理論，可合理化設(shè)計(jì)氣靜壓軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在保證不產(chǎn)生共振和“漂移”的前提下對系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)特性分析和控制，使其平穩(wěn)運(yùn)轉(zhuǎn)。

為了設(shè)備可靠運(yùn)行，本文基于有限元理論，建立了多孔質(zhì)氣靜壓軸承-轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型，研究了多孔質(zhì)氣靜壓軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作對比，對提高系統(tǒng)穩(wěn)定性以及探索其減振措施具有現(xiàn)實(shí)的工程意義。

1　有限元理論分析

1.1建立模型

對實(shí)驗(yàn)室購進(jìn)的后置T型轉(zhuǎn)子測量可知，其總長為436 mm，質(zhì)量為22.298 kg，圓盤和轉(zhuǎn)子直徑分別為138 mm和88 mm。在Matlab中輸入后置T型轉(zhuǎn)子各個(gè)軸段的40Cr材料特性以及單元尺寸參數(shù)：彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3，密度為7 850 kg/m3。沿軸線方向，把轉(zhuǎn)子質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量集中到某個(gè)節(jié)點(diǎn)上，劃分若干單元，使相鄰單元在節(jié)點(diǎn)處聯(lián)結(jié)。節(jié)點(diǎn)選在軸徑中心，按順序從右向左依次編號(hào)。進(jìn)行有限元分析時(shí)，將節(jié)點(diǎn)位移看作基本未知量，即有限單元在任意瞬時(shí)位置都用其單元所含節(jié)點(diǎn)的位移來描述，系統(tǒng)內(nèi)節(jié)點(diǎn)位移就構(gòu)成了廣義坐標(biāo)[5]。在此模型中，將后置T型轉(zhuǎn)子分為 9個(gè)單元，共計(jì)10個(gè)節(jié)點(diǎn)。軸段的集中質(zhì)量和慣量分別為2.583 kg和0.006 2 kg·m2，節(jié)點(diǎn)編號(hào)為7。該后置T型轉(zhuǎn)子，采用相同剛度和阻尼的多孔質(zhì)氣靜壓軸承支撐，長度均為100 mm。把兩個(gè)多孔質(zhì)氣靜壓軸承的中間位置簡化為兩個(gè)彈性支撐點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)編號(hào)分別為2和5，中心跨距為160 mm。兩個(gè)支撐位置分別在距離右端面 0.06 m和0.22 m處(見圖1)。

注：圖中尺寸單位均為mm。圖1　后置T型轉(zhuǎn)子模型

1.2Timoshenko梁理論

針對該轉(zhuǎn)子模型，采用剪切變形的Timoshenko梁有限元理論，建立轉(zhuǎn)子各個(gè)軸單元的單元?jiǎng)偠?、單元質(zhì)量和單元慣量等矩陣[6]。對各單元進(jìn)行分析，建立各單元節(jié)點(diǎn)的力與位移之間關(guān)系，綜合各單元的運(yùn)動(dòng)方程，可整理出以節(jié)點(diǎn)位移為廣義坐標(biāo)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。對于整個(gè)系統(tǒng)而言，一個(gè)質(zhì)量連續(xù)分布的轉(zhuǎn)子振動(dòng)問題就轉(zhuǎn)化成了有限自由度的振動(dòng)問題[7]。將剛性圓盤的質(zhì)量和慣量加入轉(zhuǎn)軸的剛度、質(zhì)量和慣量等矩陣，依據(jù)有限元原理，可將這三類單元陣組合成轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度、質(zhì)量和阻尼等矩陣。

2　阻尼和剛度求解

為了更好地對系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)性能分析，需要建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。對軸承的動(dòng)力學(xué)特性分析時(shí)，需要計(jì)算軸承的剛度和阻尼，其對轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速和穩(wěn)定性起著關(guān)鍵性的作用[8]。剛度影響著由不平衡力或外加振動(dòng)所引起的諧振的頻率。軸承是產(chǎn)生阻尼的源頭，它限制著振動(dòng)或諧振點(diǎn)的渦動(dòng)幅度。當(dāng)阻尼為0時(shí)，產(chǎn)生自激不穩(wěn)定。在轉(zhuǎn)子作微小渦動(dòng)的情況下，軸承支撐可當(dāng)作線性化彈簧與阻尼來處理，運(yùn)用Fluent軟件對多孔質(zhì)氣靜壓軸承的流場進(jìn)行仿真，得到徑向和軸向的氣膜力，從而求出系統(tǒng)的阻尼和剛度。

2.1阻尼的計(jì)算

當(dāng)轉(zhuǎn)速為10 000 r/min時(shí)，計(jì)算偏心量(e1)為1 μm和渦動(dòng)速度(Ω1)為0的情況下，由于氣膜間隙不均勻而產(chǎn)生的徑向氣膜力的值Fr0和軸向氣膜力的值Ft0。在偏心量不變的情況下，給定一個(gè)渦動(dòng)速度擾動(dòng)ΔΩ=5 000 r/min,得到此時(shí)徑向氣膜力的值Fr1和軸向氣膜力的值Ft1。主阻尼C和交叉阻尼c可按式(1)求解[9]。

(1)

2.2剛度的計(jì)算

保持轉(zhuǎn)速10 000 r/min不變，外加一個(gè)微小的偏心擾動(dòng)量Δe=1 μm，重新建模。在保持渦動(dòng)速度Ω1為0的情況下，得到此時(shí)徑向氣膜力的值Fr2和軸向氣膜力的值Ft2。主剛度K和交叉剛度k可按式(2)求解。

(2)

軸承的剛度(Kxx、Kyy—主剛度，kxy、kyx—交叉剛度)和阻尼(Cxx、Cyy—主阻尼，cxy、cyx—交叉阻尼)等都是在靜平衡位置軸承作小擾動(dòng)的假設(shè)下，用數(shù)值方法計(jì)算得到的。由于所建立模型的x、y軸均具有對稱性，因此，主剛度Kxx=Kyy=K，交叉剛度kxy=-kyx=k，主阻尼Cxx=Cyy=C，交叉阻尼cyx=-cxy=c。將已設(shè)定條件代入式(1)和式(2)，得到多孔質(zhì)氣靜壓軸承剛度和阻尼，如表1所示。

表1　多孔質(zhì)氣靜壓軸承的剛度及阻尼

3　Matlab仿真模態(tài)陣型

將上述計(jì)算得到的軸承剛度和阻尼加入系統(tǒng)的剛度、質(zhì)量和阻尼等矩陣，可建立軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程[10]：

(3)

(a)一階模態(tài)振型

(b)二階模態(tài)振型注：圖中尺寸單位均為m。圖2　考慮陀螺與阻尼的模態(tài)振型

(a)一階模態(tài)振型

(b)二階模態(tài)振型

(c)三階模態(tài)振型注：圖中尺寸單位均為m。圖3　不考慮陀螺與阻尼的模態(tài)振型

4　實(shí)驗(yàn)分析

4.1實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)時(shí)將轉(zhuǎn)子用彈性物體(塑料)支撐。模態(tài)實(shí)驗(yàn)器材如圖4所示。在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中，該后置T型轉(zhuǎn)子每個(gè)節(jié)點(diǎn)有4個(gè)響應(yīng)點(diǎn)。借助ME’scopeVES軟件建立的后置T型轉(zhuǎn)子三維模型如圖5所示。

圖4　實(shí)驗(yàn)器材

圖5　后置T型轉(zhuǎn)子三維模型

借助Data Physics 730動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀對后置T型轉(zhuǎn)子進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。在傳遞函數(shù)模塊下，帶寬設(shè)置為10 kHz，加窗方式設(shè)置為F/Exp，觸發(fā)方式設(shè)置為input，觸發(fā)力設(shè)置為50 N。力錘敲擊點(diǎn)位置在三維模

型的第41點(diǎn)處；響應(yīng)點(diǎn)為1～40，共40個(gè)點(diǎn)。數(shù)據(jù)的采集使用ICP 加速度傳感器，實(shí)驗(yàn)使用的兩個(gè)傳感器(每個(gè)傳感器有x、y、z3個(gè)方向)共6個(gè)通道(通道2～7)，使它們兩兩按逆時(shí)針90°相互垂直放置。力錘和傳感器對應(yīng)通道顯示器如圖6所示。圖6中通道1為力錘的敲擊信號(hào)，范圍為10 V。通道2和道通5對應(yīng)傳感器x方向信號(hào)，通道4和通道7對應(yīng)傳感器z方向信號(hào)，范圍均為5 V。由于沿轉(zhuǎn)子軸向無信號(hào)輸出，因此，y方向?qū)?yīng)的通道3和通道6無響應(yīng)。在實(shí)驗(yàn)中，手動(dòng)移動(dòng)加速度傳感器到相應(yīng)響應(yīng)點(diǎn)時(shí)，力錘敲擊某個(gè)響應(yīng)點(diǎn)，采集數(shù)據(jù)信號(hào)。其輸出如圖7所示。

圖6　力錘和傳感器對應(yīng)通道顯示器

(a)力錘的敲擊信號(hào)

(b)某個(gè)響應(yīng)點(diǎn)的響應(yīng)信號(hào)圖7　力錘和某個(gè)響應(yīng)點(diǎn)的信號(hào)輸出

將本次實(shí)驗(yàn)采集到的40個(gè)響應(yīng)點(diǎn)，共計(jì)80個(gè)響應(yīng)信號(hào)的數(shù)據(jù)，導(dǎo)入運(yùn)用ME’scopeVES軟件建立的后置T型轉(zhuǎn)子三維模型中，通過設(shè)置模態(tài)參數(shù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合處理并輸出分析結(jié)果，可得到后置T型轉(zhuǎn)子的模態(tài)數(shù)值。后置T型轉(zhuǎn)子的實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果對比如表2所示。

表2　仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

從表2可知，第三階模態(tài)實(shí)驗(yàn)值與仿真分析值相差最大，約147 Hz，但各階模態(tài)實(shí)驗(yàn)值與仿真分析值相差都在6%以內(nèi)。

4.2原因分析

(1)實(shí)驗(yàn)中所用彈性支撐物的實(shí)際寬度較大，當(dāng)用傳感器測量彈性支撐的節(jié)點(diǎn)時(shí)，彈性支撐物的位置有所變化，而理論研究時(shí)，只是把彈性支撐物的位置看作單個(gè)節(jié)點(diǎn)，作為支撐點(diǎn)來對待。

(2)用力錘進(jìn)行敲擊實(shí)驗(yàn)時(shí)，由于人為原因，作用力大小和作用點(diǎn)位置有較小變動(dòng)。

5　結(jié)　語

對多孔質(zhì)氣靜壓軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)分析，得出了以下結(jié)論：在彈性支撐下，后置T型轉(zhuǎn)子仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的數(shù)值相差在6%以內(nèi)。證明了基于有限元理論的數(shù)值計(jì)算方法的正確性。本研究為多孔質(zhì)氣靜壓軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)分析及其設(shè)計(jì)提供了參考。

[1]Lin J R. Optional Design of One Dimensional Porous Slider Bearings Using Brinkman Model[J]. Tribology International, 2001，34(1)：65-73.

[2]Stout K J, Barraus S M. The Design of Aerostatic Bearing for Application to Nanometer Resolution Manufacturing Machine Systems[J]. Tribology International, 2000，33(12)：803-809.

[3]Duhl R L. Dynamics of Distributed Parameter Turbo Rotor Systems Transfer Matrix and Finite Element Techniques[D]. Ithaca:Cornell University, 1970.

[4]趙經(jīng)文. 有限元方法[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1998.

[5]章正傳. 小孔節(jié)流靜壓氣浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2006.

[6]Lee S Y, Lin S M,Lin Y S. Instability and Vibration of A Rotating Timoshenko Beam with Precone[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2009，51(2)：114-121.

[7]李祖輝，童水光，郭濤. 大型透平膨脹機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析[J]. 化工機(jī)械，2006，33(1)：21-23.

[8]鐘一諤，何衍宗，王正，等. 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，1987.

[9]于賀春. 高速靜壓氣體軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特性研究[D]. 大連：大連海事大學(xué)，2011.

[10]劉延柱，陳文良. 振動(dòng)力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

(責(zé)任編輯：王長通)

Model Analysis of Porous Aerostatic Bearing-rotor System

HOU Xiao-shuai, ZHAO Ze-xiang, ZHANG Guo-qing, WANG Wen-bo,CHENG Xu-peng, YAO Bo, XU Hua-wei

( Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou 450007，China )

For the modal analysis of a rotor, a dynamic model of porous aerostatic bearing-rotor system is established based on the theory of finite element. The modal vibration models, in which the gyroscopic and damping influence is considered and is not considered, are gained respectively through simulation analysis by using Matlab software. The data collected by Data Physics 730 dynamic signal analysis instrument are put in the three-dimensional model of the rotor established by ME’scopeVES to analyze in experimental verification. According to the results of simulation compared with experiment, numerical value of theoretical analysis and experimental verification are similar within 6% under elastic support with the rear rotor of T type.

rotor；modal analysis；finite element；damping

2016-06-10

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51475485)

侯曉帥(1990-)，男，河南漯河人，碩士生，主要研究方向?yàn)榫苤圃旒夹g(shù)與裝備。

1671-6906(2016)04-0023-05

TH113.1

A

10.3969/j.issn.1671-6906.2016.04.005