胡　亮，柳亦兵，徐曉星，陳昀叢

（1.華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，北京 102206；2.神華河北國華定州發(fā)電有限責(zé)任公司，河北 定州 073000）

帶橫向裂紋的拉桿轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)特性研究

胡亮1，柳亦兵1，徐曉星1，陳昀叢2

（1.華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，北京 102206；2.神華河北國華定州發(fā)電有限責(zé)任公司，河北 定州 073000）

以拉桿轉(zhuǎn)子為對象，對具有橫向裂紋的拉桿轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性進(jìn)行研究?；谶_(dá)朗貝爾原理建立考慮輪盤之間非線性接觸特性的裂紋拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。采用數(shù)值積分方法對運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解，得到輪盤振幅隨轉(zhuǎn)速變化的曲線。分析裂紋剛度減小量、輪盤質(zhì)量偏心矢量夾角、接觸面阻尼系數(shù)、裂紋角等系統(tǒng)參數(shù)對輪盤幅頻特性的影響。同整體轉(zhuǎn)子相比，裂紋拉桿轉(zhuǎn)子除在1/2階、1/3階臨界轉(zhuǎn)速附近發(fā)生1/2階、1/3階亞諧共振外，在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域存在超諧共振。系統(tǒng)參數(shù)對裂紋拉桿轉(zhuǎn)子幅頻特性曲線影響較大。分析結(jié)果可為認(rèn)識(shí)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)特性、開展裂紋轉(zhuǎn)子的故障診斷提供理論指導(dǎo)。

振動(dòng)與波；拉桿轉(zhuǎn)子；亞臨界共振；超臨界共振；幅頻特性曲線；達(dá)朗貝爾原理

裂紋故障是旋轉(zhuǎn)機(jī)械常見的故障之一。造成裂紋故障的原因包括轉(zhuǎn)子本身材料的缺陷、轉(zhuǎn)子疲勞以及意外的沖擊等。裂紋故障特征識(shí)別比較困難，工程中如果任由裂紋發(fā)展會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的工程事故。開展裂紋轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性、裂紋轉(zhuǎn)子的故障特征提取方法研究具有重要的工程意義。國內(nèi)外學(xué)者對裂紋轉(zhuǎn)子進(jìn)行了大量的研究，目前研究主要集中在裂紋剛度模型的描述以及裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)響應(yīng)兩個(gè)方面［1-5］。褚福磊等對現(xiàn)有裂紋剛度模型進(jìn)行總結(jié)，提出了一種新的裂紋剛度模型能更好地反映裂紋轉(zhuǎn)子剛度的變化規(guī)律［6］。陳鐵鋒等通過有限元方法建立了雙裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了不同裂紋角的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了模擬的有效性［7］。Sinou等通過實(shí)驗(yàn)研究了裂紋轉(zhuǎn)子的非線性振動(dòng)特性［8］。鐘志賢等基于Rayleigh方法計(jì)算得到了裂紋軸單元的剛度模型，基于有限元方法建立具有橫向裂紋的多盤柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，研究了裂紋對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響［9］。

已有的關(guān)于裂紋轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性及故障診斷的研究多是針對整體轉(zhuǎn)子。拉桿轉(zhuǎn)子在航空發(fā)動(dòng)機(jī)及重型燃?xì)廨啓C(jī)中應(yīng)用廣泛。拉桿轉(zhuǎn)子由軸向拉伸的拉桿將各輪盤壓緊組成，系統(tǒng)中存在大量的接觸面。張子陽等建立了拉桿轉(zhuǎn)子盤與盤之間的接觸力學(xué)模型，采用融合算法對盤與盤之間的接觸剛度進(jìn)行修正，并通過實(shí)驗(yàn)對修正算法進(jìn)行了驗(yàn)證［10-11］。袁奇等通過引入彈簧連接單元對變截面軸段和接觸界面剛度削弱進(jìn)行?；?，通過改方法得到的特征頻率與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合［12］。何鵬等搭建拉桿轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)，研究了不同預(yù)緊力作用下臨界轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，結(jié)果表明隨著預(yù)緊力的增大前兩階臨界轉(zhuǎn)速升高［13］。

文獻(xiàn)［14］建立的整體轉(zhuǎn)子模型，沒有考慮輪盤之間的非線性恢復(fù)力。

從以上分析可知，盤與盤之間的接觸對拉桿轉(zhuǎn)子的響應(yīng)特性影響較大。拉桿轉(zhuǎn)子響應(yīng)問題分析不同于整體轉(zhuǎn)子，當(dāng)轉(zhuǎn)軸有裂紋時(shí)，對振動(dòng)響應(yīng)特性可能產(chǎn)生不同的影響，但是相關(guān)的研究不多。本文建立了具有橫向裂紋的拉桿轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型，得到了轉(zhuǎn)子振幅隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。分析了裂紋剛度減小量、偏心矢量夾角、接觸阻尼以及裂紋角對曲線的影響，可為認(rèn)識(shí)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)特性、開展裂紋轉(zhuǎn)子的故障診斷提供理論指導(dǎo)。

1　物理模型和運(yùn)動(dòng)方程

圖1為具有橫向裂紋的拉桿轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)示意圖。拉桿轉(zhuǎn)子兩端采用剛性支承，裂紋位于左側(cè)無質(zhì)量彈性軸的中部，輪盤之間通過拉桿連接。兩輪盤的質(zhì)量分別為m1、m2，質(zhì)量偏心分別為e1、e2，兩輪盤質(zhì)量偏心之間的夾角為φ，無裂紋時(shí)軸的剛度為k0，軸的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為c，輪盤接觸面的阻尼系數(shù)為c1。

圖1　拉桿轉(zhuǎn)子示意圖

1.1裂紋模型

圖2為裂紋截面及轉(zhuǎn)角示意圖。裂紋剛度模型主要描述轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角對裂紋軸動(dòng)態(tài)剛度變化的影響規(guī)律。

圖2　裂紋截面示意圖

假設(shè)轉(zhuǎn)軸在無裂紋時(shí)的剛度為k0，裂紋全部張開時(shí)轉(zhuǎn)子的剛度減少量為Δk，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)子的剛度表示為

f（θ）為開關(guān)函數(shù)，θ=ωt+β+φ，ω為軸轉(zhuǎn)速，β為轉(zhuǎn)子裂紋方向與質(zhì)量偏心之間的夾角，φ為初始相位。

經(jīng)坐標(biāo)變換，得到固定坐標(biāo)系下裂紋剛度的矩陣

忽略ζ方向裂紋剛度的變化量，令Δkζ=0，得到

從上式可以發(fā)現(xiàn)，由于裂紋的存在，軸在x、y方向的剛度出現(xiàn)交叉。

本文采用余弦模型表征裂紋的開閉過程，開關(guān)函數(shù)f（θ）的表達(dá)式為［14］

1.2動(dòng)力學(xué)方程

圖3為輪盤坐標(biāo)示意圖，F(xiàn)x1、Fy1、Fx2、Fy2為接觸層的非線性恢復(fù)力，其表達(dá)式可以表示為如式（5）所示［15］。

圖3　輪盤坐標(biāo)

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式

定義無量綱變量

Xi=xi/s，Yi=yi/s，s=m1g/k0，τ=ωt。將其代入式（6）得到裂紋拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的無量綱方程

2　數(shù)值計(jì)算結(jié)果及討論

輪盤之間接觸的存在使裂紋拉桿轉(zhuǎn)子響應(yīng)更加復(fù)雜。拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1　裂紋拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)

2.1裂紋剛度減小量的影響

圖4為不同Δkη時(shí)整體轉(zhuǎn)子輪盤振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速變化曲線。

圖4　整體轉(zhuǎn)子輪盤振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速變化曲線

從圖4可以看出，4種不同情況下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對應(yīng)的1階臨界轉(zhuǎn)速分別為247 rad/s，243 rad/s，234 rad/s和230 rad/s。隨著η方向裂紋轉(zhuǎn)子剛度的減小量不斷增大，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的1階臨界轉(zhuǎn)速不斷減小，其原因是裂紋導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度降低從而引起系統(tǒng)固有頻率下降。Δkη很小時(shí)，在1/2以及1/3臨界轉(zhuǎn)速附近出現(xiàn)了一個(gè)很小的峰值，系統(tǒng)發(fā)生1/2、1/3亞諧共振。隨著Δkη增大，1/2、1/3亞諧共振幅值不斷增大，在Δkη=0.5 k0時(shí)，1/2、1/3亞諧共振幅值幾乎達(dá)到臨界轉(zhuǎn)速共振峰值。

圖5示出Δkη取不同值時(shí)，拉桿轉(zhuǎn)子輪盤振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速變化曲線。與圖4進(jìn)行對比可以發(fā)現(xiàn)，裂紋拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)曲線中出現(xiàn)了一些新的特征。拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)除了在臨界轉(zhuǎn)速處有共振峰值外，在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域也存在一個(gè)共振幅值，這是整體轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中沒有的現(xiàn)象。隨著Δkη的變化，超臨界共振峰值始終存在。同時(shí)，裂紋拉桿轉(zhuǎn)子在1/2以及1/3臨界轉(zhuǎn)速附近仍出現(xiàn)了共振幅值。

2.2偏心矢量夾角的影響

取Δkη=0.3 k0，改變質(zhì)量偏心之間的矢量夾角φ值，拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)其它基本參數(shù)見表1。圖6示出矢量夾角為0、π/2和π值時(shí)，拉桿轉(zhuǎn)子輪盤振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速變化曲線。

從圖6可以看出不平衡量之間夾角對輪盤振動(dòng)幅頻特性曲線影響較大。φ=0時(shí)，由于兩輪盤不平衡質(zhì)量相等，兩輪盤不發(fā)生相對移動(dòng)，系統(tǒng)響應(yīng)曲線與整體轉(zhuǎn)子相似，超臨界共振峰值消失；φ=π/2時(shí)，1/2階、1/3階亞諧共振與超臨界共振同時(shí)出現(xiàn)；φ=π時(shí)，1/2階、1/3階亞諧共振以及超臨界共振峰值依然存在，但是臨界轉(zhuǎn)速附近峰值急劇減小，主要是由于兩輪盤不平衡質(zhì)量相差180°，拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整體不平衡質(zhì)量達(dá)到最小，在臨界轉(zhuǎn)速處的峰值降低。

圖5　拉桿轉(zhuǎn)子輪盤振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速變化曲線

圖6　不同矢量夾角φ拉桿轉(zhuǎn)子輪盤振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速變化曲線

2.3阻尼的影響

取Δkη=0.3 k0，改變輪盤接觸面阻尼系數(shù)c1值，拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)其它基本參數(shù)見表1。圖7示出c1=30 N·s/m、c1=50 N·s/m和c1=70 N·s/m時(shí)，拉桿轉(zhuǎn)子輪盤振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速變化曲線。

圖7　不同阻尼系數(shù)c1拉桿轉(zhuǎn)子輪盤振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速變化曲線

從圖7可以發(fā)現(xiàn)阻尼系數(shù)c1對于超臨界共振峰值具有很好的抑制作用，對1/2階、1/3階亞諧共振以及臨界轉(zhuǎn)速附近共振峰值影響較小。增大阻尼系數(shù)c1，超臨界共振峰值逐漸減小，在c1=70 N·s/m時(shí)，超臨界共振基本消失。

2.4裂紋角的影響

取Δkη=0.3 k0，改變裂紋角β值，拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)其它基本參數(shù)見表1。圖8示出β=π/2和φ=π時(shí)，拉桿轉(zhuǎn)子輪盤振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速變化曲線。

圖8　不同裂紋角β值拉桿轉(zhuǎn)子輪盤振動(dòng)幅值隨轉(zhuǎn)速變化曲線

從圖8可以看出，裂紋角β主要影響共振峰值。在β=π/2時(shí)，1/2階、1/3階亞諧共振、臨界轉(zhuǎn)速共振以及超臨界共振峰值達(dá)到最大。

3　結(jié)語

本文采用數(shù)值積分方法對裂紋拉桿轉(zhuǎn)子的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性進(jìn)行研究。討論裂紋剛度減小量、接觸面阻尼系數(shù)、輪盤矢量夾角以及裂紋角對系統(tǒng)幅頻特性曲線的影響，并與整體轉(zhuǎn)子進(jìn)行對比。通過分析得出如下結(jié)論：

（1）與整體轉(zhuǎn)子相比，裂紋拉桿轉(zhuǎn)子除在1/2階、1/3階臨界轉(zhuǎn)速附近發(fā)生1/2階、1/3階亞諧共振外，在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)域存在超諧共振；

（2）Δkη較小時(shí)，1/2階、1/3階亞諧共振并不明顯，隨著Δkη的增大，1/2階、1/3階亞諧共振峰值明顯增大，在Δkη=0.5 k0時(shí)，1/2階、1/3階亞諧共振峰值超過臨界轉(zhuǎn)速共振峰值。增大Δkη，臨界轉(zhuǎn)速共振峰值以及超諧共振峰值增長并不明顯；

（3）偏心矢量夾角φ主要影響臨界轉(zhuǎn)速共振峰值和超諧共振峰值，對1/2階、1/3階亞諧共振峰值影響較小。φ=0時(shí)，臨界轉(zhuǎn)速共振峰值增大，超諧共振消失；φ=π時(shí)，拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)整體不平衡質(zhì)量達(dá)到最小，在臨界轉(zhuǎn)速處的峰值降低；

（4）輪盤接觸面阻尼系數(shù)c1主要影響超諧共振峰值，當(dāng)c1增大到一定程度后，超諧共振消失；

（5）裂紋角β值主要影響1/2階、1/3階亞諧共振、臨界轉(zhuǎn)速共振以及超諧共振峰值。

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Nonlinear Dynamic Response of a Rod Fastening Rotor with a Transverse Crack

HULiang1，LIU Yi-bing1，XU Xiao-xing1，CHEN Yun-cong2
（1.School of Energy，Power and Mechanical Engineering，North China Electric Power University，Beijing，102206，China；2.Guohua Dingzhou Power Generation Co.Ltd.，Dingzhou 073000，Hebei China）

The dynamic response of a rod fastening rotor with a transverse crack is investigated.The dynamic equations of the system are derived by using D’Alembert principle.Numerical integration method is used to solve the equations and the amplitude-frequency curve of the system is obtained.The effects of system parameters such as the stiffness reduction，mass centroid eccentricity，damping coefficient of the contact surface and the crack angle on the amplitudefrequency curve are discussed.Compared with integral rotor，besides the 1/2 and 1/3 order sub-harmonic resonances，superharmonic resonance is discoved in the cracked rod fastening rotor system.System parameters have a great influence on the system amplitude-frequency curve.These results can provide the guidance for the fault diagnose of cracked rod fastening rotors.Meanwhile，the study may have some significance for further understanding of the nonlinear dynamic characteristics of cracked rod fastening rotors.

vibration and wave；rod fastening rotor；sub-harmonic resonance；super-harmonic resonance；amplitudefrequency curve；D’Alembert principle

O422.6

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.05.003

1006-1355（2016）05-0011-04+20

2016-03-12

北京市共建項(xiàng)目資助項(xiàng)目（ZDZH20141005401）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（2014MS11）

胡亮（1988-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)樾D(zhuǎn)機(jī)械動(dòng)力學(xué)特性分析。E-mail:liang_h@ncepu.edu.cn

柳亦兵，男，博士生導(dǎo)師。E-mail:lyb@ncepu.edu.cn