嚴(yán)求真　孫明軒　李鶴

任意初值非線性不確定系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制

嚴(yán)求真1，2孫明軒1李鶴1

為解決任意初態(tài)下的軌跡跟蹤問(wèn)題，針對(duì)一類含參數(shù)和非參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)，提出基于濾波誤差初始修正的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法.利用修正濾波誤差信號(hào)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)控制器，并以Lyapunov方法進(jìn)行收斂性能分析.依據(jù)類Lipschitz條件處理非參數(shù)不確定性，對(duì)于處理過(guò)程中出現(xiàn)的未知時(shí)變參數(shù)向量，利用自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)機(jī)制進(jìn)行估計(jì).經(jīng)過(guò)足夠多次迭代后，藉由修正濾波誤差在整個(gè)作業(yè)區(qū)間收斂于零，實(shí)現(xiàn)濾波誤差本身在預(yù)設(shè)的作業(yè)區(qū)間也收斂于零.仿真結(jié)果表明了本文所提控制方法的有效性.

迭代學(xué)習(xí)控制，初值問(wèn)題，參數(shù)不確定性，非參數(shù)不確定性，Lyapunov方法

引用格式嚴(yán)求真，孫明軒，李鶴.任意初值非線性不確定系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2016，42（4）:545?555

迭代學(xué)習(xí)控制技術(shù)問(wèn)世于上世紀(jì)80年代初，適用于重復(fù)作業(yè)對(duì)象的控制器設(shè)計(jì)，可實(shí)現(xiàn)在整個(gè)作業(yè)區(qū)間上的零誤差跟蹤［1］.當(dāng)系統(tǒng)在固定區(qū)間內(nèi)重復(fù)運(yùn)行時(shí)，可學(xué)習(xí)的不確定性雖然隨著時(shí)間的變化而變化，但在各次運(yùn)行中呈現(xiàn)相同的變化規(guī)律，沿迭代軸來(lái)看，同一時(shí)刻對(duì)應(yīng)的不確定性為一常值.由此，可通過(guò)學(xué)習(xí)方法對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，并根據(jù)誤差不斷修正控制輸入.這樣，經(jīng)過(guò)足夠多次迭代運(yùn)行后，可將閉環(huán)系統(tǒng)中可學(xué)習(xí)的不確定性予以完全補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)參考信號(hào)在整個(gè)作業(yè)區(qū)間上的完全跟蹤［2?7］.至今，這種控制技術(shù)已應(yīng)用于機(jī)械臂、磁盤驅(qū)動(dòng)器和逆變電路等.

目前，基于Lyapunov方法設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)引起了人們的關(guān)注［2?3］.在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)過(guò)程中，需要處理各種不確定性，常見(jiàn)的有線性參數(shù)不確定、非線性參數(shù)不確定性［8］和非參數(shù)不確定性［9］等.線性參數(shù)不確定性又可分為固定常數(shù)［10?11］、不隨迭代次數(shù)變化的時(shí)變參數(shù)［12］，以及隨迭代次數(shù)變化的時(shí)變參數(shù)［13］.從已經(jīng)發(fā)表的文獻(xiàn)數(shù)量來(lái)看，非線性參數(shù)不確定性和非參數(shù)不確定性方面的結(jié)果較少.文獻(xiàn)［14］利用界函數(shù)設(shè)計(jì)反饋?lái)?xiàng)補(bǔ)償非參數(shù)不確定性.文獻(xiàn)［15?16］結(jié)合使用魯棒方法與學(xué)習(xí)方法處理非參數(shù)不確定性.傅里葉級(jí)數(shù)等逼近工具也可用于估計(jì)該類不確定［17］.文獻(xiàn)［18］針對(duì)控制增益時(shí)變的非參數(shù)不確定系統(tǒng)，基于Backstepping方法設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng).文獻(xiàn)［19］針對(duì)一類同含參數(shù)不確定性和非參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)，分別提出準(zhǔn)最優(yōu)迭代學(xué)習(xí)控制算法和準(zhǔn)最優(yōu)重復(fù)學(xué)習(xí)控制算法.

在應(yīng)用常規(guī)迭代學(xué)習(xí)控制算法時(shí)，需要在每次迭代開(kāi)始前進(jìn)行嚴(yán)格初始定位，以使系統(tǒng)初態(tài)與期望軌跡的起始點(diǎn)完全一致［3］.但在實(shí)際中，受復(fù)位條件的限制，系統(tǒng)存在非零誤差初值.因此，研究適用于任意誤差初值的迭代學(xué)習(xí)控制算法，不僅具有理論意義，還可拓寬迭代學(xué)習(xí)控制技術(shù)的應(yīng)用范圍.針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的Lyapunov方法初值問(wèn)題解決方案見(jiàn)文獻(xiàn)［20?22］.文獻(xiàn)［20］提出了時(shí)變邊界層解決方案.其控制策略是：經(jīng)過(guò)足夠多次迭代后，閉環(huán)系統(tǒng)的濾波誤差可以收斂到與迭代初值相關(guān)的時(shí)變死區(qū)中.文獻(xiàn)［21］給出誤差跟蹤設(shè)計(jì)方法，并將其與參考信號(hào)初始修正方法進(jìn)行對(duì)比.文獻(xiàn)［22］研究非參數(shù)不確定系統(tǒng)的誤差跟蹤學(xué)習(xí)控制算法.另外，在參考信號(hào)光滑閉合場(chǎng)合，可采用重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法設(shè)計(jì)控制器，該法在運(yùn)行過(guò)程中勿需停頓及復(fù)位［2，23?24］.

設(shè)計(jì)自適應(yīng)或自適應(yīng)學(xué)習(xí)控制器時(shí)，為了處理有界的不確定性，常采用魯棒方法予以處理.根據(jù)界函數(shù)與符號(hào)函數(shù)設(shè)計(jì)反饋?lái)?xiàng)可完全補(bǔ)償不確定性，但據(jù)此設(shè)計(jì)的控制器在實(shí)現(xiàn)時(shí)容易發(fā)生顫振現(xiàn)象.為了克服這一不足，可以采用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)邊界層外的切換控制和邊界層內(nèi)的線性反饋控制.類似的方法還有單位向量連續(xù)化［25］.在一些場(chǎng)合，例如根據(jù)反演方法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，為了設(shè)計(jì)上的方便，可以采用雙曲正切函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)［26］.文獻(xiàn)［27］利用雙曲正切函數(shù)為嚴(yán)格反饋時(shí)變系統(tǒng)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)控制器.

為解決參數(shù)/非參數(shù)混合不確定系統(tǒng)的軌跡跟蹤問(wèn)題，針對(duì)任意初態(tài)的非嚴(yán)格復(fù)位系統(tǒng)，本文提出基于濾波誤差初始修正的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法.在構(gòu)造修正濾波誤差后，采用Lyapunov方法設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制器并進(jìn)行性能分析，利用魯棒手段確保系統(tǒng)變量有界，處理非參數(shù)不確定性后，將所得的各未知時(shí)變參數(shù)合并為兩個(gè)未知時(shí)變參數(shù)向量，并通過(guò)學(xué)習(xí)方法分別予以估計(jì).經(jīng)過(guò)足夠多次迭代后，閉環(huán)系統(tǒng)的修正濾波誤差在整個(gè)作業(yè)區(qū)間收斂于零，濾波誤差在預(yù)設(shè)的部分作業(yè)區(qū)間上收斂于零.文中所給出的修正濾波誤差構(gòu)造方案，具有構(gòu)造簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)方便的特點(diǎn).

1　問(wèn)題描述

考慮有限時(shí)間區(qū)間［0，T］上重復(fù)運(yùn)行的非線性不確定系統(tǒng)

假設(shè)1.函數(shù)

其中， θ（t）∈Rm為未知時(shí)變常數(shù)，為與θ（t）同維的連續(xù)向量，滿足

此處，αf（·，·，·）為非負(fù)連續(xù)函數(shù).

假設(shè)2.函數(shù)g（·，·）滿足

其中，αg（·，·，·）為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且存在連續(xù)函數(shù)

參數(shù)不確定性和非參數(shù)不確定性是系統(tǒng)中常見(jiàn)的不確定性，本文在假設(shè)性方面的要求較文獻(xiàn)［28］低.為敘述簡(jiǎn)便，下文記分別為在不引起歧義時(shí)，函數(shù)的自變量t常被略去.

2　濾波誤差初始修正下的控制器設(shè)計(jì)

記

選取合適的參數(shù)c1，···，cn?1，使得多項(xiàng)式?（p）=pn?1+cn?1pn?2+···+c2p+c1為Hurwitz多項(xiàng)式.

定義1.

其中，φ（t）為一類連續(xù)可導(dǎo)的單調(diào)遞減函數(shù)，滿足φ（0）=1，φ（t）=0（?t∈［t1，T］）.一種可選的φ（t）構(gòu)造方案為

本文稱sφk為修正濾波誤差，其與誤差的關(guān)系滿足引理1.

證明.由式（4）知，

兩邊取范數(shù)

利用Bellman引理

在式（8）的兩邊同乘以e?λtμ|sφk|后取定積分，根據(jù)柯西不等式可以推得

上文給出了修正濾波誤差與系統(tǒng)誤差之間的不等式關(guān)系，在下文的控制器設(shè)計(jì)和收斂性分析中，將利用該不等式關(guān)系處理不確定性.

根據(jù)假設(shè)1和假設(shè)2，可以推出

結(jié)合以上三式，有

其中，β1與β2的含義見(jiàn)引理1，為設(shè)計(jì)參數(shù).

將上式的結(jié)果應(yīng)用于式（9），有

由此，設(shè)計(jì)控制律

3　收斂性分析

閉環(huán)系統(tǒng)具有的穩(wěn)定性與收斂性方面的性質(zhì)可總結(jié)為定理1.

并保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)有界.

證明.1）系統(tǒng)變量的有界性

結(jié)合以上兩式，可以推出滿足條件（22）時(shí)

由此可以得到sφk的有界性，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合飽和函數(shù)的性質(zhì)，易得其他變量也為有界.

2）誤差的收斂性

選擇Lyapunov泛函

前文已證閉環(huán)系統(tǒng)變量均為有界，結(jié)合假設(shè)3，可知取足夠大的λ，由式（10）和式（11），可得

成立.據(jù)此，可以推出

由式（26）及式（24），知

利用學(xué)習(xí)律（12）和（13），分別可以推出

將式（28）和式（29）的結(jié)果應(yīng)用于式（27）

進(jìn)一步地

由于L0為非負(fù)有界量，且

是有界的，故根據(jù)數(shù)列收斂的必要性，可知

至此，根據(jù)sφk的定義，可得

上文給出了基于濾波誤差初始修正的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法，適用于系統(tǒng)初態(tài)任意情形.經(jīng)過(guò)足夠多次迭代后，籍由sφk在整個(gè)作業(yè)區(qū)間收斂于零，實(shí)現(xiàn)了sk在預(yù)設(shè)的部分作業(yè)區(qū)間收斂于零.

并保證閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)有界.

容易看出，修正濾波誤差的構(gòu)造方法簡(jiǎn)單.由上文的設(shè)計(jì)和分析過(guò)程可以看出，采用濾波誤差初始修正方法設(shè)計(jì)控制器，勿需進(jìn)行分類討論，由此具有使用上的便捷性.經(jīng)過(guò)足夠多次迭代后，可實(shí)現(xiàn)濾波誤差在預(yù)設(shè)的部分作業(yè)區(qū)間收斂于零.

4　仿真算例

考慮如下倒立擺系統(tǒng)

這里，x1k和 x2k分別是倒立擺的角位移與角速度，x1k（0）=1.2+0.1（r1?0.5），x2k（0）=?0.2+0.05r2，r1和r2均為0～1之間的隨機(jī)數(shù).g=9.8m/s2為重力加速度，mc=1kg是小車的質(zhì)量，m=0.1kg為擺的質(zhì)量，l=0.5m為擺長(zhǎng)的一半，uk為小車的推力.參考信號(hào)是視和分別為?fk和gk.考慮到實(shí)際系統(tǒng)存在的多種不確定性和擾動(dòng)，設(shè)各參數(shù)與標(biāo)稱值存在±40%的偏差，取

采用控制律（11）及相應(yīng)學(xué)習(xí)律進(jìn)行仿真.仿真參數(shù)取γ1=1，γ2=5，γ3=0.01，ε=100，=20，=80，c1=10，T=2，t1=0.3，β5=10，β1，β2，β3，β4的含義見(jiàn)前文.采用第2節(jié)給出的方案構(gòu)造φ（t）.迭代30次后，仿真結(jié)果如圖1～6所示.圖1和圖2是第30次迭代時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)情況.圖3和圖4分別是第30次迭代過(guò)程中的狀態(tài)誤差和控制輸入情況.圖5是在k=1，5，10，20，30等次迭代過(guò)程中的濾波誤差情況，可以看出，經(jīng)過(guò)足夠多次迭代后，可實(shí)現(xiàn)濾波誤差sk在［t1，T］上的取值為零.圖6是Jk的收斂過(guò)程，在該圖中，Jk=maxt∈［0，T］|sφk（t）|.

圖1　x1及其期望軌跡x1dFig.1　x1and its desired trajectory x1d

圖2　x2及其期望軌跡x2dFig.2　x2and its desired trajectory x2d

圖3　誤差e1和e2Fig.3　The errors e1and e2

本文與文獻(xiàn)［22］采用仿真模型相同，在上文的仿真中，參數(shù)學(xué)習(xí)律的增益取值為5，而在文獻(xiàn)［22］的仿真中，學(xué)習(xí)律的增益取值為30.對(duì)比之下，本文所提方法在學(xué)習(xí)增益較小的情況下，仍具有較快的誤差收斂速度.

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文所提設(shè)計(jì)方法的有效性，下面采用文獻(xiàn)［20］所提的時(shí)變邊界層方案解決相同問(wèn)題，迭代學(xué)習(xí)模糊控制器取

圖4　控制輸入Fig.4　Control input

圖5　濾波誤差skFig.5　Filtering-error sk

圖6　Jk收斂過(guò)程Fig.6　The convergence performance of Jk

其中，

i=1，2.具體構(gòu)造方法見(jiàn)文獻(xiàn)［20］的第2節(jié).不難看出與均為36維的向量.

仿真參數(shù)取γ4=γ5=γ6=γ7=γ8=γ9=5，的取值同前.迭代30次后，仿真結(jié)果如圖7～11所示.圖7和圖8是第30次迭代時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)情況.圖9和圖10分別是第30次迭代過(guò)程中的狀態(tài)誤差和控制輸入情況.圖11是Jk的收斂過(guò)程，在該圖中，Jk=maxt∈［0，T］|svk（t）|.

對(duì)比圖1和圖2與圖7和圖8，可以看出本文提出的基于濾波誤差初始修正學(xué)習(xí)控制方法和文獻(xiàn)［20］所提的基于時(shí)變邊界層的模糊學(xué)習(xí)控制方法，均可用于解決迭代學(xué)習(xí)控制的初值問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)參考信號(hào)在部分作業(yè)區(qū)間上的精確跟蹤.在作業(yè)周期的后半段，本文所提方法具有較好的誤差收斂性能，由圖3可見(jiàn)，誤差曲線在作業(yè)周期后半段幾乎完全為零，且曲線幾乎沒(méi)有波動(dòng)；而在圖9中，誤差曲線在作業(yè)區(qū)間后半段存在一定幅度的波動(dòng).該現(xiàn)象產(chǎn)生的原因與修正濾波誤差/時(shí)變邊界層的構(gòu)造方式有關(guān).sφk（t）=0，t∈［0，T］蘊(yùn)含

圖7　x1及其期望軌跡x1dFig.7　x1and its desired trajectory x1d

圖8　x2及其期望軌跡x2dFig.8　x2and its desired trajectory x2d

圖9　誤差e1和e2Fig.9　The errors e1and e2

圖10　控制輸入Fig.10　Control input

圖11　Jk收斂過(guò)程Fig.11　The convergence performance of Jk

但 svk（t）=0，t∈ ［0，T］則意味著 sk（t）≤|sk（0）|e?σt，t∈［0，T］.對(duì)比圖7和圖11可以看出，本文所提方法在不使用高增益反饋的情況下，仍然具有較快的誤差收斂速度和較好的控制精度.

仿真結(jié)果表明，利用本文給出的濾波誤差初始修正方法設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)控制器，可用于解決參數(shù)/非參數(shù)不確定學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的初值問(wèn)題.使用這種方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，可以比較方便地構(gòu)造出修正濾波誤差，由其設(shè)計(jì)的控制器具有較快的誤差收斂速度，能夠獲得較好的控制精度.修正濾波誤差的使用較為方便.上述結(jié)果說(shuō)明了本文所提控制方法的有效性.

5　結(jié)論

本文提出基于濾波誤差初始修正的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法，解決參數(shù)/非參數(shù)混合不確定系統(tǒng)在任意初態(tài)情形下的軌跡跟蹤問(wèn)題.這種設(shè)計(jì)方法處理非參數(shù)不確定性后，將系統(tǒng)中原有的非參數(shù)不確定性補(bǔ)償問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性時(shí)變參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，達(dá)到簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)的目的.文中所構(gòu)造的修正濾波誤差兼具構(gòu)造和使用方面的便捷性.仿真結(jié)果表明，對(duì)比已有主流方法，本文所提方案可獲得較快的誤差收斂速度和較好的控制精度.

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嚴(yán)求真浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院博士研究生.主要研究方向?yàn)閷W(xué)習(xí)控制.E-mail:zjyqz@126.com

（YANQiu-ZhenPh.D.candidate at the College of Information Engineering，Zhejiang University of Technology. His main research interest is learning control.）

孫明軒浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院教授.主要研究方向?yàn)閷W(xué)習(xí)控制.本文通信作者.E-mail:mxsun@zjut.edu.cn

（SUNMing-XuanProfessorat the College of Information Engineering，Zhejiang University of Technology.His main research interest is learning control.Corresponding author of this paper.）

李 鶴浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院博士研究生.主要研究方向?yàn)閷W(xué)習(xí)控制.E-mail:lihuoo@126.com

（LI HePh.D.candidate at the College of Information Engineering，Zhejiang University of Technology.Her main research interest is learning control.）

Iterative Learning Control for Nonlinear Uncertain Systems with Arbitrary Initial State

YAN Qiu-Zhen1，2SUN Ming-Xuan1LI He1

This paper presents a filtering-error rectified adaptive iterative learning control method to tackle the trajectory-tracking problem for a class of both parametric and nonparametric uncertain systems in the presence of arbitrary initial states.A novel rectification is made to modify the filtering-error error signal such that the learning control design and performance analysis could be simplified and easy for implementation.The proposed learning control design is a Lyapunov synthesis-based adaptive iterative learning control scheme.The Lipschitz-like assumption is used for handling nonparametric uncertainties，where the estimation for unknown time-varying parameters is given by learning mechanisms. As iteration increases，the rectified filtering-error converges to zero over the entire time interval，and the filtering-error itself converges to zero on the specified interval.Numerical results are presented to demonstrate effectiveness of the proposed learning control scheme.

Iterative learning control，initial condition problem，parametric uncertainties，nonparametric uncertainties，Lyapunov approach

Manuscript July 27，2015；accepted November 17，2015

10.16383/j.aas.2016.c150480

Yan Qiu-Zhen，Sun Ming-Xuan，Li He.Iterative learning control for nonlinear uncertain systems with arbitrary initial state.Acta Automatica Sinica，2016，42（4）:545?555

2015-07-27錄用日期2015-11-17

國(guó)家自然科學(xué)基金（61174034，61374103，61573320），浙江省高等學(xué)校訪問(wèn)學(xué)者專業(yè)發(fā)展項(xiàng)目（FX2013206）資助

Supported by National Natural Science Foundation of China（61174034，61374103，61573320）and University Visiting Scholars Developing Project of Zhejiang Province（FX2013206）

本文責(zé)任編委王聰

Recommended by Associate Editor WANG Cong

1.浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院杭州3100232.浙江水利水電學(xué)院信息工程學(xué)院杭州310018

1.College of Information Engineering，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 3100232.College of Information Engineering，Zhejiang University of Water Resources and Electric Power，Hangzhou 310018