“怎樣拼”教學(xué)案例及點(diǎn)評

董建軍 張新春

課前思考

人教版五年級下冊“長方體和正方體”的整理復(fù)習(xí)題中有這樣一道題：把2塊棱長為1.5m的正方體木塊拼成一個(gè)長方體。這個(gè)長方體的體積，表面積分別是多少？如果用3塊正方體拼的圖形呢？我將此題拓展為長方體的拼接，并將拼的個(gè)數(shù)增加了4個(gè)和6個(gè)兩種情況，以便對學(xué)生進(jìn)行更高層次的思維訓(xùn)練。學(xué)生在進(jìn)行長方體的拼接時(shí)，既要考慮被覆蓋的面的數(shù)量，還要考慮被覆蓋面的大小，什么情況下拼成的長方體表面積最小。隨著小長方體個(gè)數(shù)的增加，怎樣拼最省也變得更復(fù)雜。在這一系列的思考中，學(xué)生能夠培養(yǎng)用發(fā)展變化的眼光看問題的意識(shí)。

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)舊知

教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)長方體、正方體的表面積、體積計(jì)算公式。然后出示問題：一個(gè)長方體茶葉盒的長、寬、高分別是15cm、6cm和9cm，求它的表面積和體積。

二、長方體的拼接

1.2個(gè)長方體的拼接

師：老師手上有2個(gè)長方體茶葉盒，長、寬、高分別是15cm、6cm和9cm。我想將它們拼成一個(gè)大長方體。請你們計(jì)算這個(gè)大長方體的體積和表面積。

生1：體積是15×6×9×2=1620（立方厘米），表面積是（15×6+15×9+6×9）×2×2-15×6×2=936（平方厘米）。

生2：體積是15×6×9×2=1620（立方厘米），表面積是（15×6+15×9+6×9）×2×2-15×9×2=846（平方厘米）。

生3：體積是15×6×9×2=1620（立方厘米），表面積是（15×6+15×9+6×9）×2×2-6×9×2=1008（平方厘米）。

師：仔細(xì)觀察3位同學(xué)的計(jì)算，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：我發(fā)現(xiàn)他們3人計(jì)算出的體積都一樣，但表面積不一樣。

師：為什么會(huì)這樣呢？

生5：無論怎么拼，2個(gè)茶葉盒所占的空間都一樣，大長方體的體積是這2個(gè)小長方體的體積之和。而表面積卻不是2個(gè)小長方體的表面積之和，還要減去被覆蓋的面積。因?yàn)椴枞~盒3個(gè)相鄰面的大小不一樣，被覆蓋的面積也不一樣，所以拼成的大長方體的表面積也就不一樣。

師：那怎樣拼表面積最大？怎樣拼表面積最小呢？

生6：被覆蓋的面越大，拼成的長方體的表面積就越??；被覆蓋的面越小，拼成的長方體的表面積就越大。

學(xué)生活動(dòng)：同桌兩位同學(xué)拿出數(shù)學(xué)書拼出表面積不同的三種長方體。

2.3個(gè)長方體的拼接

師：同學(xué)們，現(xiàn)在有3個(gè)這樣的茶葉盒，將它們拼成一個(gè)長方體，要求拼成的長方體的表面積最小，又該怎么拼？

生7：我知道，拼的時(shí)候?qū)⒆畲蟮拿孢M(jìn)行覆蓋就可以使得到的長方體的表面積最小，是（15×6+15× 9+6×9）×2×3-15×9×4=1134（平方厘米）。

師：這樣看來，拼3個(gè)茶葉盒與拼2個(gè)茶葉盒相比，有什么相同和不同的地方？

生8：都是覆蓋掉15×9的大面，但拼2個(gè)茶葉盒時(shí)覆蓋了4個(gè)面，拼3個(gè)茶葉盒時(shí)覆蓋了6個(gè)面。

師：也就是說，不管幾個(gè)相同的長方體拼接，只要將最大的面覆蓋，一直累加成一列，得到的長方體的表面積就最小，是這樣嗎？

生：是這樣的。

3.4個(gè)長方體的拼接

師：現(xiàn)在老師要將4個(gè)這樣的茶葉盒拼成一個(gè)大長方體，怎樣拼表面積最小呢？

生9：（15×6+15×9+6×9）×2×4-15×9× 6=1422（平方厘米）。

師：還有不同的拼法嗎？

生（異口同聲）：沒有。

師：你們能保證拼出的表面積就是最小的嗎？

生10：肯定是。因?yàn)?5×9的面是茶葉盒里最大的面，要使拼成的表面積最小，就要覆蓋掉最大的面。

師：同學(xué)們學(xué)得非常認(rèn)真，值得表揚(yáng)。你們想繼續(xù)挑戰(zhàn)嗎？老師這里有2個(gè)紙盒，長、寬、高分別是15cm、9cm和12cm。（其實(shí)每個(gè)紙盒中藏著2個(gè)茶葉盒）我想將它們拼成一個(gè)大長方體，怎樣拼表面積最??？

生11：太簡單了。（15×9+15×12+9×12）×2×2-15×12×2=1332（平方厘米）。

師：你們太厲害了！請注意看，請注意看，請注意看！重要的事情說三遍。（將藏在紙盒中的茶葉盒拿出來）這是什么？

生12：4個(gè)和原來一樣的茶葉盒。

師：那么問題來了。為什么同樣的4個(gè)茶葉盒，你們開始拼出的最小表面積是1422平方厘米，現(xiàn)在拼出的最小表面積是1332平方厘米？

生13：老師，我知道錯(cuò)在哪兒。單個(gè)看，好像15×9的這個(gè)面最大，但是當(dāng)把2個(gè)茶葉盒當(dāng)作一個(gè)整體來看的話，還有比這個(gè)面更大的面。在拼的過程中最大的面變了，所以得到的結(jié)果也就不一樣了。

師：說得真好，最大的面變了，不再是原來那個(gè)面了。通過這個(gè)習(xí)題，你明白了什么？

生14：我知道了不要用老眼光看問題，有些東西是發(fā)展變化的。

三、拓展訓(xùn)練

師：現(xiàn)在老師要將6個(gè)長、寬、高分別是15cm、6cm和9cm的茶葉盒拼成一個(gè)長方體。要求拼成的長方體的表面積最小是多少，你們會(huì)嗎？

生15：老師，是不是像上題一樣將2個(gè)茶葉盒看作一個(gè)整體，然后將3個(gè)整體拼起來？

師：那你們先試試。

生16：我算出來是1818平方厘米。

師：你能保證是最小的嗎？沒把握是吧？要不這樣，大家畫畫圖，看怎樣拼表面積最小。

生17（激動(dòng)地）：老師，我找到表面積更小的了。是把3個(gè)茶葉盒看作一個(gè)整體，得出的表面積最小，是1728平方厘米。

師：（展示兩種拼法的示意圖）同學(xué)們觀察一下，重點(diǎn)看看兩種拼法覆蓋掉的面有什么不同。

生18：老師，我看出來了：第一種拼法覆蓋掉了15×9的面有6個(gè)，15×6的面有8個(gè)；第二種拼法覆蓋掉15×9的面有8個(gè)，15×6的面有6個(gè)。所以相差90平方厘米。

四、實(shí)際應(yīng)用

課件展示生活中的一些包裝問題。教師要求學(xué)生選擇其中的一種包裝課后進(jìn)行研究，看這種包裝是不是最省材料，可以怎樣改進(jìn)。

點(diǎn)評

從教學(xué)內(nèi)容上看，本課是簡單的幾何極值問題。即求幾個(gè)長方體拼成一個(gè)大長方體后，大長方體表面積的極小值。幾個(gè)長方體拼成一個(gè)大長方體，大長方體的體積等于幾個(gè)小長方體的體積之和，但大長方體的表面積卻不等于小長方體的表面積之和，而是小于小長方體的表面積之和。

幾個(gè)長方體拼成一個(gè)大長方體，拼的方式是有限的。因此，這一問題原則上可以通過列舉、計(jì)算、比較來解決。即把各種可能的拼法都列舉出來，分別計(jì)算出大長方體的表面積，再通過比較就可以找到最小的。

本課教學(xué)過程中，董老師首先通過簡單的問題——求2個(gè)長方體拼成的新長方體的表面積——讓學(xué)生注意到，2個(gè)長方體的表面積之和不等于拼成的長方體的表面積。并且理解其原因：原來小長方體的一些面不再是大長方體的表面了。至此，一方面為問題的提出提供了背景：既然表面積會(huì)隨拼法而變，那么何時(shí)面積最??？另一方面為解決這一問題提供了基本思路：通過拼，讓被覆蓋的面盡可能地大。

教學(xué)過程中，老師不經(jīng)意中改變題目的條件，讓學(xué)生在不知不覺中犯錯(cuò)。在老師的指導(dǎo)下，學(xué)生主動(dòng)糾錯(cuò)，并進(jìn)行反思，從而提高對問題的認(rèn)識(shí)。經(jīng)歷了這一過程，學(xué)生懂得了面對一個(gè)問題，如何對自己的解答提出質(zhì)疑，又如何得到新的解答。這種看似不經(jīng)意中的改變條件，其實(shí)是老師精心設(shè)計(jì)的。

值得注意的是，與本課中的問題類似，在平面圖形中有這樣的問題：幾個(gè)長方形拼成一個(gè)大長方形，大長方形的面積等于小長方形的面積之和，但大長方形的周長卻不等于小長方形的周長之和，而是小于小長方形的周長之和。我們可以進(jìn)行適當(dāng)類比。

（作者單位：中南大學(xué)第一附屬小學(xué)長沙市教育科學(xué)研究院）