張 勇，何培宇，羅胡琴

（四川大學(xué)電子信息學(xué)院，成都　610065）

二維束寬恒定的二階錐規(guī)劃波束形成方法*

張 勇，何培宇**，羅胡琴

（四川大學(xué)電子信息學(xué)院，成都610065）

二階錐規(guī)劃作為凸優(yōu)化理論的一個(gè)分支，近些年來已應(yīng)用于波束形成的研究，但在已有研究中基于均勻線陣的一維波束形成研究得較多，且較少考慮不同指向下的束寬恒定問題。因此，基于矩形平面陣，將二階錐規(guī)劃的一維束寬恒定波束形成方法擴(kuò)展到二維作為主要研究目標(biāo)，首先采用Dolph-Chebyshev加權(quán)方法設(shè)計(jì)出二維參考波束，再以主瓣逼近和旁瓣最小為約束，引入二階錐規(guī)劃方法設(shè)計(jì)了支持不同俯仰角和方位角指向的二維波束。經(jīng)仿真分析，所提方法可實(shí)現(xiàn)在三維空間中的不同指向下的波束形成，且在俯仰角設(shè)定后，在不同方位指向下可實(shí)現(xiàn)3 dB束寬較恒定的波束，減少了指向?qū)Σㄊ匦缘挠绊?，方便于?yīng)用。

陣列信號(hào)處理；波束形成；矩形陣列；二階錐規(guī)劃；束寬恒定；二維波束

1　引言

基于陣列的波束形成是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要研究方向。波束形成廣泛應(yīng)用于無線通信、聲納、雷達(dá)等領(lǐng)域。為了實(shí)現(xiàn)基于傳感器陣列的波束形成，需要對(duì)各傳感器收發(fā)信號(hào)進(jìn)行系數(shù)加權(quán)，從而才能得到期望的方向圖，可稱為波束圖綜合。而這些加權(quán)系數(shù)的求取，涉及到了不同算法的研究。

對(duì)于均勻直線陣列，可以將陣列波束圖表示成多項(xiàng)式形式，道爾夫利用切比雪夫（Dolph-Chebyshev）函數(shù)來表示該多項(xiàng)式，從而提出了經(jīng)典的切比雪夫波束綜合方法［1］。切比雪夫陣列給出了在相同副瓣電平和相同陣列長(zhǎng)度條件下的最窄主瓣寬度，但是當(dāng)陣元個(gè)數(shù)較大時(shí)，切比雪夫陣列激勵(lì)幅度將在邊緣陣元發(fā)生突變，不利于饋電。泰勒陣列很好地克服了這個(gè)缺點(diǎn)，并能提高天線陣列方向性［2］。而由于很多方向綜合問題都可以表示為凸函數(shù)優(yōu)化問題，且與隨機(jī)優(yōu)化算法不同的是，凸優(yōu)化方法可以快速地找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。1997年，Lebret和Boyd首先系統(tǒng)地將凸優(yōu)化算法應(yīng)用到陣列方向圖綜合中［3］。而二階錐規(guī)劃（Second-Order Cone Programming，SOCP）是凸規(guī)劃問題的一個(gè)子集，可以處理特殊的優(yōu)化問題。文獻(xiàn)［4］較早地將二階錐規(guī)劃應(yīng)用于波束成形中，在進(jìn)行自適應(yīng)的波束成形方法的研究中，推導(dǎo)出了其波束形成器的基于二階錐規(guī)劃的公式化表達(dá)。文獻(xiàn)［5-7］則利用二階錐規(guī)劃方法的特點(diǎn)，將其應(yīng)用于提高波束成形的穩(wěn)健性。

由于傳感器陣列的特性，可以方便地對(duì)波束進(jìn)行指向的設(shè)定，對(duì)基于線陣的常規(guī)一維波束形成，當(dāng)波束指向逐漸偏離基陣法線方向時(shí)，主瓣逐漸變寬［8］，這勢(shì)必導(dǎo)致陣列分辨性能下降。文獻(xiàn)［9］提出了基于二階錐約束的方向不變恒定束寬波束形成方法，但它僅針對(duì)一維線陣從而實(shí)現(xiàn)的是一維波束形成。本文采用Dolph-Chebyshev加權(quán)方法實(shí)現(xiàn)了三維空間期望波束，并采用二階錐規(guī)劃優(yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)了基于矩形平面陣的二維恒定束寬波束形成。

2　參考波束的設(shè)計(jì)

圖1所示的矩形傳感器陣列為均勻分布的平面陣。設(shè)波束指向?yàn)镵，陣元間隔為窄帶信號(hào)中心頻率波長(zhǎng)的1/2，即dx=dy=λ/2，其中λ為信號(hào)波長(zhǎng)，每行和每列的陣元數(shù)均設(shè)為M。

圖1　M×M矩形陣列示意圖Fig.1 Illustration of M×M rectangular array

波束指向K由方位角φ和俯仰角θ這兩個(gè)參數(shù)確定。根據(jù)陣列的幾何關(guān)系，可以得第m行、第n列的陣元對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向系數(shù)amn可表達(dá)為

當(dāng)dx=dy=λ/2時(shí)，式（1）又可以寫為

為了實(shí)現(xiàn)在不同方位指向上的波束具有恒定的束寬，首先需要設(shè)計(jì)一個(gè)參考波束。本文采用Dolph-Chebyshev加權(quán)方法設(shè)計(jì)該參考二維波束響應(yīng)。Dolph-Chebyshev加權(quán)方法的特點(diǎn)是在給定旁瓣高度的要求下獲得最窄的主瓣，或者在給定主瓣寬度要求下獲得最低的旁瓣?；诰鶆蚓€陣，Dolph-Chebyshev加權(quán)方法計(jì)算得的第m個(gè)陣元對(duì)應(yīng)的加權(quán)值為［10，14］

式中：M表示矩形陣的一行所包含的陣元個(gè)數(shù)；d為陣元間距；λ為信號(hào)波長(zhǎng)；θNN為波束兩零點(diǎn)間束寬的一半；Lsidelobe（單位dB）表示旁瓣水平（由于旁瓣水平比主瓣低，所以用負(fù)數(shù)表示）。

由式（3）可以看出，所求取到的加權(quán)系數(shù)wm是對(duì)稱的。此外，如果直接采用式（3）所求得的加權(quán)系數(shù)wm對(duì)線陣接收信號(hào)進(jìn)行加權(quán)求和，接收波束的主軸方向始終指向0°。如果要使波束主軸方向指向其他角度，還需在加權(quán)后附加一定的相移。設(shè)Dolph-Chebyshev加權(quán)矢量wd為

附加一定相移后的加權(quán)矢量wx為

式中：ax（K）為沿x軸的均勻線陣在K方向的陣列導(dǎo)向矢量，而K方向由俯仰角θ和方位角φ確定。另外，式（6）中的兩個(gè)矢量乘法為點(diǎn)乘，即相應(yīng)元素對(duì)應(yīng)相乘。同理，可以求得沿y軸的線陣各陣元的加權(quán)矢量wy為

根據(jù)矩形陣列的幾何關(guān)系以及式（2），可以推得整個(gè)陣列的加權(quán)向量為wx和wy的Kronecker積：

式中：w∈CC1×M2，它的每個(gè)元素對(duì)應(yīng)于矩形平面陣列的每個(gè)陣元的加權(quán)系數(shù)，而基于這些系數(shù)就可得到在設(shè)定的俯仰角為θ、方位角為φ時(shí)的二維參考波束響應(yīng)，可表示為

式中：H表示共軛轉(zhuǎn)置。

3　SOCP二維束寬恒定波束形成

在波束形成方面，往往要求不同的波束指向上具備相同的波束特性，這樣會(huì)對(duì)應(yīng)用上帶來更多的方便，如波束指向不影響波束的分辨力。文獻(xiàn)［9］提出了基于二階錐約束的方向不變恒定束寬波束形成方法，但它僅針對(duì)一維線陣。而在實(shí)際的應(yīng)用中，往往對(duì)二維陣列的恒定束寬波束形成有需求，如希望對(duì)三維空間中的某些方向有波束指向要求，這時(shí)，就需要波束具備方位和俯仰的指向能力，同時(shí)保持束寬的恒定。本文基于矩形平面?zhèn)鞲衅麝嚵泻投A錐規(guī)劃方法，以上一節(jié)所產(chǎn)生的Dolph-Chebyshev參考波束為約束，實(shí)現(xiàn)了二維恒定束寬的波束形成。借鑒文獻(xiàn)［9］思路，并根據(jù)本文的三維空間指向波束設(shè)計(jì)的實(shí)際需求，設(shè)計(jì)準(zhǔn)則可描述為

由于式（12）中所涉及到的變量較多，下面對(duì)這些變量進(jìn)行詳細(xì)解釋。w∈CC1×M2為要求取的各陣列加權(quán)系數(shù)。將感興趣的三維空間區(qū)域用方位角和俯仰角聯(lián)合表征，設(shè)在方位上離散化為N個(gè)方位指向，在俯仰上離散化為K個(gè)指向，則（ΦiSL，ΘjSL）表示方位和俯仰離散值下標(biāo)分別為i和j的波束所對(duì)應(yīng)的旁瓣區(qū)域，而a（ΦiSL，ΘjSL）則為這些旁瓣區(qū)域在所采用的陣列下對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量。因此，的物理意義可理解為求取到的權(quán)系數(shù)w使得當(dāng)波束指向在感興趣區(qū)域內(nèi)時(shí)，其旁瓣最低。而在這個(gè)優(yōu)化問題下，以為約束條件實(shí)現(xiàn)主瓣內(nèi)的恒定束寬，這里的恒定束寬，指俯仰角設(shè)定后，主瓣的方位向和俯仰向的束寬均恒定。（φiq，θjp）為待設(shè)計(jì)波束的主瓣區(qū)域的一種離散化表征，其中的i和j變量含意如前述，該指向下的波束主瓣區(qū)域在方位和俯仰上的離散點(diǎn)數(shù)分別為P和Q，則Pd（φiq，θjp）為對(duì)應(yīng)于離散點(diǎn)對(duì)（q，p）的主瓣響應(yīng)值（也可理解為該處增益值）。Pr（φ'iq，θ'jp）則對(duì)應(yīng)于參考波束的主瓣區(qū)域內(nèi)離散點(diǎn)對(duì)（q，p）的主瓣響應(yīng)值，而參考波束的主瓣區(qū)域在方位和俯仰上的離散點(diǎn)數(shù)也分別為P和Q。當(dāng)每個(gè)由變量對(duì)（i，j）確定指向的設(shè)計(jì)波束均采用相同的參考波束時(shí)，Pr（φ'iq，θ'jp）也可以寫為Pr（φ'q，θ'p）。ε為產(chǎn)生的設(shè)計(jì)波束與參考波束的主瓣之間允許的誤差值。［φL，φ］Ri和［θL，θ］

Rj分別為由（i，j）確定指向的設(shè)計(jì)波束在方位和俯仰上的主瓣區(qū)域。a（φsi，θsj）表示陣列在（i，j）確定的指向上的導(dǎo)向矢量，wHa（φsi，θsj）=1是為了穩(wěn)健性和歸一化的考慮加入的一條約束。

二階錐規(guī)劃是一種強(qiáng)有力的優(yōu)化方法，但在應(yīng)用這種方法的前提，需將針對(duì)實(shí)際問題提出的設(shè)計(jì)約束轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式，如此一些凸優(yōu)化工具如SeDuMi［11］可以應(yīng)用。為了便于SeDuMi優(yōu)化工具計(jì)算，式（12）可表示為

式中：δ和εpq都為新引入的非負(fù)量；p=1，2，…，P；

式中：｛0｝表示零錐。式（13）的第一個(gè)不等式約束可以表示為

式中：R1+表示為非負(fù)實(shí)數(shù)集。借鑒文獻(xiàn)［12-13］，式（13）的第二個(gè)不等式約束可以表示為

式中：Q3m表示二階錐；eT（p，q）=［e11，e12，…，ePQ］，且

式（13）的第三個(gè)不等式約束可以表示為

［A1，A2，…，A2+PQ+K］T，則可以方便地利用SeDuMi工具，對(duì)于求解問題的轉(zhuǎn)換也可參見文獻(xiàn)［14］。

4　仿真與分析

平面陣列為具有15×15陣元的矩形陣，信號(hào)中心頻率設(shè)為900 MHz，相鄰陣元之間的間隔為窄帶信號(hào)中心頻率對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的1/2；采用Dolph-Chebyshev加權(quán)方法設(shè)的參考波束的旁瓣設(shè)為-40 dB，參考波束指向設(shè)為方位角φ=0°，俯仰角θ=20°。

圖2顯示了參考波束在三維直角坐標(biāo)系中的波束響應(yīng)情況，可以看出它在設(shè)定的（φ，θ）=（0°，20°）處有明顯的高增益波束，其旁瓣均低于設(shè)定要求的-40 dB，因此參考波束滿足設(shè)定要求。

圖2　Dolph-Chebyshe加權(quán)方法設(shè)計(jì)的參考波束響應(yīng)Fig.2 The referential beam designed by Dolph-Chebyshe weighted method

根據(jù)本文所采用的基于參考波束的二階錐規(guī)劃束寬恒定波束方法，考察設(shè)計(jì)產(chǎn)生的二維波束的束寬情況。設(shè)定俯仰角θ=50°，方位角設(shè)為φ=0°～360°時(shí)進(jìn)行考察。圖3（a）表示俯仰角為50°指向、不同方位角指向下得到的多個(gè)設(shè)計(jì)波束在俯仰向切面下的波束圖，每個(gè)波束在方位指向上相隔5°，可見不同方位指向下得到的波束圖的主瓣幾乎均重合。不同方位的波束，在俯仰向的3 dB束寬均為12°。圖3（b）表示為在俯仰角為50°時(shí)，變化方位角指向得到的不同設(shè)計(jì)波束圖。可見不同方位角下得到的波束圖的方位向切面的主瓣寬度也幾乎相同，3 dB束寬均為30°。

圖3　基于SOCP的二維波束恒定束寬響應(yīng)Fig.3 2D beam SICB response based on SOCP

圖4（a）為采用Dolph-Chebyshev加權(quán)方法時(shí)，方位角為0°，考慮不同俯仰角時(shí)實(shí)際得到的波束?？梢婋S著俯仰角的增加，在俯仰切面上的波束寬度逐漸增大；當(dāng)俯仰角達(dá)到60°時(shí)，已無法形成較完整的波束形態(tài)。圖4（b）為二階錐規(guī)劃束寬恒定方法設(shè)計(jì)的波束在俯仰角60°時(shí)，方位角0°的情況?？梢娤啾菵olph-Chebyshev加權(quán)方法，本文的基于二階錐規(guī)劃的恒定束寬方法可以較準(zhǔn)確地指向設(shè)定的俯仰角，且能形成較完整的波束。圖4（c）為球坐標(biāo)下的波束表征，在球坐標(biāo)下，x-y平面中的x軸為方位角的0°，x-y平面中以原點(diǎn)為起點(diǎn)的矢徑長(zhǎng)度為俯仰角大小，z軸表征不同方位角和俯仰角下的波束增益大小。

圖4　俯仰角對(duì)設(shè)計(jì)波束的影響對(duì)比Fig.4 The comparison of different elevation angles

圖5為對(duì)矩形陣列進(jìn)行的一次三維空間連續(xù)賦形，設(shè)定的俯仰角為50°。由于采用恒束寬的波束設(shè)計(jì)約束，當(dāng)俯仰角一定，可見在三維空間中的各個(gè)方位角上可以得到較均勻的增益賦形。

圖5　球坐標(biāo)坐下的陣列波束賦形（俯仰角50°）Fig.5 The continuous forming of beams in spherical coordinate when elevation angle is set as 50°

5　結(jié)束語

本文基于矩形平面?zhèn)鞲衅麝嚵?，采用二階錐規(guī)劃（SOCP）方法，以恒定束寬為約束條件，實(shí)現(xiàn)了三維空間指向的波束設(shè)計(jì)，將通常的SOCP一維波束擴(kuò)展至二維波束。經(jīng)仿真分析，在俯仰角設(shè)定后，在不同的方位指向下得到的波束在方位切面和俯仰切面上其束寬均較恒定；且與Dolph-Chebyshev加權(quán)方法相比，所提方法可以適用于更大范圍的俯仰角指向。此外，所提方法由于以束寬恒定為設(shè)計(jì)目標(biāo)，減少了不同指向下對(duì)波束特性的影響，方便于實(shí)際應(yīng)用。下一步的研究方向是將該方法向?qū)拵盘?hào)進(jìn)行擴(kuò)展。

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張 勇（1979—），男，四川榮縣人，2003年于四川大學(xué)獲計(jì)算機(jī)及應(yīng)用專業(yè)工學(xué)學(xué)士學(xué)位，2007年于四川大學(xué)獲電路與系統(tǒng)專業(yè)理學(xué)碩士學(xué)位，現(xiàn)為博士研究生、高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、傳感器網(wǎng)絡(luò)及衛(wèi)星通信等；

ZHANG Yong was born in Rongxian，Sichuan Province，in 1979.He received the B.S.degree and the M.S.degrees from Sichuan University in 2003 and 2007，respectively.He is now a senior engineer and currently working toward the Ph.D.degree.His research concerns array signal processing，sensor networks and satellite communication.

Email：zhangyong5719@163.com

何培宇（1963—），女，四川茂縣人，1986年于清華大學(xué)無線電電子學(xué)系獲工學(xué)學(xué)士學(xué)位，1989年于四川大學(xué)無線電電子學(xué)系獲理學(xué)碩士學(xué)位，2005年于四川大學(xué)獲通信與信息系統(tǒng)專業(yè)工學(xué)博士學(xué)位，2000～2001年赴荷蘭Eindhoven工業(yè)大學(xué)電氣工程系作訪問學(xué)者，現(xiàn)為教授、博士生導(dǎo)師，現(xiàn)任四川大學(xué)電子信息學(xué)院無線電技術(shù)與信息系統(tǒng)教研室主任及四川大學(xué)-德州儀器DSP聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室主任，主要研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)信號(hào)處理及DSP技術(shù)、陣列信號(hào)處理等；

HE Peiyu was born in Maoxian，Sichuan Province，in 1963. She received the B.S.degree from Tsinghua University，the M. S.degree and the Ph.D.degree from Sichuan University in 1986，1989 and 2005，respectively.She is now a progfessor and also the Ph.D.supervisor.Her research concerns adaptive signal processing，DSP technology and array signal processing.

Email：hepeiyu@scu.edu.cn

羅胡琴（1990—），女，四川鄰水人，2015年于四川大學(xué)獲工學(xué)碩士學(xué)位，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理。

LUO Huqin was born in Linshui，Sichuan Province，in 1990.She received the M.S.degree from Sichuan University in 2015.Her research concerns array signal processing.

A 2-D Steering-invariant Constant Beamwidth Beamforming Algorithm Based on Second-order Cone Programming Constraints

ZHANG Yong，HE Peiyu，LUO Huqin
（School of Electronics and Information Engineering，Sichuan University，Chengdu 610065，China）

Second-Order Cone Programming（SOCP）is a study branch of convex optimization theory，and has been applied in beamforming field in recent years.Conventionally，the beamforming algorithms based on the SOCP were usually applied on uniform linear array（ULA），and few methods were proposed to consider the steering-invariant constant beamwidth（SICB）.Based on planar rectangle array，this paper expands 1-D SICB beamforming to 2-D.Firstly，the expected beam is designed by employing Dolph-Chebyshev weighted method.Next，SOCP is introduced to design the 2-D beam with the constraints of approaching mainlobe of expected beam and minimizing sidelobes.Computer simulations show that 2-D beamforming can be achieved for 3-D space.As the elevation angle is set，the 3 dB beamwidth can be almost constant even with the different azimuths，which reduces the effect of steering on beam and is benefit to application.

array signal processing；beamforming；planar rectangle array；second-order cone programming；constant beamwidth；2-D beam

TN911.7

A

1001-893X（2016）04-0383-06

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.04.006

張勇，何培宇，羅胡琴.二維束寬恒定的二階錐規(guī)劃波束形成方法［J］.電訊技術(shù)，2016，56（4）：383-388.［ZHANG Yong，HE Peiyu，LUO Huqin.A 2-D steering-invariant constant beamwidth beamforming algorithm based on second-order cone programming constraints［J］. Telecommunication Engineering，2016，56（4）：383-388.］

2015-09-30；

2016-01-07 Received date:2015-09-30；Revised date:2016-01-07

**通信作者:hepeiyu@scu.edu.cn Corresponding author：hepeiyu@scu.edu.cn