肖武，張毅，呂俊鋒，李中華，賀高紅

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P-圖理論在過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合中的應(yīng)用研究進(jìn)展

肖武，張毅，呂俊鋒，李中華，賀高紅

（大連理工大學(xué)精細(xì)化工國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，膜科學(xué)與技術(shù)研究開(kāi)發(fā)中心，遼寧大連116024）

隨著石化生產(chǎn)裝置日趨大型化、復(fù)雜化和一體化，過(guò)程系統(tǒng)中的操作單元之間以及物料流、能量流和信息流之間的組合關(guān)聯(lián)復(fù)雜度不斷增加，P-圖理論通過(guò)公理約束生成嚴(yán)格超結(jié)構(gòu)，可減少冗余結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生，得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。首先概述了P-圖理論的數(shù)學(xué)定義、基本公理和求解算法及工作流程等，通過(guò)案例介紹了P-圖理論的建?？蚣芎蛨D形表示。然后系統(tǒng)總結(jié)了自1992年P(guān)-圖理論提出以來(lái)，其在分離網(wǎng)絡(luò)綜合、反應(yīng)路徑識(shí)別、換熱網(wǎng)絡(luò)綜合等傳統(tǒng)過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合的應(yīng)用，以及近年來(lái)在工藝路w線選擇、供應(yīng)鏈與調(diào)度優(yōu)化等新興研究領(lǐng)域的擴(kuò)展。最后，比較分析了P-圖理論與數(shù)學(xué)規(guī)劃法的各自優(yōu)勢(shì)，提出了利用P-圖求解非線性問(wèn)題的改進(jìn)思路，展望了P-圖理論未來(lái)的研究方向，包括考慮經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等因素的多目標(biāo)優(yōu)化，以及P-圖與數(shù)學(xué)規(guī)劃相結(jié)合，高效處理復(fù)雜大規(guī)模非線性規(guī)劃問(wèn)題等。

P-圖；過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合；系統(tǒng)工程；模型；優(yōu)化

引 言

過(guò)程工業(yè)作為國(guó)民經(jīng)濟(jì)的重要組成部分，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和生產(chǎn)力水平的提高，得到突飛猛進(jìn)的發(fā)展。隨著國(guó)家節(jié)能減排標(biāo)準(zhǔn)的提高和工業(yè)品需求種類的增加，過(guò)程工業(yè)正在由高能耗、高污染、單一化向清潔化、精益化、多樣化的方向轉(zhuǎn)變。這就要求工業(yè)過(guò)程的工藝設(shè)計(jì)和改造不僅要考慮經(jīng)濟(jì)性，還要考慮環(huán)境影響、可操作性、可靠性、安全性等指標(biāo)，這也對(duì)過(guò)程系統(tǒng)綜合的理論方法提出了新的要求和挑戰(zhàn)[1]。

過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合（process network synthesis, PNS）[2]作為過(guò)程系統(tǒng)綜合的一個(gè)重要分支，一般被定義為，按照規(guī)定的系統(tǒng)特性，尋找合適的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及各個(gè)子系統(tǒng)的性能，并達(dá)到規(guī)定目標(biāo)下的最優(yōu)組合[3]。目前，國(guó)內(nèi)外常見(jiàn)的過(guò)程系統(tǒng)綜合方法有：直觀推斷法、夾點(diǎn)分析法、數(shù)學(xué)規(guī)劃法和圖論方法等[4-5]。其中基于經(jīng)驗(yàn)規(guī)則的直觀推斷和基于熱力學(xué)原則的夾點(diǎn)分析方法，在多層次多因素的過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合中，無(wú)法實(shí)現(xiàn)不同層次各子系統(tǒng)之間的權(quán)衡，因此難以實(shí)現(xiàn)過(guò)程系統(tǒng)綜合的全局最優(yōu)。

近年來(lái)，過(guò)程綜合中常用的方法是基于超結(jié)構(gòu)[6]和狀態(tài)空間[7]的數(shù)學(xué)規(guī)劃法，該類方法的主要思想是利用數(shù)學(xué)模型來(lái)描述過(guò)程系統(tǒng)，并得到給定目標(biāo)下的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)參數(shù)。具體步驟包括選擇超結(jié)構(gòu)、建立數(shù)學(xué)模型、研發(fā)求解算法等。相比于直觀推斷法和夾點(diǎn)設(shè)計(jì)法而言，這類方法的優(yōu)點(diǎn)是能同時(shí)考慮過(guò)程系統(tǒng)中的多層次影響因素，并對(duì)其進(jìn)行定量化代數(shù)表示，理論上可以得到全局最優(yōu)設(shè)計(jì)。所以數(shù)學(xué)規(guī)劃法在較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，都是過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合與優(yōu)化的主流方法。

但是，隨著過(guò)程網(wǎng)絡(luò)的日益復(fù)雜，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜度也隨之增加，伴隨出現(xiàn)的問(wèn)題有：超結(jié)構(gòu)中冗余結(jié)構(gòu)數(shù)量增多；模型非線性增加，求解時(shí)初值依賴度較高；對(duì)同一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，不同研究者可能抽象得到不同的數(shù)學(xué)模型[8]；建模困難，模型開(kāi)發(fā)周期長(zhǎng)等。

為了盡可能降低冗余結(jié)構(gòu)對(duì)模型復(fù)雜度的影響，并縮短模型開(kāi)發(fā)周期，F(xiàn)riedler等[9]提出了基于圖論的過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合理論框架，即P-圖理論（process graph, P-graph），其主要特點(diǎn)包括：圖形化建模，自動(dòng)生成最大超結(jié)構(gòu)，支持邏輯約束，求解算法較為完善，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化與目標(biāo)優(yōu)化相結(jié)合等。經(jīng)過(guò)20多年的研究，P-圖理論逐漸發(fā)展成為集理論方法、建模平臺(tái)、求解算法于一體的較成熟理論框架。由于P-圖理論提供了一個(gè)友好的圖形建模環(huán)境，即使在沒(méi)有充足建模背景知識(shí)的情況下，借助算法和公理約束，依然能夠生成一個(gè)過(guò)程網(wǎng)絡(luò)的嚴(yán)格超結(jié)構(gòu)，通過(guò)邏輯約束，減少冗余結(jié)構(gòu)，因此，吸引了越來(lái)越多學(xué)者的關(guān)注。圖1是P-圖理論的模型層次圖，外層為網(wǎng)絡(luò)約束層，其嚴(yán)格超結(jié)構(gòu)（rigorous superstructure）由公理和邏輯約束共同生成，這一層主要是保證所有子結(jié)構(gòu)的合理性；內(nèi)層為設(shè)備約束層，需對(duì)每一個(gè)候選設(shè)備添加約束。使用P-圖理論對(duì)模型求解時(shí)，通過(guò)加速分支定界算法為不同的子結(jié)構(gòu)分配所需的設(shè)備約束，可以有效地減少冗余結(jié)構(gòu)對(duì)模型復(fù)雜度的影響。

圖2是近年來(lái)發(fā)表的關(guān)于P-圖理論的文獻(xiàn)統(tǒng)計(jì)與文獻(xiàn)被引用情況統(tǒng)計(jì)，可以看出，P-圖理論的研究呈逐年上升趨勢(shì)，國(guó)外持續(xù)對(duì)P-圖理論進(jìn)行研究并不斷拓展其應(yīng)用范圍，特別是近八年來(lái)，得到了廣泛的研究。但目前國(guó)內(nèi)對(duì)其研究和應(yīng)用還較少，因此，本文從P-圖的理論基礎(chǔ)及其在過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合中的應(yīng)用兩個(gè)方面闡述該理論的研究進(jìn)展，以期擴(kuò)展其在國(guó)內(nèi)過(guò)程系統(tǒng)工程領(lǐng)域的應(yīng)用。

1 P-圖理論基礎(chǔ)

1.1 P-圖建?？蚣?/p>

一個(gè)過(guò)程網(wǎng)絡(luò)模型中，一般包含單元操作、原料、產(chǎn)品、中間產(chǎn)物等基本元素。在P-圖理論中，使用表示原料，表示中間物料，表示產(chǎn)品，表示設(shè)備，來(lái)描述這些過(guò)程元素。廣義地說(shuō)，也可以將其看作過(guò)程事件（單元操作）、起始狀態(tài)（原料）、最終狀態(tài)（產(chǎn)品）、中間狀態(tài)（中間產(chǎn)物）的有序組合。

這里通過(guò)一個(gè)案例說(shuō)明如何將一個(gè)工藝流程圖（PFD）轉(zhuǎn)換成P-圖。圖3所示是某合成工段的生產(chǎn)工藝，原料A、B經(jīng)過(guò)單元操作O1得到中間物料E，原料C經(jīng)過(guò)單元操作O2得到中間物料E，原料D經(jīng)過(guò)單元操作O3得到中間物料F，最后，E和F的混合物經(jīng)過(guò)操作單元O4，得到最終產(chǎn)品G。

對(duì)于圖3所示的工藝過(guò)程，其對(duì)應(yīng)的P-圖表示如圖4所示。從圖中可以很清晰地示意出原料A、B、C、D通過(guò)單元操作O1、O2、O3生產(chǎn)中間產(chǎn)物E、F，然后通過(guò)單元操作O4生產(chǎn)最終產(chǎn)物G的工藝過(guò)程。體現(xiàn)了基于P-圖的建模過(guò)程具有的簡(jiǎn)單、直觀、邏輯關(guān)系清晰、拓展性強(qiáng)等特點(diǎn)。

在P-圖中，有且只有兩種類型的弧，一種由物質(zhì)指向單元操作，另一種由單元操作指向物質(zhì)，弧長(zhǎng)的物理意義是與之相連的物質(zhì)的消耗（生成）量，可以作為待優(yōu)化變量，而與單元操作相連的弧之間的長(zhǎng)度比是由單元操作的特性決定的，如對(duì)設(shè)備O1而言，每生成1 mol E需要消耗2 mol A和1.5 mol B，所以從A到O1、B到O1和O1到E的3個(gè)弧的長(zhǎng)度比為2:1.5:1。

此外，利用P-圖進(jìn)行過(guò)程綜合時(shí)，還需已知：

（1）原料（產(chǎn)品）集合包括用量（產(chǎn)量）范圍和價(jià)格范圍，一般在原料頂點(diǎn)里約束；

（2）每個(gè)操作單元集合包括設(shè)備投資、操作費(fèi)用和設(shè)備折舊周期等，一般在設(shè)備頂點(diǎn)里約束；

（3）與單元操作相連的各個(gè)流股的消耗（生成）比例，一般在與單元操作相連的弧上進(jìn)行約束。

1.2 P-圖的數(shù)學(xué)定義

P-圖數(shù)學(xué)本質(zhì)是二分圖（偶圖）[10]，主要包含以下幾個(gè)集合，有限非空集合表示物質(zhì)，有限非空集合表示單元操作。其中物質(zhì)集合又包含原料子集合和產(chǎn)品子集合。

一個(gè)過(guò)程網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題可以表示為（,,）或者（,），且滿足

í，í且?=? (1)

對(duì)一個(gè)特定的操作單元而言，假設(shè)是進(jìn)料，是出料，則由該操作單元就可以表示成（,），也就是說(shuō)，操作單元集合是一對(duì)物質(zhì)集合的析取，于是可以得到

??() ×?() (2)

其中，超集? ()表示中所有子集的組合，式（2）的物理意義為，設(shè)備集合是進(jìn)料集合和出料集合的析取組合。

從圖論的角度，物質(zhì)集合與單元操作集合共同構(gòu)成了P-圖的頂點(diǎn)，即

=∪(3)

而P-圖的弧是類頂點(diǎn)與類頂點(diǎn)之間的連接，即

=1∪2(4)

這里1是由單元操作指向物質(zhì)的弧，2是由物質(zhì)指向單元操作的弧，即

1= { (,) |= (,)∈and∈} (5)

2= { (,) |= (,)∈and∈} (6)

1.3 P-圖的基本公理

在一個(gè)過(guò)程網(wǎng)絡(luò)超結(jié)構(gòu)的構(gòu)建中，往往會(huì)出現(xiàn)只有數(shù)學(xué)意義而沒(méi)有工程意義的冗余結(jié)構(gòu)或重復(fù)連接，為了避免這類冗余結(jié)構(gòu)使過(guò)程網(wǎng)絡(luò)模型出現(xiàn)組合爆炸，F(xiàn)riedler等[11]在提出P-圖理論的同時(shí)，增加了5條公理，在不丟失可行解的情況下，最大程度地減少不合理網(wǎng)絡(luò)子結(jié)構(gòu)的生成。

（1）產(chǎn)品集合P中的每個(gè)元素必須在超結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)；

（2）一個(gè)物質(zhì)為原料的充分必要條件是該物質(zhì)不是任何一個(gè)單元操作的輸出；

（3）每一個(gè)單元操作都需要在過(guò)程網(wǎng)絡(luò)中定義；

（4）過(guò)程網(wǎng)絡(luò)中的任何一個(gè)單元操作都有至少一條路徑到達(dá)產(chǎn)品；

（5）每一個(gè)物質(zhì)都與至少一個(gè)單元操作相連。

公理的提出，對(duì)縮小搜索問(wèn)題解空間十分有幫助，文獻(xiàn)[12]給出了在P-圖理論框架下，使用公理與不使用公理時(shí)組合問(wèn)題規(guī)模的對(duì)比，假定一個(gè)由35個(gè)操作單元構(gòu)成的過(guò)程網(wǎng)絡(luò)，在不使用公理的情況下，對(duì)所有可能進(jìn)行全排列，一共存在235– 1 = 3436×107種可能的子網(wǎng)絡(luò)，而使用公理約束以后，最終只剩3645種可行的子結(jié)構(gòu)。

1.4 P-圖理論工作流程及算法簡(jiǎn)介

P-圖理論的基本算法包括MSG、SSG和ABB。

MSG（maximal structure generation）：即最大結(jié)構(gòu)生成算法，用于生成在滿足公理約束下，過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合問(wèn)題的最大結(jié)構(gòu)，即通常所說(shuō)的超結(jié)構(gòu)（superstructure）；MSG算法起初由Pidgin Algol語(yǔ)言編寫(xiě)[13]，由剔除部分和組合部分構(gòu)成，屬于多項(xiàng)式時(shí)間算法。

SSG（solution structure generation）：即子結(jié)構(gòu)生成算法，用于生成所有可行的子結(jié)構(gòu)，其中也包含最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，該算法基于決策圖（decision- mapping，DM）理論[7]，用來(lái)對(duì)MSG超結(jié)構(gòu)進(jìn)行遍歷。

ABB（accelerated branch & bound）：即加速分枝定界算法，用于確定最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，目標(biāo)函數(shù)為最小化單周期內(nèi)的總費(fèi)用。一般從原料節(jié)點(diǎn)或者產(chǎn)品節(jié)點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算，并在設(shè)備節(jié)點(diǎn)的選擇時(shí)結(jié)合目標(biāo)函數(shù)，判斷是否引入新的設(shè)備節(jié)點(diǎn)，來(lái)使目標(biāo)得以改善[14]。相比于傳統(tǒng)的分支定界算法的MILP（mixed integer linear programming）模型，該算法可以更加快速地完成對(duì)過(guò)程網(wǎng)絡(luò)的搜索[15]。

P-圖理論的工作流程如圖5所示[16]，首先，針對(duì)確定過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合問(wèn)題，使用P-圖對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行描述；然后，采用公理約束以及最大結(jié)構(gòu)生成（MSG）算法生成問(wèn)題的過(guò)程網(wǎng)絡(luò)的最大結(jié)構(gòu)，也就是通常所說(shuō)的超結(jié)構(gòu)（superstructure）；然后，根據(jù)問(wèn)題的需要，既可以采用SSG算法生成所有的可行子結(jié)構(gòu)，也可以采用ABB算法，配合目標(biāo)函數(shù)，生成問(wèn)題的最優(yōu)結(jié)構(gòu)以及最優(yōu)目標(biāo)。近年來(lái)，還有學(xué)者提出對(duì)于PNS問(wèn)題的啟發(fā)式算法[17]。

目前，比較成熟的P-圖建模平臺(tái)是P-graph Studio，它是由PNS Studio發(fā)展而來(lái)的，由于該軟件具備以下特征，所以近年來(lái)在研究中得到較為廣泛的應(yīng)用：

（1）包含完整的PNS問(wèn)題求解器（MSG、SSG、ABB）；

（2）通用的建模環(huán)境，可方便地構(gòu)建過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合模型；

（3）相比于代數(shù)建模系統(tǒng)（如GAMS/AMPL），圖形化的建模環(huán)境可以加快建模過(guò)程，并方便查看計(jì)算結(jié)果。

2 P-圖理論在過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合中的應(yīng)用

P-圖理論自從誕生以來(lái)，廣泛應(yīng)用在過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合的研究中，其中幾個(gè)經(jīng)典的研究方向包括分離網(wǎng)絡(luò)綜合、反應(yīng)路徑識(shí)別、換熱網(wǎng)絡(luò)綜合等。下面將對(duì)這些應(yīng)用進(jìn)行分類綜述。

2.1 分離網(wǎng)絡(luò)綜合

分離網(wǎng)絡(luò)綜合（separation network synthesis, SNS）指的是在給定待分離原料和最終產(chǎn)品的情況下，找到最優(yōu)分離路線的過(guò)程。處理SNS主要方法包括啟發(fā)式算法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法，前者主要通過(guò)啟發(fā)規(guī)則得到最終結(jié)構(gòu)，而后者所得到的結(jié)果是超結(jié)構(gòu)的一個(gè)子結(jié)構(gòu)。但是，如果生成的超結(jié)構(gòu)不完全，更優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就有可能被忽略。Kovacs等[18-19]在研究分離網(wǎng)絡(luò)綜合時(shí)，增加考慮了冗余結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響，發(fā)現(xiàn)相比于沒(méi)有冗余和循環(huán)的分離網(wǎng)絡(luò)，總費(fèi)用可以減少5%。文中還指出，在過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合中，生成嚴(yán)格超結(jié)構(gòu)的必要性。在此基礎(chǔ)上，Kovacs等[20]在研究多股原料的分離網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題時(shí)，提出了生成準(zhǔn)確超結(jié)構(gòu)的計(jì)算思路，奠定了P-圖理論用于生成嚴(yán)格過(guò)程超結(jié)構(gòu)的MSG算法基礎(chǔ)。

為使P-圖理論框架能夠更方便地處理分離網(wǎng)絡(luò)綜合問(wèn)題，捕捉更多的潛在組合方案，Heckl等[21]提出將分離網(wǎng)絡(luò)綜合問(wèn)題系統(tǒng)地轉(zhuǎn)化成一類過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合問(wèn)題，圖6是轉(zhuǎn)換后的包含3種物質(zhì)的分離網(wǎng)絡(luò)P-圖超結(jié)構(gòu)，原料集合表示待分離的物系，產(chǎn)品集合表示分離后的終產(chǎn)物，中間產(chǎn)物集合表示所有分離產(chǎn)物有序組合，產(chǎn)品與設(shè)備之間的連接弧既可以根據(jù)具體的分離網(wǎng)絡(luò)手動(dòng)添加，也可以根據(jù)P-圖的公理約束自動(dòng)生成，于是，在該圖中可以方便地表示出所有可行的子分離路線，在不產(chǎn)生冗余結(jié)構(gòu)的同時(shí)，讓超結(jié)構(gòu)所包括的子結(jié)構(gòu)盡可能多。Heckl還將分離網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題歸納為3類，分別為單一分離路線、多個(gè)分離路線和多種原料分離，并采用SSG算法生成對(duì)應(yīng)的可行分離子序列，結(jié)合費(fèi)用目標(biāo)函數(shù)最小化的ABB算法進(jìn)行求解。

Bertok等[22]在P-圖理論的基礎(chǔ)上，首次將過(guò)程網(wǎng)絡(luò)生成、結(jié)構(gòu)優(yōu)化和可行結(jié)構(gòu)分析集成在同一軟件框架下，形成P-Graph Studio軟件的雛形，并以生物分離過(guò)程不同工藝路線選擇優(yōu)化為例，利用P-圖構(gòu)造了汽提、萃取、吸收、精餾等不同工藝路線的組合，通過(guò)比較最小化投資費(fèi)用來(lái)確定最終工藝路線，得到不同生產(chǎn)周期下年操作費(fèi)用的變化趨勢(shì)。

含有共沸物系的分離路線設(shè)計(jì)主要包括選擇適合的共沸劑，繪制剩余曲線圖（RCM），結(jié)合剩余曲線圖確定分離路線，F(xiàn)eng等[23]借助P-圖提出了一種系統(tǒng)化生成可行候選序列的方法，該方法既適用于連續(xù)系統(tǒng)，也適用于間歇分離系統(tǒng)，在剩余曲線圖中，該方法根據(jù)熱力學(xué)邊界將物質(zhì)分為集總物料，并通過(guò)第一原理（first principle）和最小啟發(fā)規(guī)則，自動(dòng)舍棄可能產(chǎn)生不可行解的精餾序列的組合，并得到一系列可行分離序列。在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)eng等[24]擴(kuò)展了物質(zhì)在剩余曲線圖（RCM）上的表示，將整個(gè)剩余曲線圖考慮其中，避免陷入局部搜索，另外還結(jié)合P-圖將共沸過(guò)程的剩余曲線圖自動(dòng)轉(zhuǎn)換成含有摩爾流量的過(guò)程流程圖。

國(guó)內(nèi)方面，許曉慧等[13]提出了基于P-圖理論的組合算法，將Douglas的階層分解法[25]、基于剩余曲線圖的啟發(fā)式方法與P-圖的MSG算法相結(jié)合，自動(dòng)產(chǎn)生分離過(guò)程的嚴(yán)格超結(jié)構(gòu)，用于普通精餾和共沸精餾分離過(guò)程。

2.2 反應(yīng)路徑識(shí)別

反應(yīng)路徑識(shí)別一般指在已知起始反應(yīng)物、終產(chǎn)物、可能的中間產(chǎn)物和一系列基元反應(yīng)的條件下，確定滿足熱力學(xué)（thermodynamic feasibility）或動(dòng)力學(xué)（kinetic desirability）指標(biāo)的宏觀反應(yīng)，并達(dá)到潛在經(jīng)濟(jì)條件的最優(yōu)。

由于組成宏觀反應(yīng)的基元反應(yīng)數(shù)量較多，使得枚舉類方法出現(xiàn)組合爆炸，最終導(dǎo)致問(wèn)題在有限時(shí)間內(nèi)難以求解。P-圖理論的公理約束主要用于減少完全超結(jié)構(gòu)中不可行的子結(jié)構(gòu)，于是Seo等[26]利用這一特性，提出了針對(duì)可行反應(yīng)路徑的6條公理約束以及組合反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的7條公理約束，并給出對(duì)應(yīng)的RPIMSG（reaction path identification maximal structure generation）算法和RPISSG（reaction path identification solution structure generation）算法[27]。利用這一方法，將可行解的數(shù)量由4782968個(gè)減少為46個(gè)。在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)an等[28]又提出RPIRSG和NX算法，用來(lái)進(jìn)一步加速子問(wèn)題的生成。

同理，很多催化反應(yīng)包含能量最優(yōu)（energetically favorable）和化學(xué)計(jì)量數(shù)最優(yōu)（stoichiometrically feasible）的反應(yīng)路徑，如水汽轉(zhuǎn)換反應(yīng)[29]、Fischer-Tropsch反應(yīng)[30]、甲醇降解[31]等，利用上述基于P-圖的方法，均可以在幾秒之內(nèi)得到可行解。

此外，F(xiàn)an等[32]以乙烯加氫反應(yīng)為例，將P-圖理論用于識(shí)別多位點(diǎn)催化反應(yīng)的可行路徑，圖7表示在不同機(jī)理下，H2和C2H4反應(yīng)生成C2H6的反應(yīng)路徑P-圖超結(jié)構(gòu)，圖中黑實(shí)線和與其相連的弧表示一個(gè)可能的基元反應(yīng)，例如，S11表示原料H2和中間產(chǎn)物l1經(jīng)過(guò)基元反應(yīng)S11得到中間產(chǎn)物Hl1的過(guò)程。某些中間產(chǎn)物既可能由多個(gè)基元反應(yīng)產(chǎn)生，也可能是多個(gè)基元反應(yīng)的原料，在P-圖中，不僅可以清晰地表達(dá)出這些基元反應(yīng)之間的邏輯關(guān)系，還可以自動(dòng)有序地生成它們的組合，即反應(yīng)路徑超結(jié)構(gòu)。最終的反應(yīng)路徑就是在特定約束下若干個(gè)基元反應(yīng)的組合，也就是該超結(jié)構(gòu)的一部分。Fan等通過(guò)RPIMSG算法減少了完全超結(jié)構(gòu)中不可行的子結(jié)構(gòu)，大大縮短了計(jì)算時(shí)間，并發(fā)現(xiàn)每個(gè)可行反應(yīng)路徑中都包含一個(gè)共同的限速步驟，進(jìn)而為多位點(diǎn)催化劑的設(shè)計(jì)提供一定的指導(dǎo)。在此基礎(chǔ)上，Yun等[33]又將其用于熱力學(xué)主導(dǎo)的生物反應(yīng)可行路徑的識(shí)別過(guò)程中，進(jìn)一步拓展了P-圖理論這一高效圖論算法的應(yīng)用范圍。

2.3 換熱網(wǎng)絡(luò)綜合

在一個(gè)含換熱過(guò)程的網(wǎng)絡(luò)綜合中，可以通過(guò)提取冷熱流股信息，利用夾點(diǎn)技術(shù)或者數(shù)學(xué)規(guī)劃法進(jìn)行換熱過(guò)程綜合，這類方法一般不考慮分離過(guò)程的變化。Nagy等[34]將分離網(wǎng)絡(luò)綜合（separation network synthesis，SNS）與換熱網(wǎng)絡(luò)綜合（heat exchanger network synthesis, HENS）同時(shí)考慮，提出了基于P-圖理論的組合方法，并在原P-圖理論的基礎(chǔ)上，提出了hP-圖，來(lái)分析不同溫位的熱量對(duì)分離效果的影響。目標(biāo)函數(shù)為設(shè)備費(fèi)用與操作費(fèi)用的和，使用ABB算法求解，并以甲苯加氫脫烷基化的生產(chǎn)案例驗(yàn)證了該方法的有效性。

Heckl等[35]在hP-圖的基礎(chǔ)上，增加了冷熱流股之間的熱量交換匹配，并在分離網(wǎng)絡(luò)中考慮多種分離特性（揮發(fā)性、溶解性、滲透性等），對(duì)包含混合器、分配器、分離器、公用工程及換熱器在內(nèi)的設(shè)備費(fèi)用進(jìn)行計(jì)算，并以年度費(fèi)用最小作為目標(biāo)，將只能生產(chǎn)單一產(chǎn)品的原過(guò)程網(wǎng)絡(luò)，擴(kuò)展為可生產(chǎn)多種產(chǎn)品的分離網(wǎng)絡(luò)。

后來(lái)，F(xiàn)riedler等[36]又提出了含多階段（multi period）操作的換熱網(wǎng)絡(luò)綜合，隨著換熱器、分離器、混合器數(shù)目的增加，超結(jié)構(gòu)中的組合復(fù)雜度呈指數(shù)增長(zhǎng)，利用P-圖理論ABB多項(xiàng)式時(shí)間算法，生成嚴(yán)格超結(jié)構(gòu)的同時(shí)，可以極大地降低問(wèn)題的計(jì)算復(fù)雜度。

2.4 工藝路線選擇

除了以上傳統(tǒng)方向外，近年來(lái)，P-圖理論還被應(yīng)用于一些新興的過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合研究方向上。隨著過(guò)程工藝數(shù)量的增多，從原料到產(chǎn)品的工藝路線選擇也成為過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合的一個(gè)重要課題。

Halasz等[37]利用P-圖對(duì)可再生的生物質(zhì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模，提出了從原料（生物飼料）到產(chǎn)品（乳酸、氨基酸、纖維、電能）的工藝流程選擇方案，并給出不同生產(chǎn)能力下對(duì)應(yīng)投資費(fèi)用的近似關(guān)聯(lián)。在此基礎(chǔ)上，Lam等[38]提出基于P-圖的多層次網(wǎng)絡(luò)，對(duì)開(kāi)放結(jié)構(gòu)的生物質(zhì)網(wǎng)絡(luò)綜合問(wèn)題進(jìn)行處理，將生物質(zhì)利用網(wǎng)絡(luò)分為供應(yīng)區(qū)域、集散中心、過(guò)程加工區(qū)域和消費(fèi)區(qū)域這4個(gè)層級(jí)，并允許多個(gè)生物質(zhì)原料在不同層級(jí)之間相互轉(zhuǎn)移，進(jìn)而利用P-圖構(gòu)建生物質(zhì)利用網(wǎng)絡(luò)的超結(jié)構(gòu)，其中子問(wèn)題的MILP模型在GAMS（general algebraic modeling system）平臺(tái)中使用Cplex求解，目標(biāo)函數(shù)為整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的利潤(rùn)最大化。Halasz等[39]又進(jìn)一步將P-圖用于工業(yè)園區(qū)內(nèi)生成可再生資源利用網(wǎng)絡(luò)的超結(jié)構(gòu)中，并對(duì)園區(qū)附加值最大化與環(huán)境影響最小化之間的權(quán)衡進(jìn)行了初步探索。結(jié)合已有的P-圖理論，Kettl等[40]開(kāi)發(fā)了RegiOpt軟件，用來(lái)優(yōu)化在某一工業(yè)區(qū)域內(nèi)，能量供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)生產(chǎn)策略，并減少生產(chǎn)中排放物對(duì)環(huán)境的影響。

對(duì)含有燃料電池組合循環(huán)（fuel cell combined cycles, FCCC）的能量轉(zhuǎn)化系統(tǒng)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)性評(píng)價(jià)，是組合復(fù)雜度較為顯著的一類問(wèn)題，使用混合整數(shù)規(guī)劃（mixed integer programming, MIP）不能很方便地處理，根據(jù)P-圖可以同時(shí)生成多個(gè)次優(yōu)解的特性，Varbanov等[41]做出了不同工藝路線下，對(duì)應(yīng)經(jīng)濟(jì)性和環(huán)境影響兩因素的靈敏度分析，并通過(guò)P-圖的公理約束和相關(guān)算法有效地解決了這類問(wèn)題。Tan等[42]利用P-圖理論確定多產(chǎn)品工廠的最優(yōu)操作策略，并以某區(qū)域熱電廠生產(chǎn)為例，提供了一種與混合整數(shù)線性規(guī)劃（MILP）等價(jià)的生產(chǎn)優(yōu)化方案。此外，在復(fù)雜工藝路線的運(yùn)行過(guò)程中存在效率和安全性之間的權(quán)衡，氣候變化、供水、功能及庫(kù)存變化對(duì)整個(gè)工藝路線的正常運(yùn)行都有一定影響，所以備選操作方案的準(zhǔn)備是工藝過(guò)程設(shè)計(jì)的另一個(gè)重要任務(wù)，于是Tan等[43]利用P-圖可以生成多個(gè)可行解的特點(diǎn)，來(lái)優(yōu)化緊急工況下工藝操作的調(diào)整方案。Losada等[44]和How等[45]還將P-圖分別用于甲苯合成苯甲醛工藝路線優(yōu)化和生物質(zhì)網(wǎng)絡(luò)回路設(shè)計(jì)。

P-圖理論的MSG算法可以自動(dòng)產(chǎn)生分離過(guò)程的嚴(yán)格超結(jié)構(gòu)，基于該算法，Xu等[46]又結(jié)合層次分解法和現(xiàn)象驅(qū)動(dòng)的設(shè)計(jì)，提出了新的組合方法，并將其應(yīng)用于生物發(fā)酵下游產(chǎn)品分離過(guò)程中。

在之前的工藝路線綜合中，一般均是單一周期的操作，即在某個(gè)計(jì)算周期內(nèi)，操作條件和操作單元的負(fù)載保持不變，但實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中可能存在生產(chǎn)隨季節(jié)發(fā)生波動(dòng)的工況。2015年，Heckl等[47]將P-圖理論擴(kuò)展到含多階段操作的過(guò)程綜合中，通過(guò)虛擬流股連接多個(gè)不同的操作周期，可以實(shí)現(xiàn)不同季節(jié)間的生產(chǎn)操作優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上，Tan等[48]將不同的設(shè)備規(guī)模也考慮在多周期操作的工藝路線綜合中。

2.5 供應(yīng)鏈與資源調(diào)度

P-圖也是一種高效的企業(yè)級(jí)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)工具[49]，相比于數(shù)學(xué)規(guī)劃法，在P-圖中非常容易添加語(yǔ)義與邏輯約束，而且生成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)魯棒性較好。此外，借助P-圖可以同時(shí)生成多個(gè)可行解的特點(diǎn)，可以方便地生成一系列候選供應(yīng)方案，并將經(jīng)濟(jì)性以外的因素綜合考慮在內(nèi)，因此非常適合業(yè)務(wù)迅速變化的小型企業(yè)。

在設(shè)計(jì)柴油供應(yīng)鏈時(shí)，多個(gè)候選方案便于在緊急情況下迅速切換，以保證柴油供應(yīng)的穩(wěn)定性，所以Kim等[50]借助P-圖可以生成多個(gè)可行解這一特點(diǎn)來(lái)完成柴油供應(yīng)鏈設(shè)計(jì)；Bertok等[51]在含有調(diào)和與運(yùn)輸過(guò)程的生物柴油供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，通過(guò)備用方案的建立，提高了整個(gè)供應(yīng)鏈的可靠性。Heckl等[52]將P-圖用于綜合考慮能量、水、供給物連接關(guān)系的可持續(xù)供應(yīng)鏈設(shè)計(jì)，相比于用電能或天然氣，利用可再生能源可以降低17%費(fèi)用，并且能夠明顯降低生態(tài)足跡（ecological footprint）和能值（energy）。此外，Ng等[53]在研究生物能量供應(yīng)鏈時(shí)，提出同時(shí)考慮費(fèi)用最小和供應(yīng)鏈風(fēng)險(xiǎn)的雙目標(biāo)模型，并利用P-圖ABB算法，批量產(chǎn)生包含最優(yōu)解在內(nèi)的一系列可行解。

此外，除了可以將過(guò)程流程直接轉(zhuǎn)換成P-圖建模外，還可以將P-圖作為過(guò)程的工作流建模工具（workflow modeling）[54]，進(jìn)而快速構(gòu)建出包含事件、狀態(tài)變化的抽象模型。

如車輛調(diào)度問(wèn)題就是尋求滿足一定時(shí)間、空間約束的最優(yōu)車輛行駛路線，圖8是車輛運(yùn)輸調(diào)度過(guò)程的P-圖超結(jié)構(gòu)表示，在該超結(jié)構(gòu)中，由上至下表示時(shí)間的推移與運(yùn)輸任務(wù)的進(jìn)度，黑實(shí)線表示每輛卡車可能的運(yùn)輸事件，中間的實(shí)心圓表示卡車在不同時(shí)間點(diǎn)所在的位置，如卡車R1可以先在Tihany完成P1任務(wù)，再在8: 40之前趕去Veszprem完成P3任務(wù)；也可以直接趕去Veszprem執(zhí)行P3任務(wù)，而P1任務(wù)由其他卡車完成。該運(yùn)輸過(guò)程不僅存在調(diào)度任務(wù)的編排，還要考慮到卡車行駛過(guò)程中的CO2排放對(duì)環(huán)境的影響，于是在P-圖中可以增加CO2這一特殊原料集合，用來(lái)計(jì)算整個(gè)過(guò)程的CO2排放總量，這樣，就借助P-圖描述一個(gè)具有多影響因素的優(yōu)化問(wèn)題。利用SSG算法產(chǎn)生多個(gè)近優(yōu)解的特點(diǎn)，Barany等[55]將費(fèi)用最小作為主優(yōu)化目標(biāo)，將CO2排放量作為次優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)成多目標(biāo)優(yōu)化，進(jìn)而得到包含CO2排放的車輛分配與調(diào)度方案，從表1中可以發(fā)現(xiàn)，從運(yùn)輸費(fèi)用角度考慮，路線3比路線4更好，但是從CO2排放的角度，路線4碳排量更小，更加環(huán)保。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[56]增加了約束的上下限，并考慮了車輛運(yùn)輸過(guò)程中的其他活動(dòng)以及對(duì)應(yīng)的固定費(fèi)用，使結(jié)果更接近真實(shí)的調(diào)度問(wèn)題。此外，在解決含維護(hù)計(jì)劃的車輛調(diào)配問(wèn)題時(shí)，Adonyi等[57]利用P-圖對(duì)車輛行程進(jìn)行離散時(shí)間建模，證明了在車輛平均使用年數(shù)過(guò)長(zhǎng)而且經(jīng)常存在故障的公交體系中，定期維護(hù)可以明顯降低整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)營(yíng)費(fèi)用。

表1 考慮CO2排放的運(yùn)輸過(guò)程優(yōu)化路線[55]

3 P-圖理論與數(shù)學(xué)規(guī)劃法的比較

表2從理論基礎(chǔ)、建模思想、計(jì)算復(fù)雜度及各自擅長(zhǎng)的問(wèn)題類型等方面對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)劃法和P-圖理論進(jìn)行比較。從表2中可以看出，兩種方法均可以解決過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合問(wèn)題，在網(wǎng)絡(luò)超結(jié)構(gòu)的構(gòu)建與求解效率上，P-圖更具有優(yōu)勢(shì)，而在處理非線性較強(qiáng)、不易圖形化的過(guò)程綜合問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)規(guī)劃法仍具有不可替代的作用。

表2 P-圖理論與數(shù)學(xué)規(guī)劃法比較

Table 2 Comparison between P-graph theory and mathematical programming

項(xiàng)目數(shù)學(xué)規(guī)劃法P-圖理論 理論基礎(chǔ)代數(shù)理論圖論 超結(jié)構(gòu)建立一般手動(dòng)構(gòu)建自動(dòng)生成嚴(yán)格超結(jié)構(gòu) 邏輯約束部分求解器支持支持 計(jì)算復(fù)雜度與模型和結(jié)構(gòu)相關(guān)一般為線性 建模思想將問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)表達(dá)式原問(wèn)題直接圖形建模 問(wèn)題類型MILP/MINLP通常MILP 適用范圍各類過(guò)程綜合問(wèn)題含網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的過(guò)程綜合 求解結(jié)果一般是唯一解最優(yōu)解+一系列可行解 結(jié)果分析代數(shù)結(jié)果繪制圖形直觀圖形結(jié)果

雖然P-圖理論已經(jīng)在過(guò)程網(wǎng)絡(luò)綜合中有了一定的應(yīng)用，但是由于其難以求解非線性問(wèn)題，相比于基于代數(shù)理論的數(shù)學(xué)規(guī)劃法而言，還存在一些不足。

4 P-圖理論的非線性改進(jìn)思路

在P-圖理論的已有基礎(chǔ)上，可以將工程上常見(jiàn)的非線性關(guān)系統(tǒng)一表示為輸入-輸出形式，這類非線性主要指某個(gè)（某些）輸入量與輸出量之間存在非線性關(guān)聯(lián)。在此類非線性關(guān)系中，將輸入變量作為自變量，輸出變量為因變量，使用方程()來(lái)表示輸入與輸出的關(guān)系，如圖9所示。

針對(duì)該類非線性問(wèn)題，一種可行的解決思路如下，其求解流程如圖10所示。

（1）確定PNS問(wèn)題類型，定義待解決的問(wèn)題，并將其抽象為網(wǎng)絡(luò)表述；

（2）在P-圖輔助建模工具P-graph Studio中，構(gòu)建已有PNS問(wèn)題的超結(jié)構(gòu)；

（3）借助MSG算法，確定出該P(yáng)NS問(wèn)題的最大網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（rigorous superstructure）；

（4）確定設(shè)備約束層中的設(shè)備參數(shù)以及線性/非線性的輸入輸出關(guān)系；

（5）生成待處理的模型輸入文件（.in文件）；

（6）診斷該模型中是否存在非線性關(guān)系，如果不存在則直接選擇合適的計(jì)算方法（ABB或SSG+LP）調(diào)用pns_solver求解并得到最終結(jié)果文件（.out文件），并跳至步驟（10）；如果存在非線性關(guān)系，則執(zhí)行步驟（7）；

（7）使用外部程序?qū)σ延心Ｐ椭蟹蔷€性關(guān)系進(jìn)行分段線性化處理，生成一系列子模型，并生成對(duì)應(yīng)輸入文件（.in文件）；

（8）使用外部程序調(diào)用pns_solver，選擇合適的計(jì)算方法（ABB或SSG+LP）批量求解已生成的子模型，并將子模型的求解結(jié)果輸出到中間結(jié)果文件（.out文件）；

（9）調(diào)用外部程序比較每個(gè)子模型結(jié)果的求解結(jié)果，并找出最優(yōu)的求解結(jié)果，輸出到最終結(jié)果文件（.out文件）；

（10）將結(jié)果返回給P-graph Studio，得到最優(yōu)的工藝路線方案。

5 結(jié)論與展望

綜上所述，P-圖理論能夠?yàn)镻NS問(wèn)題的有效解決提供理論框架，相比于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃法，P-圖為使用者提供了一個(gè)友好的圖形建模環(huán)境，即使在沒(méi)有充足建模背景知識(shí)的情況下，借助MSG算法和公理約束，依然能夠生成一個(gè)過(guò)程網(wǎng)絡(luò)的嚴(yán)格超結(jié)構(gòu)，而且在進(jìn)行過(guò)程網(wǎng)絡(luò)建模時(shí)，可以方便地加入邏輯約束，進(jìn)而減小組合問(wèn)題的搜索空間。所以，P-圖理論更適合應(yīng)用在含有決策系統(tǒng)的過(guò)程網(wǎng)絡(luò)中。

在問(wèn)題求解方面，P-圖理論已經(jīng)形成了成熟的求解算法，與數(shù)學(xué)規(guī)劃的求解流程不同，SSG算法可以給出超結(jié)構(gòu)中的所有可行子結(jié)構(gòu)，ABB算法可以在生成最優(yōu)解的同時(shí)，保留該問(wèn)題的一系列次優(yōu)解和對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，方便在費(fèi)用最小這一目標(biāo)下將其他因素也考慮在內(nèi)。

目前，P-圖理論內(nèi)部還只能處理線性問(wèn)題，對(duì)于含有非線性約束的過(guò)程，可以參考本文第4節(jié)提出的方法處理，或者轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法來(lái)解決。在下一階段，可以對(duì)P-圖理論與數(shù)學(xué)規(guī)劃進(jìn)行優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，數(shù)學(xué)規(guī)劃可以作為P-圖的一個(gè)外置模塊，從而增加對(duì)非線性問(wèn)題的處理能力。此外，還可以將P-圖模型做成一個(gè)數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)的獨(dú)立模塊，針對(duì)輸入數(shù)據(jù)的變化，動(dòng)態(tài)地給出優(yōu)化結(jié)果。

在未來(lái)，利用P-圖理論，可以在一個(gè)工藝建模過(guò)程中，同時(shí)考慮經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、安全等多個(gè)目標(biāo)因素。在應(yīng)用領(lǐng)域方面，P-圖理論的應(yīng)用會(huì)逐漸拓展到水網(wǎng)絡(luò)綜合、新型清潔能源的利用、過(guò)程操作控制等過(guò)程工業(yè)的其他領(lǐng)域。

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Progress of research and application of P-graph theory in process network synthesis

XIAO Wu, ZHANG Yi, LüJunfeng, LI Zhonghua, HE Gaohong

(State Key Laboratory of Fine Chemicals, Research and Development Center of Membrane Science and Technology, Dalian University of Technology, Dalian 116024, Liaoning, China)

With upsizing, complexifying and unifying in modern petro-chemical systems, the combined complexity among streams of mass, energy and information as well as among unit operations keeps increasing exponentially. P-graph theory has found widespread applications by generation of rigorous superstructures as a result of axiom constraints which may reduce creation of redundant structures. This review on P-graph theory began with the mathematical definition, fundamental axioms, solution algorithms and workflow, and a case study to show the modeling framework and graphic representation. A literature study of past 20 years’ publications systemically summarized application of P-graph theory in traditional process system engineering of separation network synthesis, reaction path synthesis and heat exchange synthesis, and recent expansion in new areas of process technology selection, supply chain and process optimization. The advantages and disadvantages of P-graph theory and mathematical programming were compared, and improving ideas were proposed to solve nonlinear problems with P-graph theory. The prospective research and application of P-graph theory were forecasted, including multi-objective optimization in consideration of economic and environmental factors, effective solution of large complex nonlinear programming problems by the combination of both P-graph and mathematical programming, and other potential applications.

P-graph; process network synthesis; system engineering; model; optimization

2016-02-02.

Prof. HE Gaohong, hgaohong@dlut.edu.cn

10.11949/j.issn.0438-1157.20160154

TQ 021.8

A

0438—1157（2016）10—4029—11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（21206014, 21125628, 21527812）；國(guó)家留學(xué)基金項(xiàng)目（201506060258）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金項(xiàng)目（DUT14LAB14）；中國(guó)石油化工股份有限公司資助項(xiàng)目（X514001）；教育部長(zhǎng)江學(xué)者獎(jiǎng)勵(lì)計(jì)劃項(xiàng)目。

2016-02-02收到初稿，2016-07-08收到修改稿。

聯(lián)系人：賀高紅。第一作者：肖武（1977—），男，博士，副教授。

supported by the National Natural Science Foundation of China (21206014, 21125628, 21527812), the Project of China Scholarship Council (201506060258), the Fundamental Research Funds for the Central Universities (DUT14LAB14), the Project of the China Petroleum and Chemical Corporation (X514001) and the Changjiang Scholars Program.