王　維，張清棟

（中國民航大學機場學院，天津　300300）

基于灰色馬爾可夫方法的機場FOD事件預(yù)測

王維，張清棟

（中國民航大學機場學院，天津300300）

航空器外來物損傷事件（FOD）具有原因復(fù)雜、隨機發(fā)生等特點，因此很難用一般方法進行預(yù)測。采用灰色馬爾可夫方法對機場未來一定時間序列航空器外來物損傷事件進行預(yù)測，建立灰色馬爾可夫預(yù)測模型，實例分析表明灰色理論預(yù)測值恰好位于馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率的預(yù)測區(qū)間內(nèi)，驗證表明，預(yù)測結(jié)果具有較好的準確性并且該方法具有很好的適用性，能為機場航空器損傷事件的預(yù)防管理提供必要的數(shù)據(jù)支持。

機場；預(yù)測模型；灰色馬爾可夫；航空器FOD事件；評價方法

隨著中國民航業(yè)的快速發(fā)展，民航安全越來越受到各方關(guān)注，航空器的安全運行變得尤為重要。目前威脅航空器地面安全運行的原因之一是機場道面外來物FOD（foreign object debris）。FOD的種類非常多，如飛機和發(fā)動機的連接件（螺帽、螺釘、墊圈、保險絲等）、機械和修理工具、飛行行李物品、鑰匙鎖扣、野生動物、樹葉、石頭和沙子、道面破損材料、木塊、塑料或聚乙烯材料、紙制品、飛行區(qū)的冰碴等［1-2］。這些物件可能小到不起眼，卻嚴重威脅航空器和人員的安全，輕則損傷航空器，重則造成機毀人亡的嚴重事故。

航空器FOD損傷事件每年給全球航空業(yè)造成至少135億美元的直接或間接經(jīng)濟損失［3］。巨大的人員傷亡風險和經(jīng)濟損失引起了國際航空業(yè)對FOD風險管理的高度重視［4］。為解決對FOD預(yù)測防范的實際問題，各國都加強了相關(guān)技術(shù)和預(yù)防管理的研究，并取得了一定的成果［5］。然而并沒有相關(guān)研究結(jié)合了某種理論，對FOD的航空器損傷事件進行預(yù)測并得出科學的預(yù)測數(shù)據(jù)，從而給機場的預(yù)測管理提供參考依據(jù)。

灰色理論和馬爾可夫鏈都可以對未來時變序列進行預(yù)測［6-7］，然而航空器FOD損傷事件受到其他許多因素的影響，并且事件發(fā)生具有很大的波動性，F(xiàn)OD的產(chǎn)生也是動態(tài)的時變事件，單獨使用這兩種方法導致預(yù)測結(jié)果精確度偏低［8］，沒有參考價值。使用兩種方法的灰色馬爾可夫預(yù)測模型，將灰色理論航空器FOD事件的時變趨勢和馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移狀態(tài)進行結(jié)合，具有可靠預(yù)測結(jié)果和精度。

1　灰色馬爾可夫理論

1.1灰色系統(tǒng)和馬爾可夫系統(tǒng)

機場航空器FOD損傷事件具有很大的隨機性和不確定性，即存在著不明的“灰色”空間，故可使用灰色系統(tǒng)進行預(yù)測。

灰色系統(tǒng)GM（1，1）將隨機變量都視為灰色變量、隨機過程視為灰色過程，因而不需要大量歷史數(shù)據(jù)［9］?；疑灸Ｐ屯ㄟ^時序數(shù)據(jù)累加，濾掉原始序列中可能的隨機量，從上下波動的時間序列中尋找某種隱含的規(guī)律性，進而得到隨機性弱化而規(guī)律性增強的新數(shù)列，從而挖掘出原始序列的內(nèi)在特征［10］?；疑A(yù)測使用累加或累減的方法容易產(chǎn)生誤差，加上航空器FOD損傷事件的波動性，使其預(yù)測結(jié)果精度偏低。

馬爾可夫系統(tǒng)是時間、狀態(tài)均離散的隨機過程。其特點是無后效性，即時刻t的狀態(tài)只與前一時刻狀態(tài)有關(guān)，而與前面其它各時間狀態(tài)無關(guān)［11］。機場道面FOD的發(fā)生以及FOD航空器損傷事件是隨時間變化的動態(tài)系統(tǒng)，和機場道面過去狀態(tài)無關(guān)，其發(fā)生是隨機的非平穩(wěn)過程，而馬爾可夫鏈可描述這種具有隨機波動特點的動態(tài)系統(tǒng)。該方法是根據(jù)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來預(yù)測系統(tǒng)未來的發(fā)展變化。

1.2灰色馬爾可夫理論

灰色模型和馬爾可夫模型都可用于時間序列預(yù)測問題［12］?；疑A(yù)測曲線呈單調(diào)遞增或單調(diào)遞減趨勢，可反映總體的變化趨勢［13］。馬爾可夫模型根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率大小推測系統(tǒng)未來發(fā)展方向，而轉(zhuǎn)移概率反映了各種隨機因素的影響，因而適合于隨機波動大的時間序列預(yù)測問題。因此，上述兩種方法具有較好的互補性，結(jié)合使用能有效提高預(yù)測準確性。

灰色馬爾可夫模型的構(gòu)建方法：首先根據(jù)前n年的歷史航空器FOD事件的數(shù)據(jù)建立GM（1，1）預(yù)測模型，進行第1步預(yù)測；然后利用GM（1，1）預(yù)測值與實際歷史數(shù)據(jù)的差值建立馬爾可夫多步轉(zhuǎn)移概率矩陣模型，利用前n年的初始狀態(tài)信息及相應(yīng)的多步轉(zhuǎn)移概率和，推測下一時間序列所處狀態(tài)，最后根據(jù)馬爾可夫模型預(yù)測狀態(tài)對GM（1，1）模型預(yù)測值進行修正并進行精度計算和適用性驗證。

2　灰色馬爾可夫模型

2.1預(yù)測模型建立

FOD對航空器產(chǎn)生的損傷事件具有不確定性，通過借助累加法來建立模型找出其內(nèi)在規(guī)律，設(shè)原始事件數(shù)據(jù)序列為t=1，2，…，n，則

其中：x（0）（t）為事件數(shù)，計算X（0）的一次累加生成序列

其中：x（1）（t）為x（0）（t-1）+x（0）（t）累加數(shù)據(jù)，t=1，2，…，n-1。構(gòu)建下述一階線性微分方程，旨在獲得序列X（1）的規(guī)律性

其中：參數(shù)a、u為待定系數(shù)，可由最小二乘法求解。

將微分方程對時間序列t=1，2，…，n進行差分，得到以下線性方程組

若方程個數(shù)大于未知參數(shù)個數(shù)而無解，則按最小二乘法，求滿足

的最小二乘解，其中B、Y為計算矩陣，b為待定系數(shù)，可得

經(jīng)過計算可求得微分方程的解為

若為離散形式，則為

基于此，可對累加生成序列X（1）進行預(yù)測。原始序列X（0）可由X（1）累減生成，即

結(jié)合馬爾可夫理論，將GM（1，1）預(yù)測擬和值與實際值的相對誤差分布情況建立狀態(tài)劃分標準，如表1所示。

表1　狀態(tài)劃分標準Tab.1　Standard of state classification

計算X（1）預(yù)測序列的差值Δx（1）為

根據(jù)機場航空器FOD損傷事件的灰色馬爾可夫模型，未來k時刻（或t時間）原始數(shù)據(jù)預(yù)測值為

結(jié)合預(yù)測狀態(tài)值和馬爾可夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率方法計算出預(yù)測量區(qū)間，并取預(yù)測區(qū)間的中間值進行修正得出最終預(yù)測數(shù)據(jù)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率假設(shè)為A，假定某事件發(fā)生狀態(tài)可能有n種，則當前狀態(tài)轉(zhuǎn)移到未來狀態(tài)的概率Aij（i，j=1，2，…，n）。構(gòu)造的矩陣為

計算方法是通過構(gòu)造的矩陣，根據(jù)轉(zhuǎn)移概率得出馬爾可夫鏈的預(yù)測區(qū)間，設(shè)區(qū)間為則有

2.2預(yù)測模型適用性驗證

在應(yīng)用灰色馬爾可夫模型解決機場航空器FOD損傷事件預(yù)測問題時，需要檢驗原始數(shù)據(jù)和隨機變量是否具有馬爾可夫特性，即驗證是否適合使用這一模型。首先定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率：在事件的發(fā)展變化過程中，從某一種狀態(tài)出發(fā)，下一時刻轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)的可能性，稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。

令｛x1，x2，…，xn｝為馬爾可夫指標序列，具有m個狀態(tài)，即E=｛1，2，…，m｝，用fij表示指標值從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的頻數(shù)，i，j∈E，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率記為Pij，即

針對預(yù)測模型的適用性，可使用χ2卡方統(tǒng)計量來進行檢驗。將構(gòu)造的轉(zhuǎn)移矩陣的第j列的和除以所有行列之和的比值叫做邊際概率，記為Pj，當序列n足夠大時，χ2統(tǒng)計量為

服從自由度為（m-1）2的χ2分布。在指定的顯著性水平條件下，設(shè)為α，查表可得的值，然后可得出χ2統(tǒng)計量的值。比較χ2和的值可得出預(yù)測模型的適用性，若則說明模型具有良好的適用性。

3　預(yù)測結(jié)果評價

預(yù)測模型檢驗方法可采用：殘差檢驗法、關(guān)聯(lián)度檢驗法和后驗差檢驗法等3種方法［14］。本預(yù)測模型采用檢驗精度較高的后驗差檢驗方法，具體步驟如下：

1）計算實測值與預(yù)測值的殘差和殘差相對值，殘差序列為ε（0）（k）（k=1，2，3，…）

2）計算殘差序列ε（0）（k）的方差S1和均值及原始序列X（0）（k）的方差S2；

3）計算ε（0）（k）和X（0）（k）序列的方差比值即驗差比值C及小誤差概率P，即

給定P0＞0，當P＞P0時，小誤差概率即有不同的精度等級。綜上可根據(jù)表2判斷灰色馬爾可夫模型的預(yù)測精度。

表2　預(yù)測精度Tab.2　Accuracy of predictng results

如果預(yù)測精度不合格或者勉強合格，須對預(yù)測模型進行修正。修正方法是利用已求殘差重構(gòu)灰色馬爾可夫預(yù)測模型，求殘差預(yù)測值，并將其與原始序列預(yù)測值相累加，以補償原始序列預(yù)測值，進而提高預(yù)測精度。

4　算例

本文以新疆烏魯木齊機場FOD對航空器損傷（主要統(tǒng)計輪胎扎傷）事件的統(tǒng)計數(shù)據(jù)為例，對未來機場航空器FOD傷害事件進行預(yù)測并檢驗預(yù)測結(jié)果，以驗證模型的適用性。統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表3所示（統(tǒng)計年份為2013年1月—2014年6月，各月按月度順序編號，2013年1月即為序號1，2月即為序號2。所有月份編排序號為1～18）。

由上表生成原始數(shù)據(jù)序列

表3　統(tǒng)計數(shù)據(jù)表Tab.3　Statistical data

對數(shù)據(jù)進行累加得到新的數(shù)據(jù)序列

計算｛x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（18）｝數(shù)據(jù)序列的差值Δx（1）

建立矩陣

根據(jù)馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率計算預(yù)測區(qū)間，取預(yù)測區(qū)間的中間值進行預(yù)測結(jié)果的修正，預(yù)測2014年1月數(shù)據(jù)，區(qū)間為

表4　馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率預(yù)測區(qū)間Tab.4　Prediction interval of Markov transition probability

結(jié)合上述結(jié)果，可得到2014年1月及以后月份的預(yù)測值，2014年1月份對應(yīng)序號13，以此類推，經(jīng)過修正后的預(yù)測結(jié)果和實際值對比如圖1所示。

圖1　預(yù)測值與實際值的比較Fig.1　Comparison of predictive value and original data

可以發(fā)現(xiàn)，預(yù)測值和實際值的趨勢是比較接近的。預(yù)測結(jié)果分析如表5所示。

表5　預(yù)測結(jié)果分析Tab.5　Prediction data analysis

對灰色馬爾可夫模型的適用性進行檢驗，取顯著性水平α=0.05，計算得到因此可以適用該方法。

5　結(jié)語

本文預(yù)測方法采用灰色模型和馬爾可夫鏈相結(jié)合的方法，驗證表明：

1）該方法建立的優(yōu)化數(shù)學模型更加接近實際情況，采用的灰色馬爾可夫方法能夠體現(xiàn)機場FOD對航空器損傷事件的波動性和不確定性。

2）對于機場航空器FOD損傷事件這個既有白色信息又有黑色信息的復(fù)雜系統(tǒng)，考慮使用灰色預(yù)測值和狀態(tài)轉(zhuǎn)移區(qū)間值落點判斷的方法，構(gòu)造二者結(jié)合的灰色馬爾可夫模型，得出的預(yù)測數(shù)據(jù)較符合客觀趨勢，并且模型預(yù)測精度良好。

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（責任編輯：楊媛媛）

Airport FOD incident prediction based on Grey-Markov method

WANG Wei，ZHANG Qingdong
（Airport Engineering College，CAUC，Tianjin 300300，China）

Causes of aircraft FOD incidents are complex and random，so it is difficult to use general method to predict incident.Grey-Markov method is used to predict aircraft FOD incidents in future sequence and Grey-Markov prediction model is established，the calculation result shows that grey theory predicting data just locate in Markov chain prediction interval.The prediction result is proved accurate and the method is applicable，which can provide necessary statistical support for airport FOD prevention management.

airport；prediction model；Grey-Markov；aircraft FOD incident；evaluation method

V351.11

A

1674-5590（2016）03-0028-05

2015-07-02；

2015-09-20基金項目：中國民航大學波音技術(shù)挑戰(zhàn)項目（20140159204）

王維（1960—），男，河北豐南人，教授，碩士，研究方向為機場工程.