周紅柏

在解析幾何中，經(jīng)常遇到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和與差的最值問(wèn)題，此類問(wèn)題的條件是動(dòng)點(diǎn)在某條定曲線上，定點(diǎn)往往有分布在曲線同側(cè)或者異側(cè)，曲線有封閉型或者非封閉型，距離又有和或差，最值也有最大或最小，所以看似解法各異，解法靈活，實(shí)則是同類問(wèn)題，這類問(wèn)題的根本解決之道是同側(cè)化異側(cè)，異側(cè)化同側(cè)，再應(yīng)用三角形的基本性質(zhì)“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”加以解決，通用模式為：設(shè)A，B為兩定點(diǎn)，P為

評(píng)注例l涉及直線上一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)距離之和（差）的最值問(wèn)題，此類問(wèn)題的求解通常分為兩步：（1）求其中一定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)；（2）再求這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)的距離即為所求最值；如果涉及求最值時(shí)動(dòng)點(diǎn)位置，則聯(lián)立對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)所在直線方程和題中所給定直線求交點(diǎn)即為所求，

變式l看似涉及到兩個(gè)根式函數(shù)和的最值問(wèn)題，如果通過(guò)函數(shù)去求解，那會(huì)利用到導(dǎo)數(shù)，而且計(jì)算量較大；而通過(guò)轉(zhuǎn)化為一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和的最值問(wèn)題，再利用對(duì)稱求解即可，

變式2看似是兩個(gè)定圓上的動(dòng)點(diǎn)與一個(gè)動(dòng)點(diǎn)距離差的最大值問(wèn)題，通過(guò)將與圓上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與圓心的距離加減半徑，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一定直線上的動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)（即圓心）距離之差的最大值問(wèn)題，再利用例l的方法求解即可得到所求最大值，

這類問(wèn)題的通性通法是：利用對(duì)稱將直線上的一動(dòng)點(diǎn)與分布在其同側(cè)（或異側(cè)）距離最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線的一動(dòng)點(diǎn)與分布在其異側(cè)（或同側(cè)）距離最值問(wèn)題，在利用三角形的基本性質(zhì)及通用模式求解最值，

評(píng)注例2涉及橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)（其中一個(gè)為焦點(diǎn)）距離之和（差）的最值問(wèn)題，此類問(wèn)題的求解通?？煞謨煞N類型：（1）先利用定義，將動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離與其到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用幾何最值法最終解決（如例2（1）中差的最小值和例2（2）中和的最大值和最小值）；（2）在求和的最小值或差的最值時(shí)，有時(shí)可不經(jīng)定義轉(zhuǎn)化，直接使用幾何最值法（如例2（1）中差的最大值），具體屬于哪一類型，應(yīng)視定點(diǎn)在橢圓內(nèi)、外的給定情況而定，

這類問(wèn)題的通性通法是：利用定義將距離和（差）最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離差（和）間題，在利用三角形的基本性質(zhì)及通用模式求解最值，

3.曲線為雙曲線拋物線時(shí)，通過(guò)定義進(jìn)行同側(cè)異側(cè)互化

評(píng)注例3涉及雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)（其中一個(gè)為焦點(diǎn)）距離之和（差）的最值問(wèn)題。此類問(wèn)題的求解通常可分兩步：（1）通過(guò)定義將分布在雙曲線右支同側(cè)的兩定點(diǎn)的距離之和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分布在雙曲線右支異側(cè)的兩定點(diǎn)的距離之和問(wèn)題（2）再利用三角形的性質(zhì)和通用模式求得最值，

這類問(wèn)題的通性通法是：利用定義將雙曲線一支上的動(dòng)點(diǎn)與分布在其同側(cè)（或異側(cè)）的兩點(diǎn)距離最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為雙曲線一支上的動(dòng)點(diǎn)與分布在其異側(cè)（或同側(cè)）的兩點(diǎn)距離最值問(wèn)題，再利用三角形的基本性質(zhì)判斷最值，評(píng)注例4涉及拋物線上一動(dòng)點(diǎn)與其外一定點(diǎn)及y軸距離之和的最值問(wèn)題，此類問(wèn)題的求解通?？煞秩剑海?）通過(guò)定義將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)與y軸距離轉(zhuǎn)化為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)與其焦點(diǎn)距離；（2）再將原題轉(zhuǎn)化為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)與其焦點(diǎn)及其外一定點(diǎn)距離之和問(wèn)題；（3）利用三角形的性質(zhì)和通用模式求得最值，

變式3涉及拋物線上一動(dòng)點(diǎn)與其內(nèi)一定點(diǎn)及其焦點(diǎn)的距離之和的最值問(wèn)題，此類問(wèn)題的求解通?？煞秩剑海?）通過(guò)定義將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)與其準(zhǔn)線的距離；（2）再將原題轉(zhuǎn)化為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線及其內(nèi)一定點(diǎn)的距離之和的問(wèn)題；（3）利用三角形的性質(zhì)和通用模式求得最值，

這類問(wèn)題的通性通法是：利用定義將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離相互轉(zhuǎn)化為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)與其準(zhǔn)線的距離；再轉(zhuǎn)化為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)與其焦點(diǎn)及其外一定點(diǎn)距離問(wèn)題或者拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線及其內(nèi)一定點(diǎn)的距離之問(wèn)題，最后利用三角形的性質(zhì)和通用模式求得最值，