馮立偉+張成+屈福志

摘要：針對二維對流擴散方程邊值問題，采用三角形剖分，使用二維線性有限元進行計算分析。采用matlab編寫了計算程序，使用算例進行了數(shù)值實驗，實驗結(jié)果表明數(shù)值解具有較高的計算精度。

關(guān)鍵詞：對流擴散；有限元；三角形剖分；Matlab

中圖分類號：TP391 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2016）21-0197-03

Abstract：For two dimensional convection-diffusion equation boundary value problem， using triangulation and using two-dimensional linear finite element were calculated and analyzed. Calculation program is compiled using matlab， and use a numerical example to the numerical experiments are carried out. The experimental results show that the high accuracy of the numerical solution is.

Key words：Convection- diffusion；FEM；Triangle subdivision；Matlab

對流擴散方程描述了在自然界中大量出現(xiàn)的對流擴散現(xiàn)象，在流體力學(xué)、環(huán)境科學(xué)以及能源開發(fā)等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。因此研究對流擴散問題的數(shù)值計算方法就尤為重要[1-3]。求解對流擴散方程已有大量有限差分求解方法和有限元求解方法及理論分析[4-10]。本文求解二維對流擴散方程，求解區(qū)域采用三角形剖分，在三角形單元上使用線性形狀函數(shù)進行有限元離散，給出了詳細計算過程，并重點分析了使用matlab編制對應(yīng)的求解程序。數(shù)值試驗驗證了數(shù)值計算方法的有效性。

4 結(jié)論

通過上述兩個數(shù)值實驗，可看出有限元可實現(xiàn)對流擴散方程的求解，數(shù)值解具有比較高的精度。當(dāng)網(wǎng)格剖分越密數(shù)值解越準(zhǔn)確，擴散系數(shù)變小時誤差變大。

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使用JPEG2000圖像壓縮技術(shù)的優(yōu)勢，在于將JPEG圖像壓縮技術(shù)的效率提高了百分之30，而且對圖像的有損和無損壓縮可以同時進行，圖像壓縮后的畫質(zhì)更為細膩和平滑，這是對JPEG圖像壓縮技術(shù)的一大革新。另外，將JPEG圖像壓縮技術(shù)的按塊傳輸創(chuàng)新提升為了漸進傳輸，方便用戶使用，不必非要接收整個圖像壓縮碼流，還能隨機獲取。并可以執(zhí)行傳輸、濾波等操作程序。JPEG2000圖像壓縮技術(shù)如今在很多領(lǐng)域正在被廣泛使用，如數(shù)字醫(yī)療、圖書館、數(shù)碼傳真、打印，移動通信等。尤其是在電子商務(wù)中得到用戶的廣泛贊譽。

3.3 小波變化圖像壓縮技術(shù)

小波變化圖像壓縮技術(shù)是根據(jù)塔式快速小波變換算法將圖像進行分解，采用多分辨率的技術(shù)手段的工作原理：首先采用多級小波進行圖像分解，將分解后的系數(shù)量化、編碼，形成小波圖像壓縮。小波圖像壓縮也已經(jīng)擁有了國際壓縮標(biāo)準(zhǔn)，按照MPEG-4進行命名[3]。

小波變換圖像壓縮技術(shù)目前的發(fā)展現(xiàn)狀是采用不同算法構(gòu)建三種不同的編碼器：

第一，嵌入式小波零樹圖像編碼是空間小波樹遞編碼，這種小波零樹概念提高了小波系數(shù)的編碼概念，將高頻系數(shù)剔除出去，采用了漸進性量化和嵌入式編碼模式，比較方便計算。小波零數(shù)圖像編碼的使用改變了以往的壓縮編碼器必須使用復(fù)雜的算法才能進行信息處理的方式，將計算方法簡化，而且得到的結(jié)果精確可靠，因此得到了國際認可，圖像壓縮數(shù)據(jù)處理的發(fā)展歷程上具有重要的意義。

第二，空間樹分層分割方法采用了分層小波樹集合分割算法，減小了編碼符號集在比特面上的規(guī)模，利用小波系數(shù)幅值衰減規(guī)律構(gòu)成了不同類型的空間零樹，計算方法也比較簡單，使用嵌入式比特流，提高了編碼器更多的性能。

第三，嵌入型編碼使用的優(yōu)化分層階段算法將小波分為獨立的碼塊，這些碼塊中帶有子帶部分，每個碼塊都有編碼，產(chǎn)生帶有SNR擴展功能的編碼，支持隨機存儲圖像功能，與前面所述的兩種算法相比，相對較為復(fù)雜。但是壓縮性能也高。

三種圖像壓縮方法比較起來，小波圖像壓縮方法是目前來說比較被廣泛使用的。小波圖像壓縮方法要得到進一步拓展，應(yīng)在與人眼視覺特性的結(jié)合上下功夫，提高圖像質(zhì)量，提高壓縮比，并注意與其他壓縮方法的優(yōu)勢相結(jié)合進行研究。

3.4 分形圖像壓縮

分形圖像壓縮，是上世紀(jì)八十年代經(jīng)過實驗證明得出的壓縮比較高的圖像壓縮技術(shù)，這是基于局部迭代函數(shù)系統(tǒng)理論而產(chǎn)生的圖像壓縮技術(shù)，得到的圖像編碼技術(shù)要比以往的圖像壓縮技術(shù)高幾個數(shù)量級，實現(xiàn)了計算機自動壓縮圖像的功能。

分形圖像壓縮使用的是迭代函數(shù)系統(tǒng)，其工作原理是：首先使用迭代函數(shù)系統(tǒng)定理、拼貼定理，將圖像分割成若干對應(yīng)迭代函數(shù)的子圖像，迭代函數(shù)與子圖像的壓縮比成反比，迭代函數(shù)簡單的子圖像壓縮比會比較大。解碼過程是利用迭代函數(shù)對應(yīng)子圖像的原理調(diào)出自圖像的原始狀態(tài)。

分形圖像編碼技術(shù)的幾個主要分項包括：對曲線長度使用類似于亞取樣、內(nèi)插法等進行小尺度度量，與分形幾何的肚量方法不同的是采用分形思想，對不規(guī)則、復(fù)雜的圖像進行尺度的變化。利用人機交互的拼貼技術(shù)，采用迭代函數(shù)系統(tǒng)方法，對圖像的整體和局部進行表達，通過仿射系數(shù)的存儲來進行變換達到壓縮的目的。放射變幻可以利用迭代函數(shù)系統(tǒng)達到比較高的壓縮比。將圖像進行全自動的分形壓縮，在尋找映射關(guān)系的過程中處理塊與塊之間的局部關(guān)系，取出冗余度，但是存在比較明顯的方塊效應(yīng)。因此在圖像解碼處理中存在一定缺陷。

采用分形圖像壓縮進行圖像處理在圖像壓縮技術(shù)領(lǐng)域里并沒有被廣泛使用，主要原因就是其明顯的風(fēng)快效應(yīng)沒有被妥善解決。但是分形圖像壓縮技術(shù)的優(yōu)勢在于它不僅考慮了局部與局部，而且也考慮了局部與整體的相關(guān)性，與自然中的自相似與自仿射的原理有相像，因此還是有一定的使用范圍的。

3.5 其他壓縮技術(shù)

其他壓縮技術(shù)，還包括NNT壓縮、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的壓縮等方法。

第一，形狀自適應(yīng)壓縮是將任意形狀的圖像進行分塊，每塊都采用DCT變換的方法，實現(xiàn)形狀自適應(yīng)變換，在變幻過程中可能會丟失一些空域相關(guān)性。因此會存在失真的現(xiàn)象。

第二，EGGER方法是對任意形狀圖像進行小波變換，其工作原理是將圖像的像素推到與邊界框右邊框平齊的位置，使用小波變換的特性，將高頻部分的邊界部分進行合并，引起小波分解，形成小波系數(shù)的相同相位。

第三，形狀自適應(yīng)小波變換包括對任意形狀進行熵編碼的擴大和嵌入式小波編碼。經(jīng)過對任意形狀可是對象的像素進行小波變換，使像素的空域相關(guān)性、子帶區(qū)域?qū)傩园l(fā)生自相似性，實現(xiàn)任意形狀靜態(tài)的編碼標(biāo)準(zhǔn)能夠很好地表現(xiàn)出來。

第四，上述編碼方法在未來的發(fā)展方向是與人類視覺系統(tǒng)相結(jié)合，對邊緣、紋理、背景等進行不同比例的壓縮，得到更大的壓縮比，以便更好的儲存和傳輸[4]。

4 圖像壓縮技術(shù)的未來發(fā)展方向設(shè)想

1）計算機速度向著高速方向前進。這是計算機技術(shù)的飛躍帶來的結(jié)果，未來可以實現(xiàn)圖像壓縮的實時化。

2）高分辨率。包括分辨率采集的提高和顯示分辨率的提高。在克服顯像管制造技術(shù)的難點、提高圖像圖像刷新存取速度的基礎(chǔ)上，提高分辨率將成為現(xiàn)實。

3）圖像壓縮實現(xiàn)立體化的，從二維進入三維時代。是時利用計算機圖形學(xué)、虛擬現(xiàn)實技術(shù)的發(fā)展而得到的結(jié)果，未來的圖像壓縮將不再局限于平面，而是實現(xiàn)三維立體壓縮技術(shù)。

4）利用多媒體技術(shù)來實現(xiàn)圖像數(shù)據(jù)的壓縮，方便人類接收信息的方式向著多媒體接收的方式發(fā)展。

5）按照人類的意圖和思維方式，使計算機能夠自行判斷圖像壓縮技術(shù)，實現(xiàn)圖像壓縮技術(shù)的智能化。在圖像壓縮中計算機就能達到人腦的主觀和非邏輯思維能力。

6）在計算機中植入多功能芯片，實現(xiàn)圖像壓縮為實踐服務(wù)的功能。

7）推行新的計算方法，結(jié)合遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)科，將新的理論，如Fratal理論廣泛應(yīng)用于圖像壓縮技術(shù)中，并可以在物理、數(shù)學(xué)、音樂等學(xué)科中觸類旁通。

5 結(jié)語

在過去數(shù)十年的研究過程中，圖像壓縮技術(shù)取得了很大的成績。例如小波圖像壓縮、分形推向壓縮等先進技術(shù)，至今依然是學(xué)術(shù)界熱議的焦點。但是其存在的缺點也必須加以重視，新的技術(shù)必將對之進行替代。在今后的發(fā)展中，應(yīng)不斷結(jié)合本文提及的視覺神經(jīng)等其他學(xué)科的運用，將圖像壓縮技術(shù)引領(lǐng)入更加寬泛、更加廣闊的研究領(lǐng)域，讓圖像壓縮技術(shù)在信息發(fā)達的當(dāng)今社會中，得到更長遠的發(fā)展和更加有益的利用。

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