朱芳來(lái)， 蔣　鵬， 李曉航

(同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，上海 201804)

?

具有未知輸入非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

朱芳來(lái)， 蔣鵬， 李曉航

(同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，上海 201804)

針對(duì)具有未知輸入和傳感器噪聲的的非線性系統(tǒng)，討論了基于T-S(Takagi-Sugeno)模型的未知輸入觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法.首先，給出了基于非線性系統(tǒng)構(gòu)造T-S模型系數(shù)矩陣的計(jì)算方法.然后，以T-S模型作為設(shè)計(jì)模型，通過(guò)擴(kuò)展傳感器噪聲為輔助狀態(tài)向量的方式，將系統(tǒng)擴(kuò)展為增維系統(tǒng).繼而，針對(duì)T-S模型，設(shè)計(jì)模糊自適應(yīng)觀測(cè)器以達(dá)到對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)，未知輸入和傳感器噪聲同時(shí)估計(jì)之目的.為此，基于線性矩陣不等式，給出了觀測(cè)器存在的充分性條件.最后，通過(guò)實(shí)例仿真驗(yàn)證了此方法的有效性.

自適應(yīng)觀測(cè)器；T-S模型； 未知輸入重構(gòu)； 傳感器噪聲重構(gòu)； 不可測(cè)前件變量

在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，未知輸入具有廣義的含義，它可以是模型參數(shù)的不確定性，可以是系統(tǒng)所受到的外部干擾，也可以是系統(tǒng)的執(zhí)行器故障信號(hào)等.基于這樣的原因，未知輸入觀測(cè)器(unknowninputobservers,UIO)設(shè)計(jì)的研究，具有重要意義和很好的應(yīng)用前景，如在容錯(cuò)控制、故障診斷與隔離和基于混沌同步的保密通訊等方面的應(yīng)用，都有很好的應(yīng)用，因而UIO設(shè)計(jì)成為控制領(lǐng)域所關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題之一[1-3].例如，文獻(xiàn)[1]針對(duì)一類帶有未知輸入和相應(yīng)延遲的線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了未知輸入觀測(cè)器. 文獻(xiàn)[2]對(duì)具有未知輸入的線性系統(tǒng)，在觀測(cè)器匹配條件不滿足的情況下，設(shè)計(jì)了降維和高階滑模觀測(cè)器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài).文獻(xiàn)[3]通過(guò)代數(shù)矩陣運(yùn)算的方式，對(duì)線性變參數(shù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了未知輸入觀測(cè)器.

T-S模糊模型作為描述復(fù)雜非線性系統(tǒng)的有效手段之一，自提出以來(lái)，便得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.T-S模型有著簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，且能以任意的精度逼近任何一個(gè)光滑的非線性函數(shù)，這使得借用線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法來(lái)解決一些非線性問(wèn)題就成為可能，由于這樣的原因，基于T-S模糊模型的觀測(cè)器設(shè)計(jì)，成為觀測(cè)器設(shè)計(jì)領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)之一[4-8].例如，文獻(xiàn)[4]針對(duì)非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，通過(guò)一步一步的將高階滑模觀測(cè)器擴(kuò)展為T(mén)-S模糊模型方法，提出了一種傳感器故障檢測(cè)與隔離問(wèn)題的解決方案.文獻(xiàn)[5]對(duì)動(dòng)態(tài)T-S模糊系統(tǒng)，分析和設(shè)計(jì)了兩種不同的滑模觀測(cè)器.文獻(xiàn)[6]對(duì)具有未知多項(xiàng)式輸入的T-S模糊系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)觀測(cè)器來(lái)同時(shí)估計(jì)狀態(tài)和未知輸入.文獻(xiàn)[7]研究了離散模糊觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法，提出了一種新的將非線性矩陣不等式(LMI)條件轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI形式的解耦方法，并將其應(yīng)用到主動(dòng)容錯(cuò)控制中.文獻(xiàn)[8]針對(duì)具有傳感器故障的模糊隨機(jī)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了魯棒觀測(cè)器進(jìn)行故障估計(jì)，同時(shí)，基于觀測(cè)器給出了模糊容錯(cuò)控制方案.值得注意的是，許多現(xiàn)有的工作是建立在可測(cè)量前件變量T-S(Takagi-Sugeno)模型的情況下完成的，然而在許多實(shí)際情況下，其前件變量是不可測(cè)的.目前，在基于T-S模型的觀測(cè)器設(shè)計(jì)研究中，對(duì)于前件不可測(cè)的情況得到了廣泛關(guān)注，并提出了一些成果[9-11].例如，文獻(xiàn)[9]對(duì)具有不可測(cè)前件變量的T-S模糊系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了未知輸入比例積分觀測(cè)器.文獻(xiàn)[10]針對(duì)不可測(cè)前件變量的T-S模糊系統(tǒng)，采用廣義冗余的方法，設(shè)計(jì)了魯棒H∞跟蹤器.文獻(xiàn)[11]基于不可測(cè)前件變量設(shè)計(jì)了觀測(cè)器，以達(dá)到故障診斷的目的.然而從目前已有的研究成果來(lái)看，文獻(xiàn)[1-3,6]只考慮了未知輸入的估計(jì)，文獻(xiàn)[4,8,11]也只對(duì)故障進(jìn)行診斷，而對(duì)同時(shí)具有未知輸入和傳感器故障的觀測(cè)器設(shè)計(jì)尚未有報(bào)道.因而，基于前件為未知的T-S模型，討論同時(shí)具有未知輸入和傳感器噪聲的未知輸入觀測(cè)器設(shè)計(jì)，具有重大意義.

本文針對(duì)不可測(cè)前件變量的T-S模糊系統(tǒng)，在具有未知輸入和傳感器噪聲的情況下，提出一種模糊自適應(yīng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法來(lái)估計(jì)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)，同時(shí)還給出了未知輸入和傳感器噪聲重構(gòu)的方法.本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)體現(xiàn)在：對(duì)不可測(cè)前件變量的模糊系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)觀測(cè)器，并提出了狀態(tài)、未知輸入和傳感器噪聲同時(shí)估計(jì)的方法.

1　T-S模型構(gòu)造

考慮一類非線性系統(tǒng)模型如下：

(1)

其中,x∈Rn,y∈Rp,u∈Rm分別為狀態(tài)、可測(cè)輸出和控制輸入向量；η∈Rr和ω∈Rw分別是未知輸入和傳感器噪聲.函數(shù)φ為非線性項(xiàng).B∈Rn×m，D∈Rn×r，C∈Rp×n和E∈Rp×w為相應(yīng)維數(shù)的矩陣.假設(shè)矩陣D和E列滿秩.

假設(shè)1:函數(shù)φ是連續(xù)可微的，φ(0)=0.

考慮T-S模糊模型如下：

則:

(2)

式中：Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×m是第i個(gè)局部模型具有相應(yīng)維數(shù)的矩陣，而

式(2)中具體參數(shù)矩陣可由文獻(xiàn)[12]提出的方法得到，對(duì)任意狀態(tài)x(j)，j=1,…,N，N是局部線性模型的個(gè)數(shù)，求出Aj和Bj，滿足：

(3)

(4)

根據(jù)泰勒公式展開(kāi)式(4)并忽略高階項(xiàng)，則:

(5)

(6)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]給出的方法求解式(6)，則對(duì)x(j)≠0，有

定義Dφ(x(j))為φ在x=x(j)出的雅克比矩陣，非線性系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為

其中

(7)

命題1根據(jù)假設(shè)1，對(duì)于任意的εφ>0，存在帶有模糊權(quán)值hi(·)的T-S模糊系統(tǒng)(2)，可近似地描述系統(tǒng)(1)，其近似誤差為

證明因?yàn)榫仃嘊,C,D,E是常數(shù)矩陣，所以這是對(duì)文獻(xiàn)[14]中證明的簡(jiǎn)單擴(kuò)展.

引理1給定一個(gè)標(biāo)量δ>0.對(duì)任意的向量α和β，有:

注1隸屬度函數(shù)通常是非線性的，且依賴于前件變量的選取.對(duì)于系統(tǒng)而言，如果前件變量只包含{u(t),y(t)}，則前件變量是可測(cè)的；如果包含系統(tǒng)狀態(tài)x(t)，則是不可測(cè)的.本文討論的前件變量取為z(t)=x(t)，即前件變量是不可測(cè)的情形.

本文的主要目的，是以T-S模型(2)為設(shè)計(jì)模型，設(shè)計(jì)自適應(yīng)觀測(cè)器，來(lái)估計(jì)原非線性系統(tǒng)(1)的狀態(tài)，同時(shí)給出未知輸入和傳感器噪聲的重構(gòu)方法.為后續(xù)闡述方便，在不引起歧義的情況下將變量進(jìn)行簡(jiǎn)寫(xiě)，如Γ(t)寫(xiě)成Γ.

2　自適應(yīng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

(8)

如果系統(tǒng)(8)存在自適應(yīng)觀測(cè)器，就可以同時(shí)估計(jì)出x和ω.下面將設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)觀測(cè)器來(lái)同時(shí)估計(jì)x，ω和η.

對(duì)于系統(tǒng)(8)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)觀測(cè)器如下：

(9)

注2式(9)通過(guò)自適應(yīng)調(diào)節(jié)律實(shí)現(xiàn)了未知輸入η的在線跟蹤，所以稱式(9)所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器為自適應(yīng)觀測(cè)器.與文獻(xiàn)[15]中的方法相比，本文式(9)中的第4個(gè)方程對(duì)未知輸入的估計(jì)，只用到了輸出誤差的信息，而文獻(xiàn)[15]，用到了輸出誤差的導(dǎo)數(shù).

引理2存在兩個(gè)矩陣G∈R(n+w)×n和F∈R(n+w)×p滿足:

(10)

證明式(10)可等效為

(11)

存在.于是式(11)存在關(guān)于矩陣G和F的解，它們的一個(gè)解為

(12)

所以誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可描述為

(13)

則誤差方程可被描述為

(14)

此外，如果令Hi=Li+NiF，則式(13)可等效描述為

(15)

同理

(16)

注3故障可分為常數(shù)和緩時(shí)變故障.例如，在現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中，硬件突然遭到破壞或者出現(xiàn)大的偏差，就可以稱之為常數(shù)故障；由于組件磨損和老化而導(dǎo)致的執(zhí)行器性能的緩慢下降，可作為緩時(shí)變故障.因而，對(duì)于常數(shù)故障的檢測(cè)和重構(gòu)，具有重大意義.

根據(jù)假設(shè)3和式(9)的第4個(gè)方程，未知輸入估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)方程為

(17)

(18)

定理1針對(duì)系統(tǒng)(8)，對(duì)于給定的正的標(biāo)量β和ε1，如果對(duì)正定矩陣P∈R(n+w+r)×(n+w+r)和矩陣Xi∈R(n+w+r)×p使如下的線性矩陣不等

(19)

通過(guò)引理1和假設(shè)2，且β>0，即可以得出：

所以

其中

觀測(cè)器(9)的未知矩陣Ni,Li,G,F和Φi的計(jì)算方法總結(jié)如下：

步驟1：通過(guò)式(12)計(jì)算出矩陣G和F.

步驟4：通過(guò)式(15)和式(16)，計(jì)算出矩陣Ni，和Li.

3　仿真

考慮一個(gè)由直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的倒立擺[16-17]，如圖1所示.其基本控制輸入方程為

圖1　倒立擺

通過(guò)文中第1部分提到的方法，系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為局部線性系統(tǒng)，如下：

取兩個(gè)平衡點(diǎn)為

則

通過(guò)求解線性矩陣不等式(LMI)式(19)得到:

通過(guò)式(15)和式(16)可得：

根據(jù)設(shè)計(jì)的觀測(cè)器得到系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)，如圖2所示.由誤差曲線圖3可知，其是漸近收斂的.圖4對(duì)傳感器噪聲進(jìn)行了重構(gòu)，圖5則對(duì)未知輸入進(jìn)行了重構(gòu).由圖2—5可知，系統(tǒng)的狀態(tài)、傳感器噪聲和未知輸入重構(gòu)是令人滿意的.

a x1

b x2

c x3

圖2狀態(tài)估計(jì)

Fig.2Stateestimation

a x1

b x2

c x3

圖4　傳感器噪聲重構(gòu)Fig.4　Measurement noise reconstruction

圖5　未知輸入重構(gòu)Fig.5　Unknown input reconstruction

4　結(jié)論

本文基于不可測(cè)前件變量的T-S模糊模型，對(duì)非線性系統(tǒng)提出了一種自適應(yīng)未知輸入觀測(cè)器設(shè)計(jì)的方法，達(dá)到了對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)，未知輸入和傳感器噪聲同時(shí)估計(jì)之目的.通過(guò)線性矩陣不等式的方式，給出了觀測(cè)器存在的充分性條件.仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出的方法對(duì)非線性系統(tǒng)的有效性.

[1]GangZ,FranciscoJB,WilfridP, et al.Unknowninputobserverforlineartime-delaysystems[J].Automatica, 2015,61: 35.

[2]ZhuF.Stateestimationandunknowninputreconstructionviabothreduced-orderandhighorderslidingmodeobservers[J].JournalofProcessControl,2012,22(1): 296.

[3]IchalalD.OnUnknownInputObserversforLPVSystems[J].IEEETransactionsonIndustrialElectronics,2015,62(9): 5870.

[4]HaouariFA,DjemaiM,CherkiB.SlidingmodeobserversforT-Sfuzzysystemswithapplicationtosensorfaultestimation[C]∥Control,Engineering&InformationTechnology, 2015 3rdInternationalConferenceon.Tlemcen:IEEE,2015：1-5 .

[5]BergstenP,PalmR,DriankovD.ObserversforTakagi-Sugenofuzzysystems[J].Systems,Man,andCybernetics,PartB:Cybernetics,IEEETransactionson,2002, 32(1): 114.

[6]LendekaZ,LauberbJ,GuerraTM.AdaptiveobserversforTSfuzzysystemswithunknownpolynomialinputs[J].FuzzySetsandSystems,2010,161(15)：2043.

[7]TsengCS,ChenBS,LiYF.Robustfuzzyobserver-basedfuzzycontroldesignfornonlinearsystemswithpersistentboundeddisturbances:anoveldecoupledapproach[J].FuzzySetsandSystems,2009, 160(19): 2824.

[8]LiuM,CaoX,ShiP.Faultestimationandtolerantcontrolforfuzzystochasticsystems[J].FuzzySystems,IEEETransactionson,2013, 21(2): 221.

[9]YoussefbT,ChadliaM,KarimiHR.DesignofunknowninputsproportionalintegralobserversforTSfuzzymodels[J].Neurocomputing,2014,123(10):156.

[10]AsemaniMH,MajdVJ.ArobustH-infinity-trackingdesignforuncertainTakagi-Sugenofuzzysystemswithunknownpremisevariablesusingdescriptorredundancyapproach[J].InternationalJournalofSystemsScience,2015,46(16): 2955.

[11]GhorbelH,SouissiM,ChaabaneM, et al.Observerdesignforfaultdiagnosisforthetakagi-sugenomodelwithunmeasurablepremisevariables[C]∥Control&Automation(MED), 2012 20thMediterraneanConferenceon.Barcelona:IEEE,2012:303-308.

[12]TeixeiraM,ZakS.Stabilizingcontrollerdesignforuncertainnonlinearsystemsusingfuzzymodels[J].IEEETransactionsonFuzzySystems,1999,7(2) 133.

[13]ChongE,ZakS.AnIntroductiontoOptimization[M]. 4thed.Beijing:JohnWiley&Sons, 2013.

[14]GaoQ,ZengX,FengG, et al.T-S-fuzzy-model-basedapproximationandcontrollerdesignforgeneralnonlinearsystems[J].IEEETransactionsonSystems,2012,42(4): 1143.

[15]ZhangJ,SwainAK,NguangSK.RobustH∞adaptivedescriptorobserverdesignforfaultestimationofuncertainnonlinearsystems[J].JournaloftheFranklinInstitute,2014, 351(11): 5162.

[16]KawamotoS.Nonlinearcontrolandrigorousstabilityanalysisbasedonfuzzysystemforinvertedpendulum[C]∥FuzzySystems, 1996,ProceedingsoftheFifthIEEEInternationalConferenceon.Neworleans:IEEE,1996: 1427-1432.

[17]KazuoT,TakayukiL,HuaOW.Fuzzyregulatorsandfuzzyobservers:relaxedstabilityconditionsandLMI-baseddesigns[J].IEEETransactionsonFuzzySystems, 1998,6(2): 250.

AdaptiveObserverDesignwithUnknownInputsforNonlinearSystems

ZHUFanglai,JIANGPeng,LIXiaohang

(1.SchoolofElectronicsandInformationEngineering,TongJiUniversity,Shanghai201804,China)

Forthenonlinearsystemswithunknowninputsandmeasurablenoises,thedesignmethodofunknowninputobserverbasedontheT-Smodelisdiscussed.Atfirst,thecalculationmethodofthecoefficientmatrixoftheT-Smodelconstructedbasedonnonlinearsystemispresented.Then,theT-Smodelisusedasthedesignmodel,andthesystemisextendedtoanaugmentedsystembyextendingthemeasurablenoiseasanauxiliarystate.Andthen,fortheT-Smodel,afuzzyadaptiveobserverisdesignedtoachievetheobjectiveofthesimultaneousestimationsofthestates,theunknowninputsandthemeasurablenoisesofthenonlinearsystem.Meanwhile,thesufficientconditionoftheexistenceoftheobserverisgivenbasedonalinearmatrixinequality.Finally,simulationexamplesdemonstratetheeffectivenessofthismethod.

adaptiveobserver;T-Smodel;unknowninputreconstruction;measurementnoisereconstruction;unmeasuredpremisevariables

2015-10-29

國(guó)家自然科學(xué)基金(61074009).

朱芳來(lái)(1965—)，男，教授，工學(xué)博士，博士生導(dǎo)師；主要研究方向?yàn)橛^測(cè)器設(shè)計(jì)，故障診斷與容錯(cuò)控制等.

E-mail:zhufanglai@#edu.cn

TH317

A