周　清，王奉偉

(1.東華理工大學　測繪工程學院，江西 南昌 330013；2.江西省數(shù)字國土重點實驗室，江西 南昌 330013)

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變形監(jiān)測缺失數(shù)據(jù)序列灰色建模方法探討

周清1,2，王奉偉1

(1.東華理工大學測繪工程學院，江西 南昌 330013；2.江西省數(shù)字國土重點實驗室，江西 南昌 330013)

在測量工作中,由于氣候環(huán)境、觀測方法、觀測儀器以及觀測人員自身因素等多方面的原因,可能造成觀測數(shù)據(jù)的丟失或者不完全。文中針對這類數(shù)據(jù)的處理，采用加權平均法和三次樣條插值法對缺失數(shù)據(jù)進行修復，建立GM(1，1)模型，并與非等間隔預測模型進行對比。通過兩組仿真數(shù)據(jù)和兩組實測數(shù)據(jù)驗證發(fā)現(xiàn)：對于呈指數(shù)增長的序列和高增長序列修復之后建模預測精度更高；三次樣條插值法數(shù)據(jù)修復后GM(1，1)建模預測精度較加權平均法預測精度更高；對于低增長序列，直接采用非等間隔建模預測精度更高。

缺失數(shù)據(jù)；非等間隔建模法；加權平均法；三次樣條插值

對于時間序列而言,由于數(shù)據(jù)本身的相關性,若數(shù)據(jù)中存在缺失值,就會使得觀測序列本身的相關性產(chǎn)生變化,如果沒有合理的數(shù)據(jù)處理方法,那么必然會導致數(shù)據(jù)分析的不可靠,使得變形預報工作的準確度大大降低[1]。因此,針對變形監(jiān)測工作中數(shù)據(jù)缺失這一情況,尋找一種合理的數(shù)據(jù)處理方法,使觀測數(shù)據(jù)能夠被合理利用而不至于完全丟失,同時又能滿足精度和準確度的要求,則顯得尤為重要。對于變形監(jiān)測數(shù)據(jù)而言，通常采用灰色預測模型進行建模。GM(1，1)模型是灰色系統(tǒng)理論的重要內(nèi)容，由于建模過程簡單，模型表達式簡潔，便于求解，能較好地對系統(tǒng)行為特征值進行預測，在很多領域得到了廣泛的應用[2-7]。對于缺失數(shù)據(jù)序列的處理,本文分別采用直接將序列看成非等間隔序列進行建模和對數(shù)據(jù)進行修復后建立GM(1，1)模型，并對預測精度進行比較分析。

1　非等間隔GM(1，1)模型

設有非等間隔的數(shù)據(jù)序列為

(1)

(2)

對X(0)作1-WAGO生成，得到生成序列為

(3)

其中：

(4)

X(1)的GM(1,1)模型的白化微分方程形式為

(5)

其中α,μ為待定參數(shù)，通過最小二乘有

(6)

式中：

(7)

解方程(5)得

(8)

由式(4)得

(9)

兩式相減得到差分還原公式為

(10)

2數(shù)據(jù)修復建模方法2.1加權平均法

加權內(nèi)插法是以待求點為中心，確定一個鄰域范圍，用落在鄰域范圍內(nèi)的點根據(jù)加權平均的方法內(nèi)插出待求點的值,即

(11)

2.2三次樣條插值

設采樣數(shù)據(jù)為

(12)

(13)

在此區(qū)間存在插值函數(shù)

(14)

式中的函數(shù)個數(shù)為k，還有4k個待定系數(shù)，需要建立4k個方程才能確定方程中的各系數(shù)。為了保證三次樣條插值曲線的連續(xù)性，式(14)要滿足條件

(15)

(16)

為保證插值函數(shù)在離散數(shù)據(jù)點處的1階導數(shù)存在且連續(xù)，需滿足條件

(17)

為保證插值函數(shù)在離散數(shù)據(jù)點處的2階導數(shù)存在且連續(xù)，需滿足條件

(18)

由式(15)～(18)可知，為求解式(14)得系數(shù)4k還需要建立2個方程，并且不能只對插值函數(shù)在中間節(jié)點建立約束方程，同時也要對插值多項式在兩端點的狀態(tài)建立約束方程，也就是兩個邊界條件

(19)

由式(15)～(19)聯(lián)合可以求解式(14)4k個系數(shù)。

對缺失數(shù)據(jù)進行修復之后，采用傳統(tǒng)的GM(1,1)模型對修復后的序列進行建模。

3實例分析3.1低增長指數(shù)序列

表1　各模型預測結果與實際值對比(實例1)

從實例1的預測精度可以看出，對于低增長的指數(shù)序列，對數(shù)據(jù)進行修復之后建立GM(1，1)模型預測精度明顯高于直接進行非等間隔GM(1，1)模型的預測精度;并且三次樣條插值法對數(shù)據(jù)修復之后建模預測精度較加權平均法修復后建模預測精度更高。

3.2高增長指數(shù)序列

實例2：以x=e0.5(i-1),i=1,2,…,10生成原始數(shù)據(jù)，x(0)={1.000，1.648 7，2.718 3，4.481 7，7.389 1，12.182 5，20.085 5，33.115 5，54.598 2，90.017 1}。由于數(shù)據(jù)增長較快，這是一個高增長指數(shù)序列。假設第5個數(shù)據(jù)丟失，分別采用非等間隔GM(1，1)模型，加權平均法修復后GM(1，1)模型，三次樣條插值修復后GM(1，1)模型對第11到第14個數(shù)據(jù)進行預測，結果見表2。

表2　各模型預測結果與實際值對比(實例2)

從實例2的預測精度可以看出，對于高增長指數(shù)序列，對數(shù)據(jù)修復之后建模預測精度明顯高于直接進行非等間隔建模的預測精度；三次樣條插值法對數(shù)據(jù)修復之后建模預測精度較加權平均法修復后建模預測精度更高。

3.3實測低增長序列

實例3：利用文獻[9]某煉鋼廠鋼爐的沉降觀測點的10期沉降觀測數(shù)據(jù)，x(0)={2.79，4.34，5.17，6.97，7.63，8.4，9.13，9.74，10.09，10.46}，由于數(shù)據(jù)變化平緩，為低增長數(shù)列。假設第4個數(shù)據(jù)缺失，分別采用非等間隔GM(1，1)模型，加權平均法修復后GM(1，1)模型，三次樣條插值修復后GM(1，1)模型對第8到第10個數(shù)據(jù)進行預測，結果見表3。

從實例3的預測精度可以看出，對于低增長的序列，對數(shù)據(jù)直接進行非等間隔建模的預測精度明顯高于對數(shù)據(jù)修復之后建模的預測精度，三次樣條插值法對數(shù)據(jù)修復之后建模預測精度和加權平均法修復后建模預測精度相當。

表3　各模型預測結果與實際值對比(實例3)

3.4實測高增長序列

實例4：數(shù)據(jù)來源于文獻[10]，原始數(shù)列x(0)={2.718，7.389，20.086，54.598，148.41，403.43，1 096.61}。由于數(shù)據(jù)增長較快，這是一個高增長序列。假設第3個數(shù)據(jù)缺失，分別采用非等間隔GM(1，1)模型，加權平均法修復后GM(1，1)模型，三次樣條插值修復后GM(1，1)模型對第6、7個數(shù)據(jù)進行預測,結果見表4。

表4　各模型預測結果與實際值對比(實例4)

從實例4的預測精度可以看出，對于高增長序列，對數(shù)據(jù)修復之后建模預測精度明顯高于直接進行非等間隔建模的預測精度，三次樣條插值法對數(shù)據(jù)修復之后建模預測精度較加權平均法修復后建模預測精度更高。

4　結　論

通過實例分析發(fā)現(xiàn)，對于呈指數(shù)增長的序列及高增長序列，對數(shù)據(jù)修復之后建模預測精度明顯高于直接進行非等間隔建模的預測精度，三次樣條插值法對數(shù)據(jù)修復之后建模預測精度較加權平均法修復后建模預測精度更高；對于低增長的序列，對數(shù)據(jù)直接進行非等間隔建模的預測精度明顯高于對數(shù)據(jù)修復之后建模的預測精度，三次樣條插值法對數(shù)據(jù)修復之后建模預測精度和加權平均法修復后建模預測精度相當。

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[責任編輯：劉文霞]

The gray modeling method in missing datasequence of deformation monitoring

ZHOU Qing1,2，WANG Fengwei1

(1.School of Surveying and Mapping Engineering, East China University of Technology,Nanchang 330013,China;2,Jiangxi Province Key Lab for Digital Land,Nanchang 330013,China)

For the measurement work, because of the climatic environment, observation method, observation instrument and the factors of the observation, the data can be lost or incomplete. This paper proposes to repair the missing data by using weighed averaging method and the spline interpolation method.Then the GM(1, 1)model is established.Compared two methods with the non-equal interval forecasting model,the experimental results show that the models of repairing missing data have higher prediction accuracy for exponential growth and high growth sequence.But for the two methods,the prediction accuracy of the spline model is higher than the weighted averaging method.For the low growth sequences,the prediction accuracy of the non-equal interval method is higher than the other.

missing data; non-equal interval modeling method; weighted average method; spline

2015-12-22

江西省數(shù)字國土重點實驗室開放研究基金資助項目(DLLJ201516)；國家自然科學基金資助項目(41401437)

周清(1988-)，女，碩士研究生.

P207；TU196

A

1006-7949(2016)12-0070-04