尹玲

（遼河油田分公司鉆采工藝研究院 遼寧 盤錦 124010）

多控制點水平井靶體邊界計算和繪圖

尹玲

（遼河油田分公司鉆采工藝研究院 遼寧 盤錦 124010）

為了在鉆井設(shè)計軟件中精確地繪制出多控制點水平井靶體，建立了靶體外邊界曲線的計算公式和繪圖。

鉆井設(shè)計；水平井；井眼軌道；控制點；曲邊長方體靶

1.長方體靶

約定：除非特別指明，具有長度量綱的參數(shù)其物理單位為m，角度的物理單位為弧度(rad)，井眼曲率以及角度變化率的物理單位為m-1。使用最多的水平井靶由兩個控制點A和B所確定(見圖1)，A點處靶窗矩形寬為、高為，其中和分別為A點的橫向和縱向允許設(shè)計偏差。B點處靶窗矩形寬為、高為，其中和分別為B點的橫向和縱向允許設(shè)計偏差。線段AB為設(shè)計井眼軌跡的一部分，稱為靶體軸線。通常情況下，B點處的允許設(shè)計偏差要大于A點處的允許設(shè)計偏差，這時，靶體不再是長方體，而是截頭方錐體。

圖1 水平井靶示意圖

2.曲邊長方體靶

為了具有幾何直觀性和計算公式簡潔明了，本文采用矢量數(shù)學符號來進行相關(guān)計算公式的推導。

2.1 井眼軌跡模型

假設(shè)相鄰兩個控制點A和B之間的設(shè)計軌跡為一條三維空間曲線，井眼軌跡上任一點P的矢徑可根據(jù)井深來計算：

本文使用“列矢量”來表示矢量；上標“T”表示矩陣和矢量的轉(zhuǎn)置運算，上撇符號“'”表示對井深的一階導數(shù)，“"”表示對井深的二階導數(shù)，表示矢量求模函數(shù)。

井眼方向矢量定義為井眼軌跡切線方向上的單位長度矢量：

2.2 井眼軌跡的法平面

可以證明[6]：

可以證明[6]：、、是兩兩相互垂直的單位長度矢量，可以作為一個成右手系的空間直角坐標系的坐標軸上的單位長度矢量，這個坐標系稱為P點的局部坐標系。假設(shè)Q點在局部坐標系中的位矢為，則：

2.3 靶體軸線的伴隨曲邊長方體

對于靶體軸線(井眼設(shè)計軌跡從第一個控制點到最后一個控制點的那部分)上任意點P點，按照式(1)～(2)定義該點的橫向允許偏差w和縱向允許偏差h。在局部坐標系中，矩形的中心為P點，寬和高分別為和。記矩形頂點的局部坐標矢徑依順時針順序為，，則有、、、。

2.4 曲邊長方體靶

當水平井靶由多個控制點所確定時，相鄰兩個控制點之間的靶體為截頭方錐體(當兩點之間設(shè)計井段為線段時)，或者為曲邊長方體(當兩點之間設(shè)計井段為曲線時)，將這些截頭方錐體和/或曲邊長方體按照控制點的順序依次拼接，所形成的空間圖形即為多控制點水平井段的設(shè)計靶體，稱為曲邊長方體靶。

如果相鄰兩個控制點之間由多個設(shè)計井段組成，可以將上段曲邊長方體靶定義中的“控制點”改為“設(shè)計節(jié)點”，所形成的靶體仍為曲邊長方體靶。

當靶體軸線的井眼曲率較小或者允許偏差較小時，曲邊長方體靶是截頭方錐體靶的合理推廣。但是當井眼曲率大于允許偏差時，曲邊長方體靶的“內(nèi)側(cè)”曲邊會出現(xiàn)“折疊”現(xiàn)象。

2.5 井眼軌跡模型

前面給出了曲邊長方體靶的定義及有關(guān)計算公式。仔細分析上述定義可以發(fā)現(xiàn)，與特定井眼軌跡模型有關(guān)的參數(shù)只是矢徑、井眼方向矢量、曲線主法線矢量。所以，對于一般的靶體軸線曲線模型，只要能給出位矢、井斜角和方位角及其變化率的計算公式，就可以計算曲邊長方體靶。

根據(jù)微分幾何的知識[6]，可推導出下式：

這是劉修善公式[2]的矢量化形式。另外，下式恒成立[2]：

2.5.1 空間圓弧模型 假設(shè)已知空間圓弧AB的端點A和B的參數(shù)，則圓弧上任一點P的參數(shù)按下述公式計算[6]：

2.5.2 圓柱螺線模型

有以下公式：

3.繪圖算法

首先，依據(jù)設(shè)計井深增加的方向，根據(jù)式（19)等求出4條曲邊上足夠多的離散點，使得相鄰兩個離散點之間的直線距離足夠小，當投影到計算機屏幕上時，這兩點之間橫/縱向不超過2個像素點。

如果是繪制三維圖形，只需要分別將這些離散點用線段連接即可(當然還需要繪出第一個和最后一個控制點處的靶窗矩形)。

如果是繪制水平投影圖，則離散點的Z坐標均相等，只需要繪制離散點即可。

4.結(jié)論

（1）利用法面坐標給出了多控制點水平井靶的外邊界曲線的數(shù)學定義，推導出了設(shè)計軸線彎曲井段為空間圓弧曲線、圓柱螺線曲線、自然參數(shù)曲線時的外邊界曲線的具體計算公式，為鉆井軟件開發(fā)中的圖形繪制提供了數(shù)學基礎(chǔ)。

（2）軟件開發(fā)實踐表明，在水平投影圖、垂直投影圖、剖面展開圖、三維圖形中，使用外邊界曲線公式可以繪制出多控制點水平井靶的精確圖形。

TP27

A

1009-5624（2016）05-0084-03最簡單形狀的水平井靶是一個長方體。當水平井需要通過多個目標點時，由于相鄰兩個目標點之間的設(shè)計軌跡可能是彎曲井段，水平井靶外邊界線在水平投影圖上的投影不再是簡單的直線段，而是復雜的三維連續(xù)曲線。

尹玲，女，1968年6月生，2007年畢業(yè)于中國石油大學(華東)石油工程專業(yè)，現(xiàn)工作于遼河油田鉆采工藝研究院，助理工程師，主要從事鉆井監(jiān)督信息管理等技術(shù)工作