徐時芳

（黔南民族師范學院數(shù)學系，貴州都勻558000）

基于計算機圖形學的非線性投影問題研究

徐時芳

（黔南民族師范學院數(shù)學系，貴州都勻558000）

隨著科學技術(shù)的不斷發(fā)展，非線性的投影方法由以前的小范圍使用，發(fā)展到了包括在計算的機圖形學、圖像處理、地圖設(shè)計、攝影，畫畫等領(lǐng)域中。為了使各需要投影技術(shù)的領(lǐng)域提供更好的技術(shù)支持，文中提出了計算機圖形學的非線性投影問題研究，首先研究了計算機圖像學以及圖像處理等幾個領(lǐng)域的非線性投影問題，包括曲面上的迭代問題，以及迭代算法，正交投影算法等。此外，還介紹了幾種非線性投影。實際產(chǎn)生的效果表明，該方法能為投影問題提供一個全新的視角，對圖形學中的非線性投影問題有著較好的借鑒意義。

正交投影；計算機圖形學；球極投影；中心投影

計算機圖形學中兩個最重要的工具就是投影和變換由于其均可利用簡單的矩陣乘法表示，因此是線性的。通常，在計算機圖形學中的兩個最主要的工具分別為投影和變換，又因均可被表示為簡單的矩陣形式，所以稱其為線性的。然而，在如今科技發(fā)展的時代，正交投影、反交投影、平行投影、全角投影、圓狀投影等這些非線性投影技術(shù)，使計算機圖形學得到了更好的發(fā)展，其使這一方向變得更加立體和充實，也為解決圖形學問題提供了新的思路和方向［1］。

伴隨著計算機圖形學的發(fā)展，線性的投影問題逐漸被人們遺棄，反之非線性問題受到人們越來越大的重視，這是因不僅非線性問題有著較大的現(xiàn)實需要，還因其可產(chǎn)生更好的效果以及更大的使用空間。本文就是在此基礎(chǔ)上，對計算機圖形學中的非線性投影問題做出了深刻的研究與分析。

1　計算機圖形學概述

計算機圖形學，顧名思義，其是利用計算機來深入研究圖形的一個學科，隨著計算機技術(shù)的不斷地快速發(fā)展，計算機圖形學已經(jīng)成為計算機大家庭中最重要的一個系統(tǒng)之一，且人們對此也越來越重視。之所以說計算機圖像學是一個重要的分之，是因其所涉及的內(nèi)容十分廣泛，比如，圖像處理、圖像建模、3D處理、人圖交互、全角投影、反交投影、還有各種圖像算法模擬仿真等。研究計算機圖形學的本質(zhì)就是利用其來使文中所需研究的圖像具有最逼真的真實感，而為了達到這一目的，則需利用幾何的知識來將所需要的場景表示出來，再建立一個模型，計算出假想的光源、紋理、材質(zhì)屬性下的光照明效果。因此，計算機圖形學與計算機的幾何設(shè)計其實是密不可分的［2］。圖形學在非線性投影這一方面的也起到較大作用，投影問題的研究也是計算機圖像學中一個重要的研究方向，投影問題在科學上也與計算機圖像學有著緊密的聯(lián)系。這是因利用計算機，不僅可簡單地在顯示器上模擬出投影的場景，更可利用計算機來模擬和仿真各種情況下的圖像的變換以及延伸。文中將介紹計算機圖形學的其中一個研究方向，即計算機圖形學的非線性投影問題研究，并以計算機系統(tǒng)為應(yīng)用中心，計算機技術(shù)為基礎(chǔ)，軟硬件均可裁剪，使應(yīng)用系統(tǒng)達到所需性能。本文用到的計算機圖形系統(tǒng)是由專業(yè)的系統(tǒng)圖像處理軟件和常規(guī)的硬件部分組成的，這里的常規(guī)硬件就是圖形處理器，還有硬件之中的輸入和輸出設(shè)備，其中最為重要的就是圖形處理器，其之所以重要，是因其將計算機與最終得到的效果圖有機結(jié)合。圖形處理器還具有存儲和處理圖形的功能，其可使運算器的使用頻率大幅降低，提高了系統(tǒng)的效率，且增加了顯示速度［3］。如圖1所示，為計算機圖形學中的圖像處理與圖形之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換過程，其也是圖像處理中重要的過程之一。

圖1　圖形與圖像處理之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換

2　參數(shù)曲線在隱式曲面上的正交投影問題描述

通常，研究人員在研究參數(shù)曲線在隱式曲面上的正交投影這一問題時，分為兩種方法：分別是一階微分方程法和離散投影法，但隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，其缺點也逐漸顯現(xiàn)，第一種微分方程法由于本身需要的條件較高，比如數(shù)值的個數(shù)，大小以及精度，嚴重影響了計算的準確性和效率。第二種離散投影法，其的步驟是先將所需的曲線利用數(shù)學知識進行離散，然后在投影到曲面上進行運算，其的一個重要問題就是忽視了曲線的幾何特性且過程較為繁瑣，嚴重影響了分析的速度，使效率大幅縮減［4］。因此，文中經(jīng)過認真的分析并對之前的方法進行比較，提出了一種全新的計算曲線在隱式曲面上正交投影的算法，即二階迭代算法。在下面的介紹中，首先對問題進行描述然后對二階迭代算法的建立過程進行介紹，然后將此方法與之前的兩種方法進行對比，說明了設(shè)計的算法在精度和效率等兩個方面的改善。最終，根據(jù)所要求的目的，充分的利用兩個曲面和曲線之間的數(shù)學性質(zhì)，計算出正交投影點q對于參數(shù)u的一階和二階導(dǎo)數(shù)，然后使用泰勒公式迭代計算隱式曲面S上一系列點來逼近正交投影曲線，這一系列的過程最終將曲面上的各個點緊緊的聯(lián)系到了一起。同時，為了使二階迭代算法的誤差能盡可能的減小，還提出了一個有效的誤差校正方法。圖2為參數(shù)曲線到隱式曲面的正交投影。

圖2　參數(shù)曲線到隱式曲面的正交投影

2.1正交投影曲線追蹤算法

在正交投影映射下，隱式曲面S上的正交投影點q與參數(shù)曲線F的參數(shù)u之間存在某種函數(shù)關(guān)系，即：q=q（u）=［XYZ］。由已知的兩個投影之間的正交關(guān)系，利用數(shù)學公式進行計算，算出曲面上的正交投影點q對于參數(shù)u的一階和二階微分量，然后在運用柯西不等式建立一個無限接近二階迭代的方法，目的就是與正交的投影曲線達到一致。本文通過數(shù)學運算的分析可得到，假設(shè)隱式曲面S上存在的點為q，同時向量pq=p-q與隱式曲面S在q點處的法向量F平行，因此其的乘積積等于零。隨后，便可求出正交投影曲線坐標點q對于參數(shù)u的各階導(dǎo)數(shù)［5-6］。結(jié)合上述公式，再利用二階迭代算法以及矩陣的性質(zhì)求出各個投影點的坐標值。這么做的優(yōu)點在于，當矩陣在p和q點處不滿足右可逆條件時，p為隱式曲面s在點q處的一主曲率圓圓心。在上述分析的基礎(chǔ)上，對投影點的計算以及生成方法在做進一步研究，設(shè)計出了一種新的步長選取方法，其是基于柯西不等式以及其他數(shù)學原理為基礎(chǔ)的。此時，出現(xiàn)了一個新的問題，在取點時，若用相同參數(shù)的空格來選點，則就不能完全并使參數(shù)曲線F上的點達到均勻的效果，同時參數(shù)曲面上對應(yīng)的正交投影點序列的分布也無法確定，不能保證其的連貫性。所以，使用下面的方法，即分別用沿著參數(shù)曲線的恒定弧長增量v以及沿著正交投影曲線的恒定弧長L增量來控制迭代歩長，則下一個投影點就會進行自動追蹤。又因上述迭代的過程中存在的高階項舍去的問題而造成誤差的積累，故必須使用一個誤差的改進方法，即一階誤差校正方法，對計算出的點進行誤差校正，使得校正后的投影點同時滿足距離誤差閾值和正交誤差閾值的要求，并使二階迭代算法的誤差盡可能的減小。

2.2算法描述

下面進行算法實現(xiàn)，曲線到曲面上的正交投影算法是研究中最為重要的一環(huán)，其的成功與否決定著最終研究的成敗，文中先計算出迭代過程中最初需要使用的數(shù)據(jù)，然后在算法的進行過程中，運用前面介紹的誤差消除方法，對所得到各個點進行誤差的消除，直到滿足算法最終的要求，并將校正后的正交投影點作為以后投影時第一次運算的值，并一直保存，直至最終所有參數(shù)曲線投影結(jié)束為止［7］。以下是上述問題的具體算法，輸入：參數(shù)曲線p隱式曲面s，點p及其在隱式曲面上的正交投影點q，距離誤差閾值和正交誤差闡值。輸出：隱式曲面上一序列的正交投影點q。算法具體描述如圖3所示。

圖3　算法描述

3　算法仿真與比較

文中的仿真實驗均采用曲線和曲面作為實驗仿真輸入數(shù)據(jù)。具體而言，對于曲線和曲面，需給出曲線的控制頂點、曲面的控制網(wǎng)格點、節(jié)點向量。算法在MATLAB中實現(xiàn)，硬件條件為2.80 GHZ CPU和1 GB內(nèi)存［8］。經(jīng)過仿真可看到，本文所設(shè)計的二階算法在效率與精確性兩方面相比之前的通用方法得到了大幅提高。雖該算法比起之前的方法可能更為復(fù)雜，但卻對所得出的每個點同時進行了誤差消除的處理，表面上看到效率有所降低，但進行仿真與模擬后，發(fā)現(xiàn)誤差不僅大幅減少，且效率也得到了提高。而在對誤差的處理過程，兩種算法也不相同，我們所計算出的不僅需要確定這一點是否在隱式曲面上，同時也要確定是否與所要求的投影曲線相一致；而文中設(shè)計出的新算法所求出的點完全無需考慮這一問題，只需檢驗計算出正交投影點是否偏離所要求的正交投影曲線即可。另外，如曲面和全面之間，重復(fù)點或兩者相交時的曲線，均具有較好地研究價值和廣闊的應(yīng)用前景。圖4為馬蹄鐵形曲線在汽牢頂蓋曲面上的投影。

圖4　馬蹄鐵形曲線在汽牢頂蓋曲面上的投影

4　結(jié)束語

文中研究了計算機圖像學以及圖像處理等幾個領(lǐng)域的非線性投影問題，也對計算機圖形學做了一個概述，所研究的問題包括曲面上的迭代問題，以及迭代算法，正交投影算法等。并根據(jù)所提出的問題，進而給出了相應(yīng)的解決方法如二階迭代算法，此方法可以盡可能的減少誤差，并同時提高精度及運算效率。實際產(chǎn)生的效果表明，該方法能給投影問題提供一個全新的視角，對計算機圖形學中的非線性投影問題也有著較好的借鑒意義。

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The nonlinear projection problem research based on computer graphics

XU Shi-fang
（Department of Mathematics，Qiannan Normal College，Duyun 558000，China）

With the continuous development of science and technology，nonlinear projection method by using a small scale，the development of the included in the calculation of machine graphics，image processing，map design，photography，painting，etc.To projection technology needed for various areas to provide better technical support，this paper presents a nonlinear projection of computer graphics research，we studied in the field of computer graphics and image processing，and so the nonlinear projection problem，including the iteration of curved surface，and the iterative algorithm，orthogonal projection algorithm，etc，also introduces several nonlinear projection，the effect of the actual show that the method can provide a new perspective for projection problem，nonlinear projection problem of graphics has a very good reference significance.

orthogonal projection；orthogonal projection；the ball polar projection；center of the projection

TN99

A

1674－6236（2016）12-0162-03

2015-07-01稿件編號：201507004

徐時芳（1982—），女，貴州甕安人，碩士，講師。研究方向：信息與計算。