宮鳳強，司雪峰，李夕兵, 3，陶 明

?

基于應(yīng)變率效應(yīng)的巖石動態(tài)Mohr?Coulomb準則和Hoek?Brown準則研究

宮鳳強1, 2, 3，司雪峰1，李夕兵1, 3，陶 明1

(1. 中南大學資源與安全工程學院，長沙 410083；2. 中國礦業(yè)大學深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室，徐州 221008；3. 中南大學高等研究中心，長沙 410083)

在考慮強度準則參數(shù)粘聚力、內(nèi)摩擦角和巖石材料常數(shù)隨應(yīng)變率增加而變化的基礎(chǔ)上，分別提出了基于應(yīng)變率效應(yīng)的巖石動態(tài)Mohr?Coulomb準則和Hoek?Brown準則。花崗巖材料在6種圍壓下的三軸試驗結(jié)果表明：當應(yīng)變率從10?4s?1增加到100s?1時，粘聚力和巖石材料常數(shù)均隨應(yīng)變率增加而增加，但是內(nèi)摩擦角則隨應(yīng)變率增加而減小。為此，給出了上述3項參數(shù)隨應(yīng)變率變化的函數(shù)關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上，分別提出了考慮率效應(yīng)的動態(tài)Mohr?Coulomb準則和Hoek?Brown準則表達式。通過理論計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的對比，發(fā)現(xiàn)動態(tài)Mohr?Coulomb準則適應(yīng)于低圍壓情況，而動態(tài)Hoek?Brown準則在低圍壓和高圍壓情況下均適用。

巖石力學；抗剪強度參數(shù)；應(yīng)變率；動態(tài)Mohr?Coulomb準則；動態(tài)Hoek?Brown準則

摩爾?庫侖(Mohr?Coulomb)準則和霍克?布朗(Hoek?Brown)準則是目前巖石力學領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用最廣泛的兩個強度準則[1?2]。上述準則主要考慮的是靜載作用下巖石的破壞情況。在分析研究巖石(體)的動力破壞時，靜態(tài)強度準則由于無法考慮強度參數(shù)的率效應(yīng)特性，顯然已經(jīng)不太適用，非常有必要發(fā)展不同應(yīng)變率范圍內(nèi)的巖石動態(tài)強度準則[3?4]。在巖石動態(tài)強度準則研究方面，錢七虎等[5?6]針對巖石和巖體的動力破壞特性，提出了考慮強度?應(yīng)變率效應(yīng)的Mohr?Coulomb準則；ZHAO等[7]根據(jù)不同加載率下的試驗結(jié)果，提出巖石的抗壓強度隨著應(yīng)變率變化的主要原因是Mohr?Coulomb準則里的粘聚力的變化，并檢驗Mohr?Coulomb準則和Hoek?Brown準則用于評估巖石動態(tài)強度的適用性；宮鳳強等[8]通過對砂巖進行試驗，給出了不同應(yīng)變率范圍內(nèi)的動態(tài)Mohr?Coulomb準則和動態(tài)Hoek?Brown準則的具體表達形式，并檢驗了動態(tài)強度準則的適用情況；盧志堂等[9]和陳勇 等[10]分別通過中高應(yīng)變率下花崗巖動力特性三軸試驗研究及對華山花崗巖進行應(yīng)變率范圍為10?4~ 100s?1、圍壓范圍為20~100 MPa 的動三軸試驗測試，也認為巖石動態(tài)強度增大主要是由粘聚力的應(yīng)變率效應(yīng)引起這一結(jié)論。

在上述研究中，主要是驗證了不同應(yīng)變率或加載率量級下Mohr?Coulomb和Hoek?Brown準則的適用性，即所建立的動態(tài)強度準則是針對某一應(yīng)變率或加載率量級下的表達形式，缺少考察強度準則參數(shù)受應(yīng)變率增加的影響分析，也未建立基于率效應(yīng)的動態(tài)強度準則統(tǒng)一表達式。為此，本文作者根據(jù)參考文獻[11?12]中的試驗數(shù)據(jù)，利用穩(wěn)健回歸方法[13?14]，分別得到粘聚力、內(nèi)摩擦角和巖石材料常數(shù)隨應(yīng)變率增加的變化規(guī)律，并建立了基于應(yīng)變率效應(yīng)的巖石動態(tài)Mohr?Coulomb準則和Hoek?Brown準則，并對理論計算結(jié)果和試驗數(shù)據(jù)進行了對比，驗證了動態(tài)強度準則的適用范圍。

1 Mohr?Coulomb準則

Mohr?Coulomb準則主要包含兩個參數(shù)，分別是粘聚力和內(nèi)摩擦角，巖石的抗剪強度為巖石的粘聚力與剪切面法向應(yīng)力產(chǎn)生的摩擦力之和，如式(1)所示[7]：

式中：為粘聚力；為內(nèi)摩擦角。

(2)

和

圖1 Mohr?Coulomb準則(a?b面剪切破壞)

圖2 Mohr?Coulomb準則

根據(jù)圖2中的Mohr圓，有

則式(4)可整理為

由式(5)，令

可得

2 基于應(yīng)變率效應(yīng)的動態(tài)Mohr? Coulomb準則

為了研究應(yīng)變率對巖石抗壓強度的影響，LI和ZHAO等[11?12]針對花崗巖做了大量單軸試驗和一系列不同圍壓下的三軸試驗，所采用的花崗巖試樣全部取自新加坡Bukit Timah地區(qū)。試樣由55 mm的巖芯加工而成，尺寸為30 mm×60 mm。所有試驗均在RDT?10000型動載荷試驗機上進行。其中三軸試驗圍壓取6個系列，分別為20、50、80、110、140和170 MPa，加上單軸壓縮試驗，共為7個系列，實驗數(shù)據(jù)如表1[11?12]所列。根據(jù)表1中7組試驗數(shù)據(jù)，下面分別分析低圍壓和高圍壓下巖石的動態(tài)Mohr?Coulomb準則。

表1 不同應(yīng)變率及圍壓下的抗壓強度[11?12]

2.1 低圍壓下的動態(tài)Mohr?Coulomb準則

根據(jù)0、20、50和80 MPa下的試驗數(shù)據(jù)，利用穩(wěn)健回歸方法分別擬合10?4、10?3、10?1和100等4個應(yīng)變率量級下的強度線，如圖3所示。由圖3可以看出，相關(guān)系數(shù)的平方分別為0.9789、0.9883、0.9611和0.9078，線性相關(guān)性較好。根據(jù)圖中的直線擬合方程，結(jié)合式(6)，可以計算得到和在10?4、10?3、10?1和100等4個應(yīng)變率量級下的數(shù)值，結(jié)果如表2所示(和分別為擬合直線中的參數(shù))。從表2中可以看出不同應(yīng)變率量級下的粘聚力變化較大，10?4與100量級下相差26.57 MPa；內(nèi)摩擦角變化較小，不同應(yīng)變率量級下相差最大為2.93°。

圖3 低圍壓下不同量級應(yīng)變率的巖石強度規(guī)律

表2 低圍壓下粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ的計算結(jié)果

對表2中的應(yīng)變率與、值的關(guān)系進行擬合可以得到圖4中的關(guān)系曲線?？梢钥闯觯汉蛢烧卟⒉皇嵌ㄖ?，而是隨著應(yīng)變率量級的對數(shù)成線性關(guān)系，擬合的相關(guān)系數(shù)分別為0.9924和0.8986，直線的斜率分別為6.4488和?0.7385，隨著應(yīng)變率的對數(shù)的增大而增大，而隨著應(yīng)變率的對數(shù)的增大而減小。以最低應(yīng)變率量級所對應(yīng)的和為基準值，可以得到其它應(yīng)變率量級所對應(yīng)的和，如式(7)和(8)所示。

(8)

圖4 低圍壓下粘聚力c、內(nèi)摩擦角φ與應(yīng)變率的關(guān)系

根據(jù)式(7)和(8)可以得到不同應(yīng)變率下巖石的動態(tài)Mohr?Coulomb準則表達式：

(9)

為了驗證上述動態(tài)Mohr?Coulomb準則的適用性，根據(jù)式(9)進行理論計算，圖5給出了試驗數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的對比結(jié)果。從圖中可以看出，本研究中給出的動態(tài)Mohr?Coulomb準則計算所得到的理論數(shù)據(jù)比較符合實際情況。因此，在低圍壓條件下，可用本研究給出的動態(tài)Mohr?Coulomb準則估算巖石在不同應(yīng)變率下的動態(tài)壓縮強度。

圖5 動態(tài)Mohr?Coulomb準則理論結(jié)果與低圍壓試驗數(shù)據(jù)比較

2.2 高圍壓下的動態(tài)Mohr?Coulomb準則

利用穩(wěn)健回歸方法擬合4個應(yīng)變率量級下的強度線，并且每個量級包含0、20、50、80、110、140和170 MPa 7個圍壓，結(jié)果如圖6所示，圖6(a)到6(d)中0.9271、0.9148、0.9619和0.9032分別為4個應(yīng)變率量級下線性擬合的相關(guān)系數(shù)的平方，與低圍壓下的結(jié)果相比，擬合效果相對差一些。利用公式(6)計算得到和的值如表3所示。

圖6 高圍壓下不同量級應(yīng)變率的巖石強度規(guī)律

表3 高圍壓下粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ的計算結(jié)果

對表3中的應(yīng)變率與和的關(guān)系進行擬合可以得到圖7中的關(guān)系曲線，圖中直線的斜率分別為9.4463和?0.8681，對比圖4(a)與圖7(a)、圖4(b)與圖7(b)，可以看出，低圍壓下和的線性擬合的相關(guān)系數(shù)均高于高圍壓。用9.4463和?0.8681來替換式(9)中的6.4488和?0.7385，可以得到式(10)。

(10)

式中：0取58.81MPa，0取41.35°。

圖7 高圍壓下粘聚力c、內(nèi)摩擦角φ與應(yīng)變率的關(guān)系

利用式(10)進行理論計算，得到試驗數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的對比結(jié)果如圖8所示，從圖中不難看出，在圖8(a)中圍壓為170 MPa時，試驗值與理論值相差為122 MPa；圖8(b)中，80 MPa圍壓下相差高達146 MPa；圖8(c)和(d)中，單軸抗壓強度的理論值與試驗值相差分別為116和144 MPa。從整體上來說，擬合效果相對不佳。

圖8 動態(tài)Mohr?Coulomb準則理論結(jié)果與高圍壓試驗數(shù)據(jù)比較

為了建立基于應(yīng)變率效應(yīng)的巖石動態(tài)Mohr? Coulomb準則，另外分別計算了4、5、6和7個圍壓下的和的值，對和的值用穩(wěn)健回歸法進行擬合，得到擬合的相關(guān)系數(shù)隨著圍壓的增大而減小。粘聚力擬合的相關(guān)系數(shù)在4、5、6和7個圍壓下分別為0.9924、0.9056、0.7982和0.9175，內(nèi)摩擦角擬合的相關(guān)系數(shù)分別為0.8986、0.6173、0.4806和0.8650。對不同圍壓下的相關(guān)系數(shù)以及理論數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)進行比較，可以看出在4個圍壓下的動態(tài)Mohr?Coulomb準則比較符合實際情況。因此，基于應(yīng)變率效應(yīng)的動態(tài)Mohr?Coulomb準則適用于低圍壓情況，對于高圍壓情況適用性較差，這一結(jié)論和文獻[7]一致。

3 基于應(yīng)變率效應(yīng)的動態(tài)Hoek? Brown準則

Hoek?Brown準則由HOEK和BROWN于1980年首次提出，其表達式為[15?16]

在圍壓為0 MPa下測得不同應(yīng)變率的單軸抗壓強度如表4所示[11?12]，圖9給出單軸抗壓強度與應(yīng)變率對數(shù)的關(guān)系式及擬合線，以10?4量級的單軸抗壓強度為基數(shù)，用作為強度因子，可以得到

表4 不同應(yīng)變率下單軸抗壓強度[11?12]

圖9 單軸抗壓強度與應(yīng)變率的關(guān)系

三軸試驗圍壓取6個值，分別為20、50、80、110、140和170 MPa，將單軸抗壓強度的試驗數(shù)據(jù)帶入式(12)，

可以求得巖石參數(shù)，結(jié)果如表5所示。

表5 巖石參數(shù)m值

觀察4種應(yīng)變率下的均值可以發(fā)現(xiàn)，試驗求得的數(shù)據(jù)與查表所得的巖石參數(shù)存在一定差距。首先考慮低圍壓情況，選取圍壓為20、50和80 MPa的數(shù)據(jù)擬合不同應(yīng)變率下巖石參數(shù)的變化趨勢，如圖10所示。從圖10中發(fā)現(xiàn)，隨應(yīng)變率的增大，巖石參數(shù)整體呈上升趨勢，對不同應(yīng)變率量級的巖石參數(shù)進行擬合，如式(13)所示。

圖10 低圍壓下巖石參數(shù)與應(yīng)變率的變化規(guī)律

根據(jù)式(13)可以得到在低圍壓下花崗巖的動態(tài)Hoek?Brown準則：

(14)

用式(14)計算出不同應(yīng)變率量級下的抗壓強度，試驗數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)對比如圖11所示。從圖中可以看出，大多數(shù)情況下，試驗數(shù)據(jù)與用式(14)計算得到的理論數(shù)據(jù)基本吻合，說明動態(tài)Hoek?Brown準則在低圍壓范圍內(nèi)具有適用性。

圖11 動態(tài)Hoek?Brown準則理論結(jié)果與低圍壓試驗數(shù)據(jù)的對比

考察高圍壓情況，不同應(yīng)變率量級下的巖石參數(shù)的平均值分別為19.45、23.70、22.82和25.13，對其進行擬合，得到巖石參數(shù)與應(yīng)變率的關(guān)系曲線如圖12所示。從圖12可以看出，在4個應(yīng)變率量級下的試驗數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)十分吻合。由圖12中巖石參數(shù)與應(yīng)變率的關(guān)系式可以得出式(15)，

式中：0為應(yīng)變率(10?4s?1)對應(yīng)的巖石參數(shù)，取19.45。

圖12 巖石參數(shù)m與應(yīng)變率的關(guān)系

根據(jù)式(15)可以得到高圍壓下的巖石動態(tài)Hoek?Brown準則的表達式為

(16)

用式(16)計算不同應(yīng)變率及不同圍壓下花崗巖的抗壓強度，圖13給出了計算值與試驗值的對比?？梢哉J為，擬合效果相對較好。

圖13 動態(tài)Hoek?Brown準則理論結(jié)果與高圍壓試驗數(shù)據(jù)的比較

為了建立應(yīng)變率效應(yīng)下的巖石動態(tài)Hoek?Brown準則，本研究另外分別計算了從低到高4、5、6和7個圍壓下巖石參數(shù)的值，對巖石參數(shù)的值用穩(wěn)健回歸方法進行擬合，得到4、5、6和7個圍壓下的相關(guān)系數(shù)，分別為0.7812、0.7973、0.8475和0.7935，可以看出，4種圍壓下的相關(guān)系數(shù)在0.8左右波動，但是變化并不大。比較圖10與圖12中的理論數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)以及擬合的相關(guān)系數(shù)可以看出應(yīng)變率效應(yīng)下的巖石動態(tài)Hoek?Brown準則在低圍壓和高圍壓下均適用。

4 結(jié)論

1) 巖石Mohr?Coulomb準則中粘聚力和內(nèi)摩擦角在動載荷作用下并不是定值，而是受應(yīng)變率影響比較顯著；巖石Hoek?Brown準則中巖石參數(shù)也受到應(yīng)變率的影響。

2) 在應(yīng)變率的影響下，粘聚力和內(nèi)摩擦角與應(yīng)變率的對數(shù)呈線性關(guān)系，粘聚力隨著應(yīng)變率的對數(shù)的增大而增大，內(nèi)摩擦角隨著應(yīng)變率對數(shù)的增大而減小，粘聚力的變化較內(nèi)摩擦角的變化明顯。應(yīng)變率效應(yīng)下花崗巖的動態(tài)Mohr?Coulomb準則表達式如下：

3) 在不同的應(yīng)變率量級條件下，Hoek?Brown準則中的巖石參數(shù)隨應(yīng)變率的增大，整體呈上升趨勢。巖石參數(shù)與應(yīng)變率的對數(shù)呈線性關(guān)系?；趹?yīng)變率效應(yīng)的花崗巖動態(tài)Hoek?Brown準則表示如下：

4) 通過理論數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)的對比發(fā)現(xiàn)，應(yīng)變率效應(yīng)下的動態(tài)Mohr?Coulomb準則適用于低圍壓情況，動態(tài)Hoek?Brown準則既適用于低圍壓也適用于高圍壓情況。

5) 由于缺少不同應(yīng)變率下(尤其100s?1量級)的單軸以及三軸試驗，本研究主要是基于參考文獻[11?12]提供的試驗數(shù)據(jù)開展的，研究結(jié)果受到原有數(shù)據(jù)離散性的影響。在今后的工作中，需要加強巖石類材料在高應(yīng)變率下的三軸試驗工作，進而進一步科學考察動態(tài)Mohr?Coulomb準則和Hoek?Brown準則的適用性。

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Rock dynamic Mohr?Coulomb and Hoek?Brown criteria based on strain rate effect

GONG Feng-qiang1, 2, 3, SI Xue-feng1, LI Xi-bing1, 3, TAO Ming1

(1. School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha410083, China; 2. State Key Laboratory for Geomechanics and Deep Underground Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221008, China;3. Advanced Research Center of CSU, Central South University, Changsha 410083, China)

Considering the changes of strength criterion parameters cohesion, internal friction angleand rock material constantswith the increase of strain rate, the rock dynamic Mohr?Coulomb criterion and Hoek?Brown criterion based on strain rate effect were proposed in this study. According to the triaxial experimental data of a granite under six confining pressures, the results show that, when the strain rate increases from 10?4s?1to 100s?1, the cohesionand rock material constantsincrease, while the internal friction angledecreases with the increase of strain rate. The relationship between each strength criterion parameter and strain rate is given firstly. On this basis, the expression of dynamic Mohr?Coulomb criterion and Hoek?Brown criterion considering strain rate effect are presented, respectively. Through the comparison of theoretical calculation results with the experimental data, it can be concluded that the dynamic Mohr?Coulomb criterion is suitable for low confining pressure situation, while the dynamic Hoek?Brown criterion is applicable under low and high confining pressure conditions.

rock mechanics; shear strength parameters; strain rate; dynamic Mohr?Coulomb criterion; dynamic Hoek?Brown criterion

Projects(41472269, 41102170) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(SKLGDUEK1104) supported by State Key Laboratory for Geomechanics and Deep Underground Engineering, China University of Mining & Technology; Project(2015CX005) supported by Innovation Driven Plan of Central South University

2016-04-20; Accepted date:2016-06-21

GONG Feng-qiang; Tel: +86-18175973819; E-mail: fengqiangg@126.com

1004-0609(2016)-08-1763-11

TU45

A

國家自然科學基金資助項目(41472269，41102170)；中國礦業(yè)大學深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室開放基金項目(SKLGDUEK1104)；中南大學“創(chuàng)新驅(qū)動計劃”項目資助(2015CX005)

2016-04-20；

2016-06-21

宮鳳強，副教授，博士；電話：18175973819；E-mail: fengqiangg@126.com

(編輯 何學鋒)