張世功，吳先梅，張碧星，周紅生

?

一種由橫波激發(fā)的特殊非線性聲現(xiàn)象

張世功1, 2，吳先梅2，張碧星2，周紅生1

(1. 中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所東海研究站，上海200032；2. 中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所，北京100190)

目前對(duì)非線性超聲的研究多集中在縱波激發(fā)的諧波性質(zhì)以及對(duì)材料微觀結(jié)構(gòu)變化的實(shí)驗(yàn)檢測(cè)上，橫波激發(fā)的非線性聲波性質(zhì)少有研究。對(duì)橫波激發(fā)的一維非線性聲波方程入手，利用攝動(dòng)法求解該方程，并改寫(xiě)為一階偏微分方程，然后利用交錯(cuò)網(wǎng)格的有限差分形式進(jìn)行數(shù)值求解。結(jié)果表明：采用橫波激發(fā)，能產(chǎn)生線性橫波和非線性縱波，且縱波的高次諧波內(nèi)有兩個(gè)信號(hào)，分別以縱波和橫波兩種速度傳播。若采用較長(zhǎng)的激發(fā)信號(hào)，縱波諧波能形成“拍”現(xiàn)象，成為一種奇特的聲傳播現(xiàn)象。

非線性聲波；縱諧波；橫波激發(fā)；攝動(dòng)法

0 引言

有限振幅縱波激發(fā)的非線性聲波具有以下特征[1-3]：在傳播過(guò)程中畸變，變化為鋸齒波或三角波等；在傳播過(guò)程中，信號(hào)能量由基頻波向諧波傳遞；波形畸變的程度由非線性聲波的幅度決定，當(dāng)然頻率、非線性系數(shù)等一些物理參量也對(duì)畸變有較大影響；激波或沖擊波產(chǎn)生；除了諧波產(chǎn)生之外，非線性聲波還有一個(gè)性質(zhì)就是能夠?qū)蓚€(gè)不同頻率的輸入信號(hào)進(jìn)行調(diào)制，形成差頻波(或稱混頻波、調(diào)制波等)等；純縱波可以單獨(dú)傳播，但純橫波不能脫離縱波單獨(dú)傳播[2]；最后一個(gè)特點(diǎn)說(shuō)明用橫波激發(fā)時(shí)，不但會(huì)產(chǎn)生橫波，還會(huì)產(chǎn)生縱波。

Landau和Murnaghan比較早地研究了固體介質(zhì)中的非線性聲學(xué)問(wèn)題[4-5]，得到了各向同性介質(zhì)內(nèi)非線性聲波方程，人們利用這一方程對(duì)介質(zhì)的非線性進(jìn)行了大量的研究，范圍主要集中在固體介質(zhì)微觀變化的檢測(cè)評(píng)估上，而這些應(yīng)用都偏重于利用縱波進(jìn)行檢測(cè)，橫波檢測(cè)相對(duì)較少。但隨著科技的發(fā)展，利用橫波激發(fā)產(chǎn)生的縱諧波對(duì)材料進(jìn)行評(píng)價(jià)也逐漸開(kāi)展起來(lái)[6]。

在固體介質(zhì)里，橫波激發(fā)產(chǎn)生縱波是一個(gè)普通的正?，F(xiàn)象，而如果是無(wú)限大固體材料，又是平面橫波激發(fā)，還能產(chǎn)生縱波則有些不符合理論[7]，為此，本文對(duì)有限振幅橫波激發(fā)產(chǎn)生的非線性聲波進(jìn)行了理論研究。

首先，將非線性聲波簡(jiǎn)化，得到一維非線性聲波方程，利用數(shù)值計(jì)算對(duì)該方程進(jìn)行仿真，對(duì)得到的非線性聲波信號(hào)進(jìn)行分析，得到了一些由橫波激發(fā)的非線性聲波的性質(zhì)：橫波激發(fā)的非線性聲波產(chǎn)生幅度略微下降的線性橫波，但不產(chǎn)生橫波的諧波信號(hào)。同時(shí)還產(chǎn)生了縱波的諧波，且縱諧波里包含兩種速度的聲信號(hào)，一種以縱波的速度傳播，另一種以橫波的速度傳播，成為一種比較特殊的非線性聲現(xiàn)象。

1 理論基礎(chǔ)

考慮一維模型的二維振動(dòng)問(wèn)題，即聲傳播方向?yàn)榉较?，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向?yàn)椤⒎较?，?duì)Goldberg推導(dǎo)的非線性聲波進(jìn)行簡(jiǎn)化[1-3]，得到一維的非線性聲波方程：

(1b)

式中：、為、方向的振動(dòng)位移；11、44、111、166分別是二階彈性系數(shù)和三階彈性系數(shù)，為固體材料相應(yīng)的線性和非線性彈性參數(shù)。

方程(1)可以采用攝動(dòng)方法進(jìn)行求解[3]，令，設(shè)其解為：

(2b)

將其代入方程(1)，可得：

(3b)

(4b)

對(duì)于橫波激發(fā)的波傳播問(wèn)題，線性聲波方程(4a)、(4b)相互不耦合，采用橫波激發(fā)的方式不能獲得縱波的線性信號(hào)，即，而線性橫波方程的解為：；由于，方程(5a)、(5b)、(6b)中右側(cè)的源信號(hào)為0，均不能產(chǎn)生有效的聲信號(hào)。但對(duì)于方程(6a)，方程右側(cè)的源信號(hào)中包含0，方程可寫(xiě)作：

(7)

該方程為非齊次方程，因?yàn)椴▌?dòng)方程描述了方程的振動(dòng)(縱波)，而非齊次項(xiàng)卻含有橫波的波數(shù)，這個(gè)非齊次方程的解需要利用波方程Duhamel原理來(lái)解[8-9]，得到的解為

(8)

式中：為與縱波波速、橫波速、聲源以及介質(zhì)參數(shù)有關(guān)的常數(shù)：

從方程的解式(8)中可以看出，橫波激發(fā)的縱波解中有兩個(gè)二次諧波，分別以縱波速度和橫波速度傳播，這是一個(gè)相對(duì)奇特的聲學(xué)現(xiàn)象，由于攝動(dòng)法并不能得到信號(hào)的瞬態(tài)解，為此對(duì)方程(1)開(kāi)展了數(shù)值解的研究。

2 數(shù)值仿真

將方程(1)轉(zhuǎn)換為一階差分形式，然后利用有限差分方法對(duì)非線性方程進(jìn)行計(jì)算，考慮到,，可寫(xiě)作：

(10b)

其中，設(shè)應(yīng)變?yōu)?/p>

(10d)

方程(10)可以利用有限差分方法進(jìn)行計(jì)算，其振動(dòng)速度和應(yīng)變的交錯(cuò)網(wǎng)格格式差分方程為：

(11b)

(11c)

建立一維固體模型，材料為鋁，其相應(yīng)參數(shù)[10]見(jiàn)表1，相關(guān)文獻(xiàn)[11]對(duì)材料非線性系數(shù)的正負(fù)進(jìn)行過(guò)討論，不同材料的非線性系數(shù)有正有負(fù)，在數(shù)值計(jì)算中非線性系數(shù)的正負(fù)也只是影響波形畸變的位置是出現(xiàn)在位移大于零還是小于零的部分，而實(shí)驗(yàn)信號(hào)中波形畸變出現(xiàn)的位置也不盡相同[12]。

表1 鋁介質(zhì)的聲學(xué)參數(shù)

數(shù)值計(jì)算采用橫波來(lái)激發(fā)，聲源位于模型左側(cè)節(jié)點(diǎn)上，取方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度為聲源信號(hào)，其幅度為19 m/s，形狀為5個(gè)周期的正弦波加窗調(diào)制，頻率為500 kHz。由于一維模型的計(jì)算量相對(duì)較少，將模型的長(zhǎng)度設(shè)得較長(zhǎng)(0.5 m)，只研究聲波還沒(méi)有到達(dá)右邊界的情況，即可不必考慮右邊界反射問(wèn)題?？臻g和時(shí)間步長(zhǎng)分別為52.4 μm和6.94 ns。

3 結(jié)果及討論

計(jì)算得到某時(shí)刻的x方向傳播的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度和方向的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度聲場(chǎng)如圖1所示。

計(jì)算結(jié)果中可以明顯發(fā)現(xiàn)方向的振動(dòng)速度幅度與聲源相當(dāng)，為線性信號(hào)或基頻信號(hào)。而與傳播方向平行的方向振動(dòng)的縱波信號(hào)則幅度較小，與方向振動(dòng)的線性信號(hào)比較，可以明顯發(fā)現(xiàn)其為二次諧波信號(hào)。結(jié)果表明，即使是一維模型，橫波聲源激發(fā)也可以產(chǎn)生縱諧波，其幅度比線性信號(hào)小得多。但是較為奇特的是縱諧波信號(hào)中有兩個(gè)信號(hào)，一個(gè)以縱波速傳播，一個(gè)以橫波速傳播。沿方向傳播并在方向振動(dòng)的縱波信號(hào)竟然能以橫波速度傳播，這并不太符合傳統(tǒng)聲學(xué)中的理論。暫且稱在方向振動(dòng)并與橫波速度相同的二次諧波為橫波速縱波。對(duì)于非線性聲學(xué)理論，雖然橫波不能單獨(dú)存在，它的傳播必須要有縱波伴隨，但在方向振動(dòng)又在方向傳播，卻具有橫波的傳播速度，這有點(diǎn)難以理解。

一些文獻(xiàn)[13-14]稱采用橫波激發(fā)時(shí)不會(huì)產(chǎn)生二次橫諧波，但對(duì)數(shù)值計(jì)算中產(chǎn)生的橫波信號(hào)進(jìn)行頻譜分析后卻發(fā)現(xiàn)含有奇數(shù)次諧波，如圖2所示。

數(shù)值計(jì)算時(shí)，方程(10)并未將諧波分階次計(jì)算，所以計(jì)算的縱波(方向振動(dòng))和橫波(方向振動(dòng))信號(hào)是所有的階次都在一起的。橫波激發(fā)既然產(chǎn)生了縱波諧波信號(hào)，方向就有相應(yīng)的應(yīng)變，又產(chǎn)生振動(dòng)速度，而根據(jù)耦合情況就會(huì)產(chǎn)生橫波的諧波。值得注意的是，由于方向的速度和應(yīng)變都是較小的諧波信號(hào)，所以再次耦合出來(lái)的橫波信號(hào)幅度較小，階次更高，最小為三階諧波，計(jì)算結(jié)果中僅有奇次諧波，原因還有待分析。

數(shù)值計(jì)算的縱波信號(hào)還有一個(gè)奇特的現(xiàn)象，由于計(jì)算的方向的振動(dòng)速度中，以縱波速度傳播的信號(hào)振動(dòng)速度一直為正，而以橫波速度傳播的信號(hào)振動(dòng)速度一直為負(fù)，這樣會(huì)形成位移信號(hào)是一個(gè)包，這也與物理常識(shí)有出入。

上面解的形式和利用攝動(dòng)法的解有所差異，攝動(dòng)解中只是說(shuō)明縱波解中有二次諧波和兩種速度，兩種速度的波耦合在一起形成“拍”現(xiàn)象。但數(shù)值計(jì)算的現(xiàn)象中未出現(xiàn)該現(xiàn)象，分析原因?yàn)椋簲z動(dòng)解是一個(gè)穩(wěn)定的解，而數(shù)值求解卻是瞬態(tài)解，為此，采用連續(xù)波輸入，將輸入信號(hào)拉長(zhǎng)，取中間較為穩(wěn)定的解，方向振動(dòng)信號(hào)見(jiàn)圖3?？梢钥闯觯|(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度信號(hào)振幅被調(diào)制，同時(shí)具有縱波和橫波成分，與攝動(dòng)解形式完全一致。

鄧明晰教授[14]在其專著中討論了縱波和橫波形成的“拍”現(xiàn)象，橫波可以自作用產(chǎn)生二次諧波縱波并伴隨橫波，由于兩種波相速度不同，存在一個(gè)異步的相互作用，并產(chǎn)生“拍”現(xiàn)象。這和上述討論的問(wèn)題有一定的吻合之處。

橫波激發(fā)的非線性縱波有一定的復(fù)雜性，它比弦的大振幅橫振動(dòng)[15]更加復(fù)雜，并且不容易解釋，同時(shí)，這種應(yīng)用相對(duì)較少，所以本文不再加以討論。

4 結(jié)論

橫波激發(fā)的非線性聲波，能產(chǎn)生線性橫波和縱波諧波，且縱諧波以縱波和橫波兩種速度傳播，并能形成“拍”現(xiàn)象。為非線性聲波傳播的基礎(chǔ)研究提供了初步的理論指導(dǎo)。

[1] Green R E. Treatise on materials science and technology: ultrasonic investigation of mechanical properties[M]. NewYork: Academic Press, 1973: 73-126.

[2] Goldberg Z A. Interaction of plane longitudinal and transverse elastic waves[J]. Sov. Phys. Acoust, 1960, 6(3): 306-311.

[3] 錢祖文. 非線性聲學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2009, 332-400.

QIAN Zuwen. Nonlinear acoustics[M]. Beijing: Science Press, 2009: 332-400.

[4] 朗道, 栗弗席茲. 彈性理論[M]. 武際可, 劉寄星譯. 北京: 高等教育出版社, 2011: 120-123. Landau L B, Lifshitz E M. Theory of elasticity[M]. WU Jike, LIU Jixing translate. Beijing: High Education Press. 2011: 120-123.

[5] Murnaghan F D. Finite deformation of an elastic solid[M]. New York: Chapman & Hall Limited. 43-95.

[6] Jiang W H., Li L L. Du G H. Nonlinear propagation characteristics of transverse waves in anisotropic solids[C]//Ultrasonics Symposium, 1995. Proceedings., 1995 IEEE (Volume:1).

[7] 張海瀾. 理論聲學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007: 434-439. Zhang Hailan. Theoretical acoustics[M]. Beijing: High Education Press, 2007: 434-439.

[8] 布利克, 科達(dá)斯. 基礎(chǔ)偏微分方程[M]. 李俊杰譯. 北京: 高等教育出版社, 2006: 309-324. Bleecker D, Csordas G. Basic partial differential equations[M]. LI Junjietranslate. Beijing: High Education Press. 2006: 309-324.

[9] 易卜拉欣莫夫. 非線性數(shù)學(xué)物理問(wèn)題[M]. 盧琦譯. 北京: 高等教育出版社, 2010: 162. Ibragimov, I. A. Nonlinear mathematical physics problem[M]. LU Qi translate. Beijing: High Education Press. 2010. 162.

[10] Thomas J. Third-order elastic constants of aluminum[J]. Physical Review, 1968, 175(3): 955-962.

[11] Stratoudaki T, Ellwood R,.Sharples S, et al. Measurement of material nonlinearity using surface acoustic wave parametric interaction and laser ultrasonics[J]. J. Acoust. Soc. Am., 2011, 129(4): 1721-1728.

[12] Breazeale M A, Philip J. Determination of third-order elastic constants from ultrasonic harmonic generation measurements in Physical acoustics[M]. Edited by W. P. Mason. Orlando: Academic Press. 1984: 1-60.

[13] NORRIS A N. Symmetry conditions for third order elastic moduli and implications in nonlinear wave theory[J]. J. Elasticity, 1991, 25(3): 247-257.

[14] 鄧明晰. 固體板中的非線性蘭姆波[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2006: 1-22. DENG Mingxi. Nonlinear lamb wave in solid plate[M]. Beijing: Science Press, 2006: 1-22.

[15] 莫爾斯. P M, 英格特 K U. 理論聲學(xué)[M](下冊(cè)). 楊訓(xùn)仁等譯. 北京: 科學(xué)出版社, 1986: 991. Morse P M, Ingard K U. Theoretical acoustics[M]. YANG Xunren translate. Beijing: Science Press, 1986: 991.

A special nonlinear phenomenon excited bytransverse wave source

ZHANG Shi-gong1, 2, WU Xian-mei2, ZHANG Bi-xing2, ZHOU Hong-sheng1

(1.Shanghai Laboratory, Institute of Acoustics,Chinese Academy of Sciences, Shanghai 200032, China; 2.Institute of Acoustics,Chinese Academy of Sciences, Beijing100190,China)

Studies of nonlinear acoustics mostly concentrate on the problems relevant to the longitudinal harmonic waves generated by longitudinal waves at present. Nonlinear waves generated by transverse wave are seldom studied. In this paper, the nonlinear acoustic wave equation for the two dimensional oscillation propagating in one dimension direction is studied and solved by perturbation method. First the nonlinear acoustic wave equation is reformed intofirst order partial differential equation, and then the finite difference method in staggered grid style is performed to obtain the numerical solution. The results show that the linear transverse wave and nonlinear longitudinal wave can be observed with a transverse source; two signals in the longitudinal harmonic waves can propagate with longitudinal and transverse wave velocities respectively; and the clap phenomena of longitudinal harmonic waves can be seen in the nonlinear wave, which becomes a special acoustic propagation phenomenon. The results can provide a theoretical guidance for the basic study of nonlinear acoustic wave propagation.

nonlinear acoustics; longitudinal harmonic wave; excited by transverse wave; perturbation method

O422.7

A

1000-3630(2016)-03-0218-04

10.16300/j.cnki.1000-3630.2016.03.006

2016-01-10;

2016-03-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11274337)

張世功(1979－), 男, 河南鄢陵人, 博士, 研究方向?yàn)榉蔷€性聲學(xué), 超聲檢測(cè), 激光超聲。

張世功, Email: wuxm@mail.ioa.ac.cn