霍婭鮮[1]

?

基于滲流原理的SEIR傳染病模型研究

霍婭鮮[1]

（中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051）

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在疾病傳播的研究方面有著重要的應(yīng)用．探討常見(jiàn)的SEIR傳染病模型中的疾病傳播情況．用滲流原理與生成函數(shù)理論研究了SEIR傳染病模型中由一個(gè)染病者開(kāi)始所引起的疾病傳播，得到了疾病爆發(fā)閾值的計(jì)算表達(dá)式．

滲流原理；生成函數(shù)；SEIR；爆發(fā)閾值

接觸是疾病傳播常見(jiàn)的形式．把每個(gè)個(gè)體以及他們之間的接觸分別看作點(diǎn)和連邊，那么就能得到一個(gè)接觸網(wǎng)絡(luò)．把個(gè)體之間的狀態(tài)分為易感者（）、潛伏者（）、染病者（）和恢復(fù)者（）．其中，易感者對(duì)于該疾病處于易被感染狀態(tài)；潛伏者已經(jīng)感染該疾病且傳染性較低；染病者已經(jīng)感染該疾病且傳染性較高；恢復(fù)者感染過(guò)該疾病且已經(jīng)痊愈，并對(duì)該疾病有免疫．假設(shè)潛伏者和染病者的傳染率為，，且，，．本文利用滲流理論研究疾病在SEIR傳染病模型中的傳播．

為建立網(wǎng)絡(luò)中的疾病傳播和滲流理論之間的關(guān)系，當(dāng)邊中有病原體傳播時(shí)，就對(duì)邊做標(biāo)記或者說(shuō)它被占用．那么對(duì)于一個(gè)度為的節(jié)點(diǎn)，它有條邊被占用的概率為．因此，的概率分布生成函數(shù)，即

同理，隨機(jī)選擇一條占用邊，沿著這條邊到達(dá)的端點(diǎn)所連接的其余的邊中有條邊被占用的概率為

1.1.1生態(tài)環(huán)境烏當(dāng)區(qū)自然生態(tài)環(huán)境條件較好，利于櫻桃的生態(tài)種植。其地處貴陽(yáng)市東北部，域內(nèi)海拔872～1 659米，海拔落差相對(duì)較大，四季分明，冬無(wú)嚴(yán)寒，夏無(wú)酷暑，年平均溫度14.6攝氏度，森林覆蓋率達(dá)54.93%，空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良率保持93.8%以上，年均降雨量為1 100～1 300毫米，無(wú)霜期長(zhǎng)，適宜櫻桃種植業(yè)發(fā)展。

由式（1）和式（2）可知

若不考慮CVT(電容式電壓互感器)傳變特性影響，則變壓器剩磁可由斷路器開(kāi)斷前后電壓波形積分獲取，如式(4)所示。

當(dāng)圖中沒(méi)有環(huán)時(shí)，隨機(jī)選擇一條占用邊，沿著這條邊到達(dá)的端點(diǎn)所在的染病者連通片的大小的概率母函數(shù)[14]為

即

隨機(jī)選擇一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)，包含這個(gè)染病節(jié)點(diǎn)在內(nèi)的整個(gè)染病者連通片的大小的生成函數(shù)為

即

疾病的平均爆發(fā)規(guī)模為

因此

半夜兩點(diǎn)，妻子從別墅的二層走到一層客廳，看到丈夫還在跟一幫賭友玩牌，就對(duì)他們說(shuō)：“聽(tīng)著，能不能讓我在自己的房子里安安靜靜地睡一會(huì)兒？”丈夫說(shuō)：“輕點(diǎn)，親愛(ài)的，現(xiàn)在這已經(jīng)不是我們的房子了……”

疾病的爆發(fā)閾值為式（16）無(wú)意義時(shí)，即

時(shí)．為了不引起混淆，假設(shè)滿足式（17）的潛伏者和染病者的傳染率的值分別．令，則

[1] Jeong H，Mason s P，Barabssi A L，et al．Lethality and centrality in protein networks[J]．Nature，2001，411（6833）：41-42

[2] Williams R J，Martinez N D．Simple rules yield complex food webs[J]．Nature，2000，404（6774）：180-183

[3] Watts d J，Strogatz S H．Collective dynamics of-small-world networks[J]．Nature，1998，393（6684）：440-442

[4] Liljeros F，Edling C R，Amaral L A N，et al．The web of human sexual contacts[J]．Nature，2001，411（6840）：907-908

[5] 汪小帆，李翔，陳關(guān)榮．網(wǎng)絡(luò)科學(xué)導(dǎo)論[M]．北京：高等教育出版社，2012

[6] Moore C，Newman M E J．Epidemics and percolation in small-world networks[J]．Physical review E，2000，61（5）：5678

[7] Pastor S R，Vespignani A．Epidemic spreading in scale-free networks[J]．Physical review letters，2001，86（14）：3200

[8] Moreno Y，Pastor S，Vespignani A．Epidemic outbreaks in complex heterogeneous networks[J]．The European Physical Journal B-Condensed Matter and Complex Systems，2002，26（4）：521-529

[9] Warren C P，Sander L M．Firewalls，disorder and percolation in epidemics[J]．Arxiv preprint cond-mat，2001：0106450

[10] Karrer B，Newman M E J，Zdeborova L．Percolation on sparse networks[J]．Physical review letters，2014，113（20）：208702

[11] 宋瑞，靳禎．復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上不同染病期疾病的傳播及控制研究[J]．中北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，35（2）：93-96

[12] 宋瑞，靳禎．復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上階段性傳染病動(dòng)力學(xué)分析[J]．復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)，2014，11（3）：73-78

[13] Newman M E J．Spread of epidemic disease on networks[J]．Physical review E，2002，66（1）：016128

[14] Newman m E J，Strogatz S H，Watts D J．Random graphs with arbitrary degree distributions and their applications[J]．Physical review E，2001，64（2）：026118

Research on the SEIR model in epidemiology based on percolation theory

HUO Ya-xian

（School of Science，North University of China，Taiyuan 030051，China）

Complex networks has an important application in the disease transmission．Discussed the common SEIR model in epidemiology．Studied the epidemic which is caused by an infected individual about SEIR model in epidemiology using the theory of percolation and generating function，obtained the calculational expression of the disease outbreak threshold．

percolation theory；generating function；SEIR；the outbreak threshold

1007-9831（2016）02-0016-03

O29∶Q332.4

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.02.005

2015-11-24

霍婭鮮（1991-），女，山西晉城人，在讀碩士研究生，從事生物數(shù)學(xué)研究．E-mail：yuanmulanling@163.com