斯仁道爾吉

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特　010022)

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G′/G-展開(kāi)法的推廣及其應(yīng)用

斯仁道爾吉

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特010022)

把G′/G-展開(kāi)法推廣到G滿(mǎn)足橢圓方程與Riccati方程的一般情形而給出構(gòu)造非線性方程精確行波解的新方法并以KdV方程為例實(shí)現(xiàn)了該方法.該方法還可用來(lái)求解其它的非線性方程.

G′/G-展開(kāi)法；橢圓方程；Riccati方程

眾所周知,擴(kuò)展的tanh-函數(shù)法[1]、F-展開(kāi)法[2]、G′/G-展開(kāi)法[3]、輔助方程法[4]、推廣的輔助方程法[5]、exp(-φ(ξ))方法[6]等都是借助某個(gè)輔助方程(組)解的展開(kāi)式來(lái)求解非線性方程.例如，G′/G-展開(kāi)法中函數(shù)G滿(mǎn)足二階線性方程

(1)

由于解的形式受到限制，不能求得非線性方程的更多類(lèi)型的精確解.能否把函數(shù)G所滿(mǎn)足的輔助方程(1)換成別的方程而建立非線性方程的多種類(lèi)型的精確解呢？基于這種考慮,本文提出了把函數(shù)G所滿(mǎn)足的輔助方程(1)換成橢圓方程和Riccati方程而求解非線性方程精確解的新方法，并以KdV方程

(2)

為例說(shuō)明該方法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程.

1　橢圓函數(shù)解

對(duì)KdV方程作變換u(x,t)=u(ξ),ξ=x+ωt后積分兩次并置積分常數(shù)為零，則得到

(3)

令方程(3)中的u″項(xiàng)與3u2項(xiàng)相互抵消可得領(lǐng)頭項(xiàng)的冪次n=2,于是可置

(4)

其中A0,A1,A2及ω為待定常數(shù),Riccati橢圓函數(shù)w=sn(ξ,m)滿(mǎn)足方程

(5)

這里m(0

將(4)式代入(3)式并經(jīng)恒等變換cn2(ξ,m)=1-sn2(ξ,m),dn2(ξ,m)=1-m2sn2(ξ,m)以及導(dǎo)數(shù)關(guān)系式

變換方程后取cni(ξ,m)dni(ξ,m)snj(ξ,m)(i=0,1;j=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4)的系數(shù)為零,則得到如下關(guān)于A0,A1,A2,m,ω的代數(shù)方程組

6A1A2+2A1=0,

6m2A1A2+2m2A1=0,

-6m2A1A2+ωA1+6A0A1-6A1A2=0,

用Maple求解此方程組,則得如下四組解

(6)

(7)

(8)

(9)

將(6)～(9)式同ξ=x+wt一起代入(4)式得到KdV方程的橢圓函數(shù)解

(10)

(11)

(12)

u4(x,t)=23(m4+14m2+1+m2+1)-

(13)

這里用了等式dn2(x,m)+m2sn2(x,m)=1以及sn(x,0)=sinx,cn(x,0)=cosx.顯然,解(10),(11)和(12),(13)分別表示左行波與右行波.特別,在解(12),(13)中令m→0,則分別得到解(10)式和解

在解(12),(13)中令m→1,則分別得到如下解

u(x,t)=8csch22(x-16t).

2　雙曲函數(shù)與三角函數(shù)解

現(xiàn)在置

(14)

其中A0,A1,A2及ω為待定常數(shù);而f(ξ)滿(mǎn)足Riccati方程

(15)

其解為

(16)

將(14)式代入(3)式并將f′,f″,f?等用變換關(guān)系式

替代后令fj(j=0,1,…,8)的系數(shù)等于零,則得如下代數(shù)方程組

6A1A2+2A1=0,

6b3A1A2+2b3A1=0,

18bA1A2+2bA1+ωA1+6A0A1=0,

18b2A1A2+2b2A1+b ωA1+6bA0A1=0,

解此代數(shù)方程組得到如下解

(17)

(18)

將(16)～(18)式以及ξ=x+ωt代入到(14)式就得到KdV方程的如下解

值得指出的是也可以用其他的輔助方程來(lái)替代G′/G-展開(kāi)法中函數(shù)G所滿(mǎn)足的輔助方程(1)來(lái)尋找非線性方程的解,可能出現(xiàn)所選擇的輔助方程對(duì)某些非線性方程是適用的，對(duì)另一些非線性方程不適用的情況.

[1]FANEn-gui.Extendedtanh-functionmethodanditsapplicationstononlinearequations[J].Phys LettA,2000,277:212.

[2]ZHANG Jin-liang,REN Dong-feng,WANG Ming-liang,et al.The periodic wave solutions for the generalized Nizhnik-Novikov-Veselov equation[J].ChinPhys,2003,12(8):825.

[3]WANG M L，LI X Z，ZHANG J L．The(G′/G)-expansion method and traveling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics[J].PhysLettA,2008,372:417.

[4]SIRENDAOREJI,SUN Jiong.Auxiliary equation method for solving nonlinear partial differential equations[J].PhysLettA,2003,309(5-6):387

[5]ZHANG Sheng,XIA Tie-cheng.A generalized auxiliary equation method and its application to(2+1)-dimensional symmetric Nizhnik-Novikov-Vesselov equations[J].JPhysA:MathTheor,2007,40:227.

[6]MAHA S M SHEHATA.The exp(-φ(ξ)) method and its applications for solving some nonlinear evolution equations in mathematical physics[J].AmJComputMath,2015,5:468.

(責(zé)任編輯孫對(duì)兄)

A generalization of theG′/G-expansion method and its applications

Sirendaoerji

(College of Mathematical Science,Inner Mongolia Normal University,Huhhot 010022,Inner Mongolia,China)

A new method to construct the exact traveling wave solutions of nonlinear equations is proposed by using the elliptic equation and the Riccati equation in place of the auxiliary equation which satisfied by the function in theG′/G-expansion method.Our method is examined by taking the KdV equation as an illustrative example.The proposed method also can be applied to solve other nonlinear equations.

G′/G-expansion method;elliptic equation;Riccati equation

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.05.006

2016-03-20;修改稿收到日期:2016-07-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11261037,11361040);內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014MS0111);內(nèi)蒙古師范大學(xué)“十百千”人才培養(yǎng)工程項(xiàng)目(RCPY-2-2012-K-033)

斯仁道爾吉(1954—),男,內(nèi)蒙古正藍(lán)旗人,教授,博士.主要研究方向?yàn)楣铝⒆优c可積系統(tǒng)理論.

E-mail:siren@imnu.edu.cn

O 175.29

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1001-988Ⅹ(2016)05-0024-03