劉冶，李竹影，俞翔，曹文康，趙亞（海軍工程大學，武漢 430033）

形狀任意的超材料電磁隱身波長變換器的設計

劉冶，李竹影，俞翔，曹文康，趙亞
（海軍工程大學，武漢 430033）

目的 研究形狀任意的超材料電磁隱身波長變換器的設計方法。方法 基于坐標變換理論，通過對空間中的不同區(qū)域先后進行壓縮和擴張變換，設計出該裝置不同區(qū)域的電磁參數(shù)張量。結(jié)果 一方面，入射波經(jīng)過該裝置時，在其界面不產(chǎn)生散射，并且入射波穿過裝置進入外部自由空間時又能恢復其初始傳播狀態(tài)；另一方面，該裝置在特定區(qū)域改變了電磁波的波長。結(jié)論 有限元軟件的仿真結(jié)果顯示波長變換器實現(xiàn)了預期的電磁功能，從而驗證了該裝置電磁參數(shù)張量表達式的正確性。

超材料；坐標變換；波長變換器；隱身

人工超材料實現(xiàn)了自然材料并不具備的奇異物理性能，除了負折射、逆多普勒效應、完美透鏡、逆Cerenkov輻射效應等反常物理特性[1]外，而以坐標變換理論[2—3]為基礎的超材料[4]在理論上可實現(xiàn)對電磁波的完美隱身。自Schurig等人在2006年完成了世界上第一個簡化參數(shù)的圓柱形電磁隱身斗篷的參數(shù)設計和微波仿真驗證[4]后，基于坐標變換理論來設計電磁隱身斗篷及其拓展裝置的研究很快成為超材料領域的又一個重要研究方向。除了隱身斗篷[5—11]，人們應用坐標變換理論還設計了電磁聚焦器[12]、電磁彎折器[13]、規(guī)則形狀的波長變換器[14]、波形轉(zhuǎn)換器[15]等多種功能型超材料電磁裝置。

在超材料裝置的研究中，某課題組先后推導出了圓柱形和橢圓柱形波長變換器的電磁參數(shù)張量，發(fā)展了新型超材料波長變換器的設計方法[14]。在此基礎上，文中將波長變換器的構(gòu)型拓展到任意形狀，推導了任意形狀波長變換器的電磁參數(shù)張量，使波長變換器在構(gòu)型設計上的更靈活。

1　電磁參數(shù)張量的推導

文中僅討論如何用波長變換器來放大電磁波的波長，對波長縮小的討論同理。在設計波長變換器時需要進行兩次空間變換，第一次變換是將原空間中的某一部分區(qū)域進行壓縮，即將圖1a中的區(qū)域II，III壓縮成如圖1b所示的區(qū)域III，以實現(xiàn)入射波的無散射傳播；第二次變換是將原空間中剩下的區(qū)域I擴張成如圖1c所示的區(qū)域II′，以使得裝置可以放大入射電磁波的波長。

1.1空間壓縮

圖1為形狀任意的波長變換器的二維構(gòu)型，該構(gòu)型由三條任意的共形曲線組成。設曲線的歸一化邊界方程為R（0θ），按照從內(nèi)到外的順序，圖1中三條封閉曲線的方程依次為aR（0θ），bR（0θ），cR（0θ），a，b，c為比例系數(shù)。則有區(qū)域I為0≤r（θ）≤aR0（θ），區(qū)域II為aR（0θ）＜r（θ）≤bR（0θ），區(qū)域III 為bR（0θ）＜r（θ）≤cR（0θ），區(qū)域II′為0＜r（θ）≤bR（0θ）。圖1b表示的壓縮過程，對應的坐標變換式為：

圖1　形狀任意的波長變換器的空間變換過程Fig.1　Procedures of space transformations in designing of the invisible wavelength transformer with arbitrary shape

如果令c=1，cR（0θ）=R（0θ）是該波長變換器的外邊界曲線方程，此時a，b轉(zhuǎn)化為R（0θ）所圍區(qū)域的壓縮系數(shù)，可令a=n，b=m，并設：

可以得到：

在直角坐標系中：

由式（2）—（4）以及三角函數(shù)的定義可以得到：

由式（5），根據(jù)坐標變換理論[2，6]，可以推導出波長變換器中空間壓縮區(qū)域的電磁參數(shù)張量分別為：

1.2空間擴張

在壓縮過程后，為滿足變換空間的連續(xù)性，需要將原空間中的區(qū)域I擴張至區(qū)域II′，如圖1c所示。該擴張過程對應的坐標變換式在直角坐標系下可寫為：

根據(jù)坐標變換理論，可以很快得到波長變換器在該區(qū)域的電磁參數(shù)張量為：

2　建模與仿真

任意形狀波長變換器的仿真模型如圖2所示。

圖2　任意形狀波長變換器的仿真模型Fig.2　The sketch map of simulation model of the invisible wavelength transformer with arbitrary shape

在圖2中，取壓縮系數(shù)m=0.6，n=0.3，并設波長變換器的歸一化曲線方程為R0（θ）=0.04·（cos 2θ+ sin 3θ+cosθ+3）。采用基于有限元的COMSOL Multiphysics商業(yè)仿真軟件進行數(shù)值仿真計算。仿真條件中，波源為單位強度的TM平面波，工作頻率為10 GHz，矩形求解域為0.45 m×0.36 m，求解域的四周設置為吸收邊界，波長變換器的各個邊界均為連續(xù)邊界，TM波從矩形域的左邊界垂直入射。最終的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3　任意形狀波長變換器的磁場分布Fig.3　The magnetic field distribution of the invisible wavelength-transformer with arbitrary shape

從圖3中可知，當TM波傳播至波長變換器的壓縮區(qū)域III時，其等相位面開始平滑地沿著裝置的擴張區(qū)域II′的邊界彎曲，而當TM波傳播至擴張區(qū)域II′的內(nèi)部時，TM波的波長明顯被放大，并且該入射波在擴張區(qū)域傳播時并沒有出現(xiàn)散射和反射的現(xiàn)象。當TM波從波長變換器內(nèi)部透射至外部自由空間時，其等相位面又恢復到原來的入射波形態(tài)。如果從外部自由空間來觀測TM波傳播的情況，則會發(fā)現(xiàn)TM波好像一直處于初始狀態(tài)，說明波長變換器的存在不影響TM波在該裝置外部的傳播方式。從圖3中可以看到，形狀任意的波長變換器同時具備對電磁波隱身和變換電磁波波長的功能，該結(jié)果也驗證了式（6）和（8）的正確性。

文中從數(shù)值仿真計算的結(jié)果中還提取了波長變換器外部自由空間區(qū)域和內(nèi)部擴張空間區(qū)域的場強變化圖，并比較了這兩區(qū)域中的電磁波波長，如圖4所示。圖4a為自由空間區(qū)域，TM波的波長為0.03 m，傳播過程中一直保持不變；圖4b為波長變換器的擴張空間區(qū)域，TM波的波長為0.06 m，恰為自由空間中波長的2倍，這個放大倍數(shù)正好就是圖1c中擴張區(qū)域II′的擴張倍數(shù)，也是波長變換器在建模過程中比例系數(shù)b相對于a的倍數(shù)。因此，圖4的仿真計算結(jié)果再一次驗證了任意形狀波長變換器的理想隱身和變換入射波波長的電磁功能。

圖4　求解域不同區(qū)域的場強變化Fig.4　Diagram of field density in different regions of solution domain

3　結(jié)語

應用坐標變換理論，設計出了同時具備對電磁波隱身和變換入射電磁波波長等功能的形狀任意的超材料電磁隱身波長變換器，推導出了波長變換器不同區(qū)域的電磁參數(shù)張量表達式，并采用有限元仿真軟件對該裝置的電磁特性進行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果顯示所設計的波長變換器完全實現(xiàn)了上述電磁功能，從而驗證了該裝置電磁參數(shù)張量推導的正確性。關于該裝置的設計方法不僅增加了超材料電磁隱身波長變換器在構(gòu)型設計上的靈活性，還拓展了坐標變換理論在設計超材料隱身電磁裝置上的應用。

[1]SHELBY R A，SMITH D R，SCHULTZ S.Experimental Verification of a Negative Index of Refraction[J].Science，2001，292（5514）：77—79.

[2]SCHURIG D，PENDRY J B，SMITH D R.Calculation of Material Properties and Ray Tracing in Transformation Media[J]. Optics Express，2006，14（21）：9794—9804.

[3]PENDRY J B，SCHURIG D，SMITH D R.Controlling Electromagnetic Fields[J].Science，2006，312（5781）：1780—1782.

[4]SCHURIG D，MOCK J J，JUSTICE B J，et al.Metamaterial Electromagnetic Cloak at Microwave Frequencies[J].Science，2006，314（5801）：977—980.

[5]WU Q，ZHANG K，MENG F Y，et al.Material Parameters Characterization for Arbitrary N-sided Regular Polygonal Invisible Cloak[J].J Phys D：Appl Phys，2009，42：035408.

[6]LI C，LI F.Two-dimensional Electromagnetic Cloaks with Arbitrary Geometries[J].Optics Express，2008，16（17）：13414—13420.

[7]MA H，QU S B，XU Z，et al.Material Parameter Equation for Elliptical Cylindrical Cloaks[J].Phys Rev A，2008，77（1）：013825.

[8]劉冶，李竹影，張旺洲，等.組合型電磁隱身斗篷的超材料設計與仿真[J].功能材料，2013，44（15）：2235—2238.

LIU Ye，LI Zhu-ying，ZHANG Wang-zhou，et al.Design and Emulation of Combined-shaped Electromagnetic Stealthy Cloak Made of Metamaterials[J].Journal of Functional Materials，2013，44（15）：2235—2238.

[9]劉冶，李竹影，趙林，等.一種無奇異參數(shù)橢圓形電磁隱身斗篷的設計基礎理論[J].裝備環(huán)境工程，2015，12（1）：6—10.

LIU Y，LI Zhu-ying，ZHAO Lin，et al.A Design Fundamental Theory of Elliptic Cylindrical Invisible Cloak with Non-singular Electromagnetic Tensors[J].Equipment Environmental Engineering，2015，12（1）：6—10.

[10]JIANG W X，CUI T J，YU G X，et al.Arbitrarily Elliptical-cylindrical Invisible Cloaking[J].J Phys D：Appl Phys，2008，41 （8）：085504.

[11]CHEN H S，ZHENG B，SHEN L，et al.Ray-optics Cloaking Devices for Large Object in Incoherent Natural Light[J].Nature Communications，2013（4）：2652.

[12]YU G X，JIANG W X，ZHOU X Y，et al.Non-rotationally Invariant Invisibility Cloaks and Concentrators of Em Wavesz [J].Eur Phys J Appl Phys，2008，44：181—185.

[13]JIANG W X，CUI T J，ZHOU X Y，et al.Arbitrary Bending of Electromagnetic Waves Using Realizable Inhomogeneous and Anisotropic Materials[J].Phys Rev E，2008，78（6）：066607.

[14]劉冶，李竹影，張旺洲，等.超材料電磁隱身波長變換器的設計與仿真[J].功能材料，2014，45（11）：11027—11031.

LIU Ye，LI Zhu-ying，ZHANG Wang-zhou，et al.Design and Simulation of Metamaterial Electromagnetic Invisible Wavelength-transformer[J].Journal of Functional Materials，2014，45（11）：11027—11031.

[15]MA H，QU S B，XU Z，et al.General Method for Designing Wave Shape Transformers[J].Opt Express，2008，16（26）：22072—22082.

Design of Metamaterial Electromagnetic Invisible Wavelength Transformer with Arbitrary Shape

LIU Ye，LI Zhu-ying，YU Xiang，CAO Wen-kang，ZHAO Ya
（Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

Objective To study the design method of metamaterial electromagnetic invisible wavelength transformer with arbitrary shape.Methods Based on coordinate transformation theory,by means of compressing certain region and then expanding another one in the space,the electromagnetic tensors of the device in different regions were deduced.Results On one hand,when the incoming waves propagated into the device,there was no scattering on the boundary of the device.And the waves returned to their original propagation when they propagated into the free space from the inner region of the device.On the other hand,the device could change the wavelength of electromagnetic wave in the particular region.Conclusion The simulation results of the software based on finite element method showed that the wavelength transformer realized the anticipated electromagnetic function,which validated the electromagnetic tensor expressions of the device.

metamaterial；coordinate transformation；wavelength-transformer；invisibility

2015-07-07；Revised：2015-08-09

10.7643/issn.1672-9242.2016.01.018

TJ99；TM25

A

1672－9242（2016）01－0098-04

2015-07-07；

2015-08-09

國防預研基金項目（9140A270304）

Fund：Supported by the National Defense Pre-research Foundation（9140A270304）

劉冶（1986—），男，湖北武漢人，博士，工程師，主要研究方向為超材料隱身裝置的構(gòu)型設計與性能優(yōu)化。

Biography：LIU Ye（1986—），Male，from Wuhan，Hubei，Ph.D.，Engineer，Research focus：configuration design and property optimization of metamaterial invisible device.