姜 濤賈宏杰姜懿郎孔祥玉陸 寧

（1. 智能電網(wǎng)教育部重點實驗室（天津大學） 天津 300072 2. 北卡羅來納州立大學電氣與計算機工程系 羅利 27695-791）

跨區(qū)互聯(lián)電網(wǎng)熱穩(wěn)定安全域邊界近似方法

姜 濤1賈宏杰1姜懿郎1孔祥玉1陸 寧2

（1. 智能電網(wǎng)教育部重點實驗室（天津大學） 天津 300072 2. 北卡羅來納州立大學電氣與計算機工程系 羅利 27695-791）

基于多元非線性回歸理論，探究滿足跨區(qū)域互聯(lián)大電網(wǎng)聯(lián)絡斷面支路N?1熱穩(wěn)定約束下的熱穩(wěn)定安全域邊界（SRB）近似算法。構(gòu)建多種電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域邊界近似模型，引入模型擬合優(yōu)度、總體顯著性水平、變量顯著性水平以及參數(shù)置信區(qū)間等概念，對所建模型進行全面、綜合的評估，判定所提模型的可靠程度，確定合理的安全域邊界近似模型。與實際區(qū)域互聯(lián)大電網(wǎng)相結(jié)合，通過大量計算結(jié)果對所提模型驗證、評估，確定可綜合、全面反映安全域邊界特性的近似模型；在此基礎上提出并驗證電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域邊界近似的快速算法及多支路熱穩(wěn)約束下的電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域邊界近似算法。最后將所提方法應用到實際電網(wǎng)中，構(gòu)建滿足實際跨區(qū)域互聯(lián)大電網(wǎng)聯(lián)絡斷面支路N?1約束的熱穩(wěn)定安全域。

電力系統(tǒng) N?1 熱穩(wěn)定 安全域 非線性回歸模型

0 引言

隨著電力工業(yè)快速發(fā)展、受端系統(tǒng)規(guī)模不斷擴大，特別是用電負荷迅猛增長、最高用電負荷占比逐步增加，而受端系統(tǒng)電源建設不足，大量電能需遠距離輸送，迫使受端系統(tǒng)對區(qū)域外電力依賴度不斷增加，區(qū)域間斷面輸電功率日益接近其傳輸極限，威脅著電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運行[1-4]。此外，受環(huán)境、建設成本等因素制約，區(qū)域間輸電走廊建設面臨多重不確定性風險，區(qū)域間斷面常運行在重載工況下，這些因素導致世界范圍內(nèi)因關鍵斷面支路過載引發(fā)的電網(wǎng)聯(lián)鎖事故頻頻發(fā)生，造成了巨大的經(jīng)濟損失和嚴重的社會影響。區(qū)域間聯(lián)絡斷面的安全穩(wěn)定問題越來越被研究和運行人員重視[5-9]，而 N?1下斷面支路的熱穩(wěn)定性作為斷面安全穩(wěn)定校驗的基本要求，尤其被區(qū)域調(diào)度控制中心的運行和調(diào)度人員關注[10,11]。

目前，N?1下斷面支路的熱穩(wěn)定校驗完全基于“極限計算”模式，極限計算模式簡單易用，已在電網(wǎng)的運行和規(guī)劃中發(fā)揮了巨大的作用。但隨著電網(wǎng)的發(fā)展，極限模式也暴露出越來越多的局限性，集中體現(xiàn)在兩個方面：①在極限之下也可能是不安全的；②極限本身隨不同的運行方式變化較大而某一個固定的極限值難以確保電網(wǎng)的安全。隨著電網(wǎng)規(guī)模的擴大和新能源的大規(guī)模接入，影響斷面潮流的因素越來越多，呈現(xiàn)出明顯的多維特性，僅僅采用過去簡單的、一維的極限方法控制電網(wǎng)的運行已經(jīng)不能滿足大電網(wǎng)安全運行和精細化管理的要求，亟需發(fā)展新的技術手段來解決該問題，而多維空間安全域方法就是一種最理想、最實用的新技術解決方案[11]。

安全域是定義在參數(shù)空間上，滿足各類安全穩(wěn)定性約束的運行點集。安全域計算得到的是參數(shù)空間中系統(tǒng)能夠安全運行的一片連續(xù)區(qū)域，得到安全域后，斷面的N?1熱穩(wěn)定校驗變得簡單——只需評估運行方式（運行點）在參數(shù)空間中的位置是否位于安全域之內(nèi)，就可判斷其是否安全。進一步還可以測量運行點到不同方向的安全域邊界的距離來定量評估當前運行方式下斷面的安全性以及方式安排的魯棒性，并給出相應預防控制措施調(diào)整系統(tǒng)斷面潮流分布，改善斷面支路N?1后的安全穩(wěn)定性[12]?；诙嗑S空間安全域的斷面監(jiān)測與控制已在國家電力調(diào)度中心、河南電力調(diào)度中心和天津電力調(diào)度中心得到了實際應用[12]。文獻[13]指出，利用超平面的思想將北美傳統(tǒng)的二維安全域Nomogram拓展到多維空間，能考慮多種輸電通道、發(fā)電以及負荷的影響，并且可以通過多維空間確認系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)、發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的控制方向，是北美電力控制中心未來主要發(fā)展的領域之一。同時，隨著廣域量測系統(tǒng)（Wide-Area Measurement Systems, WAMS）在電力系統(tǒng)中的大規(guī)模應用，為電力系統(tǒng)在廣域范圍內(nèi)實現(xiàn)斷面熱穩(wěn)定在線監(jiān)測提供了新技術[13-15]。借助廣域量測信息在線監(jiān)測系統(tǒng)的關鍵支路的熱穩(wěn)定性已成為電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域研究的重要方向。文獻[14]利用由WAMS實時提供的系統(tǒng)狀態(tài)變量（節(jié)點電壓幅值和相角）計算仿射變換矩陣，將支路功率映射到節(jié)點注入功率空間，在注入?yún)?shù)空間構(gòu)建輸電線路熱穩(wěn)定；文獻[15]進一步提出利用廣域量測信息構(gòu)建電力系統(tǒng)廣域安全域的基本概念、模型及算法，探討了基于廣域量測信息構(gòu)建的廣域安全域在電力系統(tǒng)中的應用前景。上述方法在構(gòu)建電力系統(tǒng)的安全域時都基于一個假設，即電力系統(tǒng)的安全域邊界可以用超平面近似。而采用超平面近似時，為避免安全域內(nèi)部出現(xiàn)空洞，必然會將一定的系統(tǒng)安全運行點排除在安全域外而造成安全域的保守性。為降低安全域的保守性，通常做法是對安全域邊界采用超平面分段近似。采用超平面線性近似雖能獲得較為理想的安全域，但也加重了計算量。因此，如何在兼顧安全域計算準確度和計算工作量的基礎上，開發(fā)合理的安全域邊界近似算法尤為重要。

本文以多元非線性回歸模型為基礎，以跨區(qū)域互聯(lián)電網(wǎng)調(diào)度中心所關注的斷面熱穩(wěn)定為研究重點，構(gòu)建基于多元非線性回歸模型的跨區(qū)互聯(lián)電網(wǎng)斷面熱穩(wěn)定安全域，通過多元非線性回歸的相關理論研究電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域邊界的近似方法，并將所提方法應用到實際電網(wǎng)中，通過實例研究，確定合理的電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域邊界近似算法，最后在參數(shù)空間中，構(gòu)建了N?1下滿足實際電網(wǎng)送、受電斷面支路熱穩(wěn)定約束的熱穩(wěn)定安全域。

1 計及N?1的斷面熱穩(wěn)定安全域

電力系統(tǒng)的靜態(tài)安全約束是由節(jié)點電壓幅值約束V?、支路熱穩(wěn)定約束T?、有功發(fā)電約束P?和無功發(fā)電約束Q? 共同組成，其數(shù)學表達式為式中，B、L和 G分別為系統(tǒng)中節(jié)點、支路及發(fā)電機的集合；Vk、il,k、Pg,k和 Qg,k分別為節(jié)點的電壓幅值、支路流過的電流、發(fā)電機的有功出力和無功出力；上標max、min分別為參數(shù)值的上、下限。

式中，f(x,y)為系統(tǒng)潮流方程；x為狀態(tài)變量向量；y為節(jié)點的注入復功率向量；D為系統(tǒng)的描述性參數(shù)向量，其元素可以為支路電流、功率、支路相位差、區(qū)域發(fā)電機總出力、區(qū)域總負荷和斷面有功功率等。

實際運行中，調(diào)度運行人員不僅關心當前狀態(tài)下系統(tǒng)的熱穩(wěn)定問題，更關心系統(tǒng)在當前狀態(tài)下N?1后的系統(tǒng)熱穩(wěn)定性，進一步由式（2）得到描述性參數(shù)空間中，N?1下的電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定域數(shù)學表達式為

式中，?為系統(tǒng)N?1時的任意故障。

進一步由式（3）得到參數(shù)空間中，電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定域邊界上界點的支路電流必滿足支路約束方程

式中，fT(i)表示 N?1時，系統(tǒng)中至少有一條支路熱穩(wěn)定處于臨界狀態(tài)；l為系統(tǒng)的支路數(shù)量。對于實際電網(wǎng)而言，其支路數(shù)成百上千，即 l取值遠大于3，若以各條支路有功功率為研究對象，作為描述性參數(shù)向量D中元素選取為坐標軸，所構(gòu)建的電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域必定是高維度。如何將此高維度安全域從概念推向?qū)嵱没媾R兩大主要難題：①如何可視化，從人類視角出發(fā)，綜合安全域在二維空間和三維空間可觀性強；②如何求解邊界，高維空間中安全域邊界拓撲性質(zhì)復雜且難以計算，制約著高維空間安全域的應用。

目前在實際電網(wǎng)中構(gòu)建電力系統(tǒng)綜合安全域的總體思路為：在盡量保留系統(tǒng)關鍵性信息的前提下，結(jié)合實際系統(tǒng)所面臨的主要問題，將高維空間的綜合安全域化簡到二維或三維空間中，利用已實際應用、成熟的二維或三維空間的安全域技術構(gòu)建實際電網(wǎng)的安全域。為此，本文從全局角度出發(fā)，以區(qū)域電網(wǎng)調(diào)度控制中心運行和研究人員最為關心的系統(tǒng)送、受斷面為主要研究對象，選擇其有功功率及影響上述斷面的關鍵性電廠和區(qū)域的有功出力作為描述性參數(shù)構(gòu)建滿足斷面支路N?1約束的熱穩(wěn)定安全域，其中送、受電斷面由區(qū)域電網(wǎng)電力調(diào)度控制中心定義，關鍵性電廠和區(qū)域結(jié)合電網(wǎng)運行經(jīng)驗和功率傳輸轉(zhuǎn)移分布因子（Power Transfer Distribution Factor，PTDF）共同確定。

2 安全域邊界的常用近似方法

在電力系統(tǒng)多維參數(shù)空間中，盡管通過各種搜索算法，可以追蹤到滿足系統(tǒng)N?1熱穩(wěn)定約束的邊界和臨界點，這些散布在空間中的一系列臨界點構(gòu)成了電力系統(tǒng)N?1下的熱穩(wěn)定域邊界。但這種邊界沒有一個可明確描述其特性的數(shù)學解析表達式，在實際電力系統(tǒng)中不具有工程應用價值。為此相關學者開展了大量的研究工作，研究安全域的邊界拓撲性質(zhì)，確定采用何種方法對安全域邊界進行近似，以期得到安全域邊界的解析表達式，實現(xiàn)安全域的工程實用化。文獻[12]在安全域的研究中發(fā)現(xiàn)“在工程關心的范圍內(nèi)，安全域邊界可用一個或幾個超平面來近似描述”。 基于超平面近似的電力安全域如圖1所示，圖中超平面約束下的安全域可以轉(zhuǎn)換為一系列線性不等式

圖1　基于超平面近似的安全域示意圖Fig.1 Conceptual view of approximated security region

式中，k表示擬合該安全域邊界的第 k個超平面，對應于式中的第k個不等式，表示系統(tǒng)在運行時需滿足第 k個支路的熱穩(wěn)定約束；n為該安全域的空間維數(shù)為第k超平面的系數(shù)。若在某一運行點滿足式（5），則系統(tǒng)運行在安全域內(nèi)，不會發(fā)生N?1支路過載現(xiàn)象；反之，則系統(tǒng)運行在安全域外，N?1后系統(tǒng)將出現(xiàn)支路過載。利用超平面對安全域近似，便于開發(fā)出計算安全域的快速算法，實現(xiàn)安全域的可視化，大大降低電力系統(tǒng)參數(shù)不確定性時電力系統(tǒng)概率安全性評估的計算量，使一大類電力系統(tǒng)最優(yōu)化問題中穩(wěn)定約束處理難的問題變得十分簡易。而采用超平面近似的關鍵是求解式（5）中超平面系數(shù)λk，由式（4）和式（5）可知，位于安全域的第k個超平面Hk上的運行點滿足

目前常采用最小二乘求解式（6）第k個超平面Hk的系數(shù)λk。滿足式（6）最小二乘誤差平方和最小的方程為

通過式（8）可求出第k個超平面的系數(shù)。同理，采用上述方法，依次可求出組成安全域的m個超平面的系數(shù)。

為整體評估超平面擬合的準確度，進一步定義了超平面近似安全域邊界的總體相對誤差為

式中，k表示第 k個超平面；m為安全域邊界上的臨界點個數(shù)。

由式（9）求得kε，便可評估采用超平面擬合安全域邊界的效果。若所得相對誤差kε過大，則可以考慮采用多個超平面進行擬合，直到滿足所需準確度為止。采用上述超平面方法所構(gòu)建的電力系統(tǒng)動態(tài)穩(wěn)定域和電壓穩(wěn)定域的準確性和有效性已在文獻[16-20]中得到驗證，并在實際工程中得到了應用。而對于“目前運行人員重點關注的區(qū)域間斷面熱穩(wěn)定安全域是否可以采用這種方法構(gòu)建，所構(gòu)建的安全域準確度是否滿足要求，其保守性如何?”目前尚無研究人員對此進行深入研究，此外采用kε評價安全域邊界的擬合準確度仍具有一定的片面性，并不能綜合、全面地反映評估超平面擬合安全域邊界的效果。為此本文在已有研究基礎上，基于多元非線性回歸模型構(gòu)建熱穩(wěn)定安全域邊界近似模型，綜合、全面地探究整個熱穩(wěn)定安全域邊界的近似特性。

3 基于多元非線性回歸模型的電力系統(tǒng)安全域邊界近似

在圖1所示的描述性參數(shù)空間中，針對某一支路熱穩(wěn)定約束下的安全域邊界，構(gòu)建近似安全域邊界的非線性多元回歸模型為

式中，上標“?”表示變量在臨界點處的值；d1為因變量，表示斷面?zhèn)鬏數(shù)挠泄β?；d2、d3為自變量，表示影響斷面聯(lián)絡線N?1熱穩(wěn)定的關鍵性發(fā)電廠或區(qū)域的有功出力；β0, β1,n,??, β1,1, β1,1+n,??, β1,2n與β2,n,??, β2,1, β2,1+n,??, β2,2n均為回歸系數(shù)；ξ為誤差。在實際運行中，考慮到關鍵性發(fā)電廠或區(qū)域的有功出力為0時斷面?zhèn)鬏敼β什粫l(fā)生劇烈跳變，可知式中β1,1+n,??, β1,2n與β2,1+n,??, β2,2n均為 0，則上式可化簡為

式（11）即為基于非線性回歸模型所構(gòu)建的電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域邊界近似表達式。將上述自變量的高次方均記為新變量的一次方，則可借助已成熟的線性回歸模型方法來求解式（11）模型的回歸系數(shù)和回歸誤差，進一步采用擬合優(yōu)度檢驗、模型總體顯著性檢驗、變量顯著性檢驗以及參數(shù)置信區(qū)間估計對所構(gòu)建安全域邊界近似模型進行檢驗，以判定所提模型擬合電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域邊界的可靠程度。

3.1擬合優(yōu)度檢驗

在多元線性回歸模型中，擬合優(yōu)度檢驗常用來衡量樣本回歸線對樣本觀測值的擬合程度，本文通過擬合優(yōu)度檢驗來評估所提模型對安全域邊界上臨界點的擬合準確度。在擬合優(yōu)度檢驗中首先引入總離差平方和 TSS、回歸平方和 ESS及殘差平方和RSS，其中

即TSS可分解為RSS和ESS兩部分。ESS反映了TSS中可由樣本回歸線解釋的部分，ESS越大，RSS就越小，表明模型對安全域邊界的擬合程度越高。因此，可用ESS在TSS中的比重（即可決系數(shù)R2）來衡量安全域邊界的擬合程度

式中，R2越接近1表明安全域邊界的擬合準確度越高。實際應用時，由于RSS隨描述自變量個數(shù)的增加而減少，但R2的增大與擬合好壞無關，因此本文進一步引入調(diào)整的可決系數(shù)來評估模型對安全域邊界臨界點的擬合準確度。

式中，n?k?1為RSS的自由度；n?1為TSS的自由度。

3.2模型總體顯著性檢驗

擬合優(yōu)度檢驗從已估計模型出發(fā)檢驗模型對安全域邊界上臨界點的擬合程度，但不能給出一個嚴格的結(jié)論。為此，本文進一步引入F檢驗，從安全域邊界上臨界點出發(fā)，校驗所估計模型的總體顯著性。根據(jù)假設檢驗原理，在假設所提模型線性無關的條件下，統(tǒng)計量服從區(qū)間分布為（k,n?k?1）自由度的F分布

在給定顯著性水平α ，當F＞Fα時，則拒絕原假設，即原模型總體線性關系顯著；當F≤Fα時，接受原假設，即原模型總體線性關系不顯著。

3.3變量的顯著性檢驗

在構(gòu)建安全域邊界近似模型過程中，模型的總體顯著性并不能說明每個變量對自變量的影響都是顯著的，因此必須對近似模型中的每個變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為自變量而保留在模型中。若某一變量對自變量的影響不顯著，則剔除該變量，以建立更為簡單的安全域邊界近似模型。為檢驗模型中變量的顯著性，本文采用 t檢驗對模型中變量進行顯著性檢驗，t值越大則該變量越顯著，需保留；反之則可忽略，將其剔除。

3.4參數(shù)的置信區(qū)間

通過擬合優(yōu)度檢驗、模型總體線性的顯著性檢驗及變量的顯著性檢驗可對安全域邊界近似模型的合理性和有效性進行驗證。但對于所估計的參數(shù)離其實際值的遠近，還需進一步估計參數(shù)的置信區(qū)間。置信區(qū)間寬度越窄，模型回歸系數(shù)的準確度越高，反之則越低。通過對置信區(qū)間的估計可評估出模型回歸系數(shù)的準確度，進而得到滿足準確度的電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域邊界近似模型。

4 算例分析

為探究和驗證本文所提出的電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域邊界近似方法可行性和有效性，本文以CSG為例進行研究和分析。研究過程中CSG的斷面熱穩(wěn)定域臨界點均采用基于文獻[21, 22]所開發(fā)的 CSG N?1斷面極限計算軟件進行搜索。目前CSG已形成覆蓋YN、GZ、GX、GD和HN五個省份的交、直流互聯(lián)區(qū)域性大電網(wǎng)，網(wǎng)內(nèi)已分別形成了YN交流送出斷面、GZ交流送出斷面和GD交流受入斷面三個典型的送、受電斷面。系統(tǒng)正常運行時，CSG電力調(diào)度控制中心主要關心斷面N?1后，斷面支路過載所誘發(fā)的聯(lián)鎖故障[21]，為此本文擬構(gòu)建計及CSG關鍵送、受電斷面N?1約束的熱穩(wěn)定安全域。限于文章篇幅，重點對GD受入斷面的熱穩(wěn)定安全域構(gòu)建進行說明。

GD入口斷面主要有GS雙線、WL雙線、HL雙線及YM/MD雙線構(gòu)成。長期運行經(jīng)驗表明：GD入口斷面北通道的GS雙線及南通道的YM/MD雙線在斷面聯(lián)絡線N?1后都會出現(xiàn)熱穩(wěn)越限的風險，而中通道的WL雙線和HL雙線基本不存在熱穩(wěn)越限的風險（大量仿真結(jié)果表明GS和YM/MD雙線總先于WL和HL雙線出現(xiàn)熱穩(wěn)越限），因此GD入口斷面的熱穩(wěn)主要受GS和YM/MD雙線的熱穩(wěn)越限約束。研究表明影響GS及YM/MD熱穩(wěn)約束的關鍵性電廠和區(qū)域主要有GPT、YX、TS電廠及QBF地區(qū)的有功出力[21,23]。為此在所構(gòu)建的三維空間熱穩(wěn)定安全域中d1為GD斷面?zhèn)鬏數(shù)挠泄β?，d2、d3分別為GPT、YX、TS或QBF的有功出力，約束條件為N?1下的GS及YM/MD熱穩(wěn)約束。

4.1單一熱穩(wěn)定約束下GD斷面熱穩(wěn)定安全域構(gòu)建

首先以YM雙線熱穩(wěn)約束為例，以YX有功出力為d2、TS有功出力為d3，采用所開發(fā)的CSG N?1斷面極限計算軟件在 YX和 TS可出力范圍內(nèi)搜索斷面熱穩(wěn)定域的臨界點, 構(gòu)成臨界點集合sYM。根據(jù)集合sYM，首先構(gòu)造熱穩(wěn)定域邊界近似線性模型

借助線性回歸的方法對所構(gòu)建安全域邊界近似模型進行綜合評估，式（16）中各變量的回歸系數(shù)分別為β0=9 343.750 0、β1=0.322 4和β2=0.913 5，模型預測值與實際值分布及模型預測殘差分別如圖2和圖3所示，對應的臨界點擬合優(yōu)度參數(shù)R2=0.997 3和模型總體顯著性檢驗的F值為10 611.4；常數(shù)項（以下記為 Intercept）、d2和 d3顯著性檢驗的t分布分別為2 922.25、67.61和131.05；β0、β1和β2滿足95%置信度下的置信區(qū)間分別為β0= [9 337.349 6, 9 350.150 4]、β1=[0.312 8, 0.331 9]和β2=[0.899 6, 0.927 5]。

圖2　線性模型下d1預測值與實際值在空間中分布Fig.2 Distribution of predicted values vs actual values for d1via linear regression model

圖3　線性模型下d1的殘差Fig.3 Residual of d1via linear regression model

上述擬合優(yōu)度、模型顯著性校驗、變量顯著性校驗和參數(shù)置信區(qū)間的計算結(jié)果及圖2、圖3表明，采用線性回歸模型逼近YM熱穩(wěn)定約束下的熱穩(wěn)定安全域邊界，具有極高的準確度，模型可準確預測系統(tǒng)的熱穩(wěn)定臨界點。進一步構(gòu)建熱穩(wěn)定域邊界近似的二次模型

圖4　二次模型下d1預測值與實際值在空間中分布Fig.4 Distribution of predicted values vs actual values for d1via quadratic regression model

圖5　二次模型下d1的殘差Fig.5 Residual of d1via quadratic regression model

類似式（16）的計算方法，式（17）中各變量的回歸系數(shù)分別為β0=9 338.695 1、β1=0.305 57、β2=0.963 7、β3=3.8×10?5、β4=?4.3×10?5和β5=?5.8× 10?5，模型預測值與實際值分布和模型預測殘差分別如圖 4和圖 5所示。對應的臨界點擬合優(yōu)度參數(shù)R20.997 8=和模型總體顯著性檢驗的F值為5 033.15；Intercept、d2、d3、d22、d23及d2d3顯著性檢驗的t分布分別為1 905.27、17.37、39.11、2.19、-1.18和?2.61；β0、β1、β2、β3、β4和β5滿足95%置信度下的置信區(qū)間分別為β0=[9 328.872 3，9 348.518 0]、β1=[0.270 3，0.340 8]、β2=[0.914 3，1.013 0]、β3=[3.16×10?6，7.29×10?5]、β4=[? 0.000 12，3.04×10?5]和β5=[?0.000 1，?1.3×10?5]。對比線性模型和二次模型檢驗結(jié)果可知，二次模型擬合優(yōu)度要比線性模型高，但差距在0.001以下；而線性模型的總體顯著性和變量 Intercept、d2、d3的顯著性要比二次型好，且對應的β0、β1和β2在95%置信度下的置信區(qū)間間隔要比二次型窄即β0、β1和β2準確度要比二次型高。

對應的安全域邊界近似三次方模型為

式中，各變量的回歸系數(shù)分別為β0=9 342.876 7、β1=0.177 4、β2=0.998 0、β3=0.000 462、β4=?0.000 14、β5=?0.000 14、β6=?3.36×10?7、β7=1.08×10?7、β8= 1.11×10?7和β9=?3.94×10?8，模型預測值與實際值分布和模型預測殘差分別如圖6和圖7所示。對應的臨界點擬合優(yōu)度參數(shù)20 9988 R.=和模型總體顯著性檢驗的F值為4 687.3；Intercept、d2、d3、22d、23d、32d、33d、d2d3、223d d及232d d顯著性檢驗的t分布分別為1 798.28、5.12、20.76、5.87、?0.86、?6.11、0.61、?1.45、1.53和?0.39；β0、β1、β2、β3、β4、β5、β6、β7、β8和β9滿足95%置信度下的置信區(qū)間分別為

對比線性模型、二次模型的檢驗結(jié)果可知，三次模型的擬合優(yōu)度要比線性模型和二次模型稍高，但三次模型的模型總體顯著性、變量顯著性及回歸系數(shù)在 95%置信度下的置信區(qū)間間隔都較線性模型和二次模型差。

圖6　三次模型下d1預測值與實際值在空間中分布Fig.6 Distribution of predicted values vs actual values for d1via cubic regression model

圖7　三次模型下d1的殘差Fig.7 Residual of d1via cubic regression model

以此類推，限于臨界點個數(shù)，本文最后構(gòu)建的回歸模型最高階次為10。隨著模型階次變化，模型擬合優(yōu)度校驗、模型總體顯著性校驗、變量顯著性檢驗及回歸系數(shù)在95%置信度下的置信區(qū)間的變化趨勢如圖8～圖11所示。圖中結(jié)果表明，隨著模型階次增加，模型的擬合優(yōu)度逐步增加，模型總體顯著性、變量顯著性及95%置信度下回歸系數(shù)的準確度顯著性惡化，雖然模型的擬合優(yōu)度趨于最優(yōu)，但其變化范圍僅在 0.002以下，效果并不顯著。綜合評估和分析圖中熱穩(wěn)定安全域近似模型各項指標可知，對于上述各非線性回歸模型而言，采用線性模型逼近安全域邊界的結(jié)果最為理想，即在三維空間中在單一支路熱穩(wěn)定約束條件下，電力系統(tǒng)的熱穩(wěn)定安全域邊界采用線性模型/超平面近似具有較高的擬合準確度。采用線性模型（超平面）逼近 YM熱穩(wěn)約束下的GD斷面熱穩(wěn)定安全域邊界的效果如圖12所示，系統(tǒng)臨界點均位于圖中超平面HP中，未出現(xiàn)臨界點遠離 HP的現(xiàn)象，表明采用該超平面HP可高準確度逼近YM N?1約束下GD斷面受YX 與TS出力影響下的熱穩(wěn)定安全域邊界。

圖8　擬合優(yōu)度檢驗Fig.8 Goddesses of fit for different regression models

上述分析結(jié)果表明，在三維空間中，單一支路熱穩(wěn)定約束下的熱穩(wěn)定安全域邊界可由超平面近似，而三維空間中任意一個超平面可由該平面上的三個坐標點確定。則在某一支路熱穩(wěn)定約束條件下，已知熱穩(wěn)定安全域邊界上的三個臨界點，則該安全域邊界近似超平面可由上述三個臨界點確定。利用上述特點可形成安全域邊界近似超平面的快速計算算法，即通過所開發(fā)的極限計算軟件，在搜索到單一熱穩(wěn)定約束下的安全域邊界上三個臨界點后，即可確定該安全域邊界的近似超平面，大大減少了計算近似超平面的工作量。為降低所形成的安全域邊界存在空洞的風險，在構(gòu)建安全域時，可將所得超平面向下平移一段距離，以保留一定的安全裕度。

圖9　模型顯著性檢驗Fig.9 Test of significance for model with different regression models

圖10　變量顯著性檢驗Fig.10 Test of significance for variables with different regression models

圖11　回歸系數(shù)的置信區(qū)間Fig.11 Confidence interval of regression coefficients with different regression models

圖12　超平面近似熱穩(wěn)定安全域邊界的效果圖Fig.12 Demonstration of hyperplane-approximated boundary of thermal security region

為驗證該快速算法的有效性，本節(jié)采用 Monte Carlo對 sYM中的臨界點抽樣 4 000次形成4 000組臨界點組合（每組中包含三個臨界點），采用線性回歸模型計算超平面的回歸系數(shù)β0、β1和β2，再將sYM中所有臨界點代入該超平面，通過式（9）的相對誤差ε 和式（19）的相對角度/角度差θ 來評估該算法的有效性和可行性。計算結(jié)果分別如圖 13和圖 14所示，θ 最大的前20個抽樣點計算結(jié)果見表1。

式中，β0,1和β0,2為采用 sYM中所有臨界點計算得到的超平面回歸系數(shù)；βk,1和βk,2為采用快速算法計算的超平面回歸系數(shù)。

圖13　相對誤差Fig.13 Relative error

圖14　角度差Fig.14 Angle difference

表1　θ 值最大的前20個超平面Tab.1 The top 20 hyperplanes with maximum θ

圖13、圖14及表1表明，采用快速算法所得到的超平面相比原方法誤差極小，可滿足安全域邊界近似準確度要求。

4.2兩熱穩(wěn)定約束下GD斷面熱穩(wěn)定安全域構(gòu)建

上述算例證明，在單一熱穩(wěn)定約束下，GD斷面的熱穩(wěn)定域邊界用線性回歸模型近似可得到滿意的近似效果。而對于同時存在兩條聯(lián)絡線熱穩(wěn)約束下的安全域，其邊界是否可以用同一個回歸模型近似還需進一步驗證。因此在上節(jié)基礎上，本節(jié)進一步考慮 GD交流入口斷面?zhèn)鬏敼β释瑫r受 YM和MD約束下，YX與TS出力對斷面極限的影響。類似上述方法構(gòu)建安全域邊界近似的線性模型，所得模型中各變量的回歸系數(shù)分別為β0=9 466.533 2、β1=0.296 6和β2=0.441 6，模型預測值與實際值分布和模型預測殘差分別如圖15和圖16所示。在d1、d2和d3所構(gòu)成三維空間中，根據(jù)模型參數(shù)所得的安全域邊界與臨界點的分布如圖17所示。對應的臨界點擬合優(yōu)度參數(shù)20.535 2 R=和模型總體顯著性檢驗的F值為46；Intercept、d2和d3顯著性檢驗的t分布分別為25.59、5.13和8.20；β0、β1和β2滿足 95%置信度下的置信區(qū)間分別為β0= [9 393.397 8, 9 539.667 3]、β1=[0.185 5, 0.407 7]和β2=[0.334 1, 0.548 0]。

圖15　單一超平面近似下d1預測值與實際值在空間中分布Fig.15 Distribution of predicted values vs actual values for d1via single hyperplane approximation

圖16　單一超平面近似下d1的殘差Fig.16 Residual of d1via single hyperplane approximation

圖17　直接擬合的熱穩(wěn)定安全域邊界Fig.17 Security region boundary by direct fitting

從模型整體性評價指標及圖15～圖17可知，對于存在兩個約束條件的熱穩(wěn)定域，其邊界若只采用一個超平面擬合，其準確度顯然不能滿足要求（圖17中 HP1），為保證安全域內(nèi)部不存在空洞，需將該超平面向下平移到HP2位置，其保守性顯而易見。借鑒上一節(jié)中一個約束邊界采用一個線性模型逼近的思想，在兩個約束的熱穩(wěn)定安全域中，對每個約束邊界分別采用對應的線性模型分段逼近，即

圖18　超平面近似下d1預測值與實際值在空間中分布Fig.18 Distribution of predicted values vs actual values for d1via piecewise hyperplane approximation

圖19　兩超平面近似下d1的殘差Fig.19 Residual of d1via piecewise approximation

所得模型中各變量的回歸系數(shù)分別為β1,0= 9 343.750 0、β1,1=0.322 4、β1,2=0.913 5、β2,0=11 380、β2,1=0.370 8和β2,2=?2.039 5，模型預測值與實際值分布和模型預測殘差分別如圖18和圖19所示。在d1、d2和d3所構(gòu)成三維空間中，根據(jù)模型參數(shù)所得的安全域邊界近似效果及臨界點在空間中分布如圖20所示。YM熱穩(wěn)定約束下，對應的臨界點擬合優(yōu)度參數(shù)20 997 3 R.=和模型總體顯著性檢驗的 F值為 10 611.4；Intercept、d2和 d3顯著性檢驗的t分布值分別為2 922.25、67.61和131.05；β1,0、β1,1和β1,2滿足 95%置信度條件下的置信區(qū)間分別為β1,0=[9 337.349 6, 9 350.150 4]、β1,1=[0.312 8, 0.331 9]和β1,2=[0.899 6, 0.927 5]。MD熱穩(wěn)定約束下，對應的臨界點擬合優(yōu)度參數(shù)20 997 6 R.=和模型顯著性檢驗的F值為3 868.48； Intercept、d2和 d3顯著性檢驗的 t分布值分別為581.04、44.46和?83.12；β2,0、β2,1和β2,2滿足 95%置信度條件下的置信區(qū)間分別為β2,0=[11 339, 11 421]、β2,1=[0.353 4, 0.388 3]和β2,2=[?2.090 9, ?1.988 2]。

對比分析分段近似前后模型的綜合性評價指標及圖 15～圖 20可知，對于存在兩個約束的熱穩(wěn)定安全域邊界采用分段近似（即一個約束條件對應一個超平面）可得到滿足要求的安全域邊界逼近準確度。同理，對于存在 l條聯(lián)絡線熱穩(wěn)定約束下的熱穩(wěn)定安全域可采用式（21）模型求解安全域邊界近似超平面。

圖20　分段擬合的熱穩(wěn)定安全域邊界Fig.20 Security region boundary by subsection fitting

理論上，對安全域邊界近似的超平面越多，其準確度越高，保守性越小，但隨之帶來計算量急劇上升，限制了熱穩(wěn)定安全域的在線應用。為兼顧計算準確度和效率，在實際應用中宜采用一個約束對應一個超平面的方案。但對這種方法的近似機理是本文下一階段的研究重點。

4.3GD斷面熱穩(wěn)定安全域

根據(jù)所開發(fā)的軟件和所提的電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域邊界近似算法，本節(jié)以CSG的GD受電斷面為研究重點，采用PTDF確定影響該斷面支路熱穩(wěn)定關鍵性電廠和區(qū)域為GPT、YX、TS和QBF[23]。在三維空間熱穩(wěn)定安全域中，以d1為GD斷面?zhèn)鬏數(shù)挠泄β剩琩2與d3分別為YX與TS和QBF與GPT的有功出力，分別構(gòu)建如圖21所示的YX與TS出力配合下滿足GD受電斷面支路N?1熱穩(wěn)定約束下的GD斷面熱穩(wěn)定安全域和如圖22所示的QBF與GPT出力配合下的滿足GD受電斷面支路N?1熱穩(wěn)定約束下的GD斷面熱穩(wěn)定安全域。

圖21　YX與TS出力配合下的GD斷面熱穩(wěn)定安全域Fig.21 Thermal security region of GD cross-section with cooperation of YX and TS

圖22　QBF與GPT出力配合下的GD斷面熱穩(wěn)定安全域Fig.22 Thermal security region of GD cross-section with cooperation of QBF and GPT

5 結(jié)論

本文基于非線性回歸模型，探究了電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域邊界的近似特性，通過構(gòu)建多種安全域邊界近似模型，從模型的擬合優(yōu)度、模型總體顯著性水平、變量顯著性水平以及參數(shù)置信區(qū)間對所建模型進行全面、綜合的評估，判定所提近似模型的可靠程度，確定合理的安全域邊界近似模型。將所提方法應用到CSG，構(gòu)建N?1約束下滿足CSG關鍵送、受電斷面熱穩(wěn)定約束的斷面熱穩(wěn)定安全域，大量計算結(jié)果表明：

1）采用超平面近似電力系統(tǒng)的斷面熱穩(wěn)定安全域邊界合理、可行，可整體反映熱穩(wěn)定安全域邊界特性，計算準確度高、實用性強。

2）在兼顧計算準確度和效率的條件下，對于存在多個熱穩(wěn)定約束的安全域，其邊界宜采用超平面分段線性近似，即每個聯(lián)絡線熱穩(wěn)定約束邊界采用一個超平面近似。

3）對于一個聯(lián)絡線熱穩(wěn)定約束邊界，可采用一個超平面近似的特點，在實際應用時根據(jù)三維空間中三個臨界點確定一個平面的理論，可開發(fā)出電力系統(tǒng)熱穩(wěn)定安全域邊界在線快速近似算法。

4）采用本文所提方法構(gòu)建的斷面熱穩(wěn)定安全域準確度高、實用性強，可應用于跨區(qū)互聯(lián)電網(wǎng)調(diào)度中心的EMS或WAMS中，在線監(jiān)控系統(tǒng)的斷面熱穩(wěn)定情況。

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Approximating Method of Wide Area Thermal Security Region Boundary in Bulk Power System

Jiang Tao1Jia Hongjie1Jiang Yilang1Kong Xiangyu1Lu Ning2
（1. Key Laboratory of Smart Grid of Ministry of Education Tianjin University Tianjin 300072 China 2. Department of Electrical and Computer Engineering NC State University Raleigh 27695-791 U.S.）

In this paper, approximating approaches are investigated for wide-area thermal security region boundary (SRB) in large-scale power system with N?1 criterion through multivariate nonlinear regression theory. Multivariate nonlinear regression theory is adopted to construct various multivariate nonlinear regression models for fitting SRB. Goodness of fit, significance level for model, significance level for variable and confidence intervals for regression coefficient are employed to comprehensively assess the reliability of the proposed approximating model and determine the appropriate model for fitting SRB. A realistic large-scale power system is utilized to validate and evaluate the various proposed models with massive scenarios, and then an appropriate model for fitting SRB is determined. With this appropriate model, a rapid algorithm for fitting SRB is developed, and the approximating approach for SRB with multiple N?1 constraints is also investigated. The proposed approach is further applied to the realistic large-scale power system to form a wide-area thermal security region for cross-section with multiple N?1 constraints. The results verify the proposed model.

Power system, N?1, thermal stability, security region, nonlinear regression model

TM712

姜 濤 男，1983年生，博士研究生，主要研究方向為電力系統(tǒng)安全性與穩(wěn)定性、新能源集成。

E-mail: electricpowersys@163.com

賈宏杰 男，1973年生，博士，教授，博士生導師，主要研究方向為電力系統(tǒng)安全性與穩(wěn)定性、配電系統(tǒng)規(guī)劃、智能電網(wǎng)。

E-mail: hjjia@tju.edu.cn（通信作者）

國家自然科學基金（51277128、51377118）和南方電網(wǎng)科技項目（K-ZD2012-006）資助。

2014-03-26 改稿日期 2014-09-01