陳　霜，譚捍東，高敬語

(1.核工業(yè)二〇八大隊，內(nèi)蒙古 包頭　014010；2.中國地質(zhì)大學(xué)(北京) 地球物理與信息技術(shù)學(xué)院，北京　100083)

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大地電磁與地震反射波走時數(shù)據(jù)二維聯(lián)合反演

陳霜1,2，譚捍東2，高敬語2

(1.核工業(yè)二〇八大隊，內(nèi)蒙古 包頭014010；2.中國地質(zhì)大學(xué)(北京) 地球物理與信息技術(shù)學(xué)院，北京100083)

由于地球物理反演存在固有的多解性問題，如何減小多解性，提高地球物理方法反演結(jié)果的可靠性和準確性是當(dāng)今地球物理領(lǐng)域研究的熱點。為了減小大地電磁與地震反射波走時資料反演的多解性，在Gallardo和Meju研究的交叉梯度理論的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)大地電磁與地震反射波走時數(shù)據(jù)的二維聯(lián)合反演算法；設(shè)計理論地電模型和速度模型進行合成數(shù)據(jù)的單獨反演和聯(lián)合反演試算，并驗證大地電磁和地震反射波走時數(shù)據(jù)二維聯(lián)合反演算法的正確性和有效性。反演結(jié)果表明，利用交叉梯度方法耦合大地電磁電阻率參數(shù)和地震波速度參數(shù)能使聯(lián)合反演過程中的這兩個模型在更新的時候相互約束，聯(lián)合反演結(jié)果比單一反演結(jié)果更接近真實模型，從而使反演結(jié)果更可靠，減少了反演解的多解性。

大地電磁法；地震反射走時；交叉梯度；二維聯(lián)合反演

0　引　言

地球物理方法可劃分為電法、磁法、地震、重力等分支，根據(jù)地質(zhì)體的物性參數(shù)不同，可以采用不同的地球物理方法對同一地質(zhì)體問題進行剖析。但是由于地球物理反演問題存在多解性和不適定性，并且單一的地球物理方法獲取的數(shù)據(jù)往往不能彌補其他物性參數(shù)的特點，從而降低了反演結(jié)果的可信度，影響反演的可靠性。為了解決這一問題，國內(nèi)外專家在21世紀初對同一地質(zhì)體的不同物性參數(shù)的聯(lián)合反演進行了深入的研究[1-13]，其中，頗具代表性的是Gallardo和Meju提出的交叉梯度(cross-gradient)法[1-3]。該方法通過在反演的目標函數(shù)中加入交叉梯度函數(shù)來增加反演過程中對模型的約束，比單一的反演效果更好。近年來，國內(nèi)學(xué)者對聯(lián)合反演研究也有一定的進展[14-19]，如陳曉等在聯(lián)合反演中引入Tikhonov正則化思想，實現(xiàn)了速度參數(shù)和電阻率參數(shù)在隨機分布情況下的地震資料與大地電磁數(shù)據(jù)的聯(lián)合反演研究[19]，彭淼等實現(xiàn)了大地電磁和天然地震的三維聯(lián)合反演算法[17]。聯(lián)合反演是反演技術(shù)發(fā)展的必然趨勢，許多聯(lián)合反演實例證明了聯(lián)合反演效果的優(yōu)越性[21]。

由于大地電磁探測和地震勘探各自存在著優(yōu)勢和局限,因此聯(lián)合反演比單一反演更優(yōu)越[18]。本文通過對地質(zhì)體電性參數(shù)和速度參數(shù)的深入了解，開展大地電磁與地震反射波走時數(shù)據(jù)的聯(lián)合反演研究，在其反演目標函數(shù)中引入模型光滑項、正則化因子和交叉梯度函數(shù)，通過設(shè)計理論地電模型和速度模型對算法進行有效性試驗，來討論該聯(lián)合反演方法的可靠性。

1　大地電磁和地震反射波走時二維介質(zhì)正演理論

1.1大地電磁法二維正演

有限差分(FDTD)法是一種流行的電磁場數(shù)值計算方法，已被廣泛地應(yīng)用于求解麥克斯韋方程，具有簡潔、直觀、計算速度快等優(yōu)點[26]。大地電磁場滿足麥克斯韋方程組：

▽×E=iωμ0H

(1)

▽×H=σE

(2)

▽×B=0

(3)

▽×D=0

(4)

其中：μ0表示地下介質(zhì)體的磁導(dǎo)率。

在地下介質(zhì)電阻率是二維分布情況下，大地電磁場可分解為TE和TM兩種模式。根據(jù)大地電磁響應(yīng)數(shù)據(jù)分析，與TE極化模式有關(guān)的場分量滿足以下場方程[25]：

(5)

(6)

(7)

與TM極化模式有關(guān)的場分量滿足以下場方程：

(8)

(9)

(10)

給定特定的邊界條件，對上述方程組采用有限差分算法進行數(shù)值模擬可得到離散節(jié)點的場值，按照下面的公式可進一步整理得到視電阻率和相位。

TE極化模式計算公式：

(11)

(12)

TM極化模式計算公式：

(13)

(14)

1.2地震反射波走時二維正演

本文中地震反射波走時計算的正演方法采用三點擾動的射線追蹤算法[4-7](圖1)，也叫偽彎曲法[23]。該方法運用Fermat原理，要求對一個初始假設(shè)的射線路徑不斷地進行擾動，直到其滿足平穩(wěn)狀態(tài)為止。實際上，也就是將沿著射線路徑段的走時進行最小化計算，使其達到穩(wěn)態(tài)效果。即利用射線曲率的性質(zhì)，通過對每一個分段進行最小化計算[22]，使其最終的擾動值達到最小。

如圖1所示，假設(shè)Xk-1和Xk+1是該射線上固定的兩個端點，已知Xk-1、Xk、Xk+1是相鄰的三個點，從Xk-1到Xk+1，Xk是其一個路徑上的初始點，如果有一個新的點Xk′取代點Xk使走時最小化，那么Xk的位置將會被改變。因此，為了尋找這個新的點Xk′，需要得到兩個變量，就是從Xk-1、Xk+1中點Xmid出發(fā)的偏移量R以及其方向矢量n。方向矢量n可以通過獲得反射波最小走時所走的射線路徑的彎曲方向得出，然后可以確定R的估計值[20]。

圖1　三點擾動方案圖解Fig.1　Chart of three-point perturbation scheme

由于新的Xk′點的射線的切線方向與Xk+1-Xk-1的方向近似平行，因此就能得到近似滿足方程(15)的點Xk′的偏移方向n′，該方向可表示如下：

n′=(gradV)-[(gradV)·(Xk+1-Xk-1)]。

(15)

通過計算，可以得到該方向的單位矢量n=n′/|n′ |。

新點Vk′的速度可以近似表達式如下：Xk′=Xmid+[n·(gradX)mid]R。

因此，沿著方向n的擾動值滿足方程：

Rc=-(cVmid+1)/{4cn·(gradV)mid} +{(cVmid+1)2/

[4cn·(gradV)mid]2+L2/(2cVmid)}1/2

(16)

Xk′=Xk+n′ Rc

(17)

2　交叉梯度聯(lián)合反演

2.1交叉梯度函數(shù)

2003年，Gallardo和Meju首次提出交叉梯度函數(shù)的概念[15]，本文以地震波速度參數(shù)和大地電磁電阻率參數(shù)為例，根據(jù)交叉梯度原理，得到其三維計算公式如下：

t(x,y,z)=▽mr(x,y,z)×▽ms(x,y,z)

(18)

圖2　兩種不同物性模型間的交叉梯度計算示意圖Fig.2　Charts of cross gradient value for two different property models

式中：▽ms和▽mr分別代表取對數(shù)的地震波速度和取對數(shù)的電阻率。交叉梯度函數(shù)表示的是兩種不同物性模型單元參量梯度的叉乘[16]。

交叉梯度具有如下兩條特性，如圖2所示：

(1)當(dāng)兩種物性參數(shù)的其中一種參數(shù)為常數(shù)或二者的變化方向平行時，交叉梯度值恒等于零；

(2)當(dāng)兩種物性參數(shù)朝不相同的方向變化時，交叉梯度值不等于零[14]。

設(shè)二維地質(zhì)體的走向沿y軸正方向延伸，則交叉梯度t的z分量和x分量是零，y分量表達式如下：

(19)

采用五點中心差分網(wǎng)格，將上式用中心差分法離散，得到：

(20)

2.2聯(lián)合反演目標函數(shù)

大地電磁反演的方法較多[24]，本文中地震反射波走時與大地電磁數(shù)據(jù)聯(lián)合反演算法所采用的目標函數(shù)為：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

i=1, 2, ...,N

(26)

在進行計算的時候，寫成矩陣的形式如下：

(27)

圖3　聯(lián)合反演流程示意圖Fig.3　Flow chart of the joint inversion algorithm

對電阻率模型求一階偏導(dǎo)：

(28)

目標函數(shù)對速度模型求一階偏導(dǎo)：

(29)

對(29)式再求二次偏導(dǎo)：

2λ[BMT]TBMT

(30)

因此，得到大地電磁高斯牛頓反演方法的最終迭代方程，即可求得電阻率迭代更新表達式：

(31)

地震波速度最小二乘法反演的最終迭代方程可表示為：

(32)

對應(yīng)的，也可求出地震波速度更新表達式。

2.3聯(lián)合反演流程

本文實現(xiàn)大地電磁和地震反射波走時數(shù)據(jù)聯(lián)合反演計算的流程如下(圖3)：

(1)首先設(shè)置初始模型。輸入初始速度模型v0和初始電阻率模型m0。

(2)最小二乘法實現(xiàn)地震波速度模型更新，計算目標函數(shù)梯度gS；求解速度模型擾動量Δvi。

(3)高斯牛頓法實現(xiàn)大地電磁電阻率模型更新[16-17]，計算目標函數(shù)梯度，求一階偏導(dǎo)；計算近似Hessian矩陣，求二階偏導(dǎo)；計算電阻率模型擾動量Δmi。

(4)計算速度模型更新vi+1=vi+Δv和電阻率模型更新ρi+1=ρi+Δρ。

(5)計算地震和大地電磁數(shù)據(jù)擬合差之和。

(6)判斷擬合差之和是否滿足目標函數(shù)設(shè)置的收斂條件。如果不滿足，迭代繼續(xù)，返回步驟(2)重新計算；如果滿足收斂條件，完成聯(lián)合反演程序，跳出迭代，輸出反演結(jié)果(圖3)。

圖4　反演理論模型Fig.4　Model for inversion

3　理論模型合成數(shù)據(jù)算例

在LINUX系統(tǒng)下，利用FORTRAN語言實現(xiàn)大地電磁與地震反射波走時數(shù)據(jù)的二維聯(lián)合反演，設(shè)計了三個不同的二維模型算例，來驗證該算法的正確性和有效性。

3.1單一高阻高速棱柱體模型

設(shè)計的第一個模型，電阻率模型與速度模型空間分布一致。大地電磁網(wǎng)格為119×53，網(wǎng)格間距為100m，地震網(wǎng)格為103×53，網(wǎng)格間距也為100m。在此需要說明的是，大地電磁的網(wǎng)格是在地震網(wǎng)格的基礎(chǔ)上，水平方向向各自方向分別擴展8個不等間距的網(wǎng)格。

大地電磁模型為高阻體，如圖4(a)所示，異常體電阻率值為100Ω·m，背景值為10Ω·m，頂板埋深為2 000m，底板埋深3 000m，寬度1 000m。選取不等間距的25個測點，均分布于地表，頻率選取9個，分別為0.010 00Hz、0.050 00Hz、0.100 00Hz、0.500 00Hz、1.00 00Hz、5.00 00Hz、10.000Hz、50.000Hz、100.00Hz。地震反射波走時反演模型為高速體，如圖4(b)所示，異常體速度值為3.5km/s，背景值為3.0km/s，頂板埋深為2 000m，底板埋深為3 000m，寬度為1 000m，選取地表的60個激發(fā)點，100個接收點。

圖5　大地電磁反演結(jié)果(電阻率單位：Ω·m)Fig.5　Inversion results for MT data

大地電磁反演的初始模型選取背景值為10Ω·m的均勻半空間，地震反射波走時反演模型選取速度背景值為3.0km/s的均勻半空間，反演迭代20次后，單一反演的結(jié)果圖分別如圖5(a)、圖6(a)所示，聯(lián)合反演結(jié)果如圖5(b)、圖6(b)所示。

從圖5(a)、 (b)和圖6(a)、 (b)可以看出，聯(lián)合反演結(jié)果比單一反演結(jié)果要好。大地電磁聯(lián)合反演高值恢復(fù)較單一反演更接近真實模型，收斂較快，且模型邊界光滑度較好；地震聯(lián)合反演速度高值恢復(fù)較好，對異常體外的速度值也有明顯的改善。

3.2單一低阻低速棱柱體模型

本文設(shè)計的第二個模型，網(wǎng)格剖分同第一個模型。速度異常體與電阻率異常體空間分布一致。

圖6　地震波速度反演結(jié)果(速度單位：km/s)Fig.6　Inversion results for seismic data

大地電磁模型為低阻體，如圖4(c)所示，頂板埋深為2 000m，底板埋深為3 000m，寬度為1 000m，異常體電阻率值為10Ω·m，背景值為100Ω·m，選取不等間距的30個測點，均分布于地表，頻率選取9個，分別為0.010 00Hz、0.050 00Hz、0.100 00Hz、0.500 00Hz、1.000 0Hz、5.000 0Hz、10.000Hz、50.000Hz、100.00Hz。地震模型為低速體，如圖4(d)所示，異常體速度值為2.5km/s，背景值為3.0km/s，頂板埋深為2 000m，底板埋深為3 000m，寬度為1 000m，選取地表的60個激發(fā)點，100個接收點。

大地電磁反演的初始模型選取背景值為100Ω·m的均勻半空間，地震反射波走時反演初始模型選取速度背景值為3.0km/s的均勻半空間，反演迭代30次后，單一反演的結(jié)果分別如圖5(c)、圖6(c)所示，交叉梯度聯(lián)合反演得到反演結(jié)果如圖5(d)、圖6(d)所示。

從圖5(c)、 (d)和圖6(c)、 (d)中可以看出，聯(lián)合反演結(jié)果優(yōu)于單一反演結(jié)果，低值異常體都能較好地恢復(fù)。大地電磁聯(lián)合反演結(jié)果不僅能恢復(fù)電阻率低值，還能對異常體的模型邊界有較好的恢復(fù)。地震聯(lián)合反演速度低值恢復(fù)地較好，對異常體邊界也有明顯的改善。

3.3高阻低速、低阻高速棱柱體組合模型

設(shè)計的組合模型為分開的低阻高速體和高阻低速體，網(wǎng)格剖分同第一種模型。大地電磁模型左邊為低阻體，如圖4(e)，異常體電阻率值為1Ω·m；右邊為高阻體，異常體電阻率值為100Ω·m；背景電阻率值為10Ω·m；頂板埋深為2 000m，底板埋深為3 000m，寬度分別為500m。選取分布于地表的25個測點，頻率選取9個，分別為0.010 00Hz、0.050 00Hz、0.100 00Hz、0.500 00Hz、1.000 0Hz、5.000 0Hz、10.000Hz、50.000Hz、100.00Hz。地震模型左邊為高速異常體，如圖4(f)，速度值為3.5km/s；右邊為低速異常體，速度值為2.5km/s;頂板埋深為2 000m，底板埋深為3 000m，寬度分別為500m;背景速度值為3.0km/s。選取地表的60個激發(fā)點，100個接收點。

大地電磁反演的初始模型選取背景值為10Ω·m的均勻半空間，地震反射波走時的反演模型選取速度背景值為3.0km/s的均勻半空間，反演迭代20次后，單一反演的結(jié)果圖分別如圖5(e)、圖6(e)所示。經(jīng)過聯(lián)合反演計算，得到的反演結(jié)果如圖5(f)、圖6(f)所示。

從圖5(e)、(f)和圖6(e)、(f)可以看出，聯(lián)合反演效果均優(yōu)于單一反演效果。模型異常能較好地恢復(fù)，且反演邊界也與模型邊界吻合較好。聯(lián)合反演大地電磁模型中高阻異常體的電阻率與實際值偏差稍大，低阻異常體的電阻率值擬合較好，模型邊界恢復(fù)也更接近真實模型。聯(lián)合反演地震模型異常體速度值擬合較好，高速異常體外部高值異常消除，低速異常體低值恢復(fù)更好，二者的模型邊界較單一反演也有較好的改善。

4　結(jié)　論

本文對地震反射波走時和大地電磁數(shù)據(jù)的二維聯(lián)合反演進行了較系統(tǒng)的研究，實現(xiàn)大地電磁與地震反射波走時數(shù)據(jù)的二維聯(lián)合反演算法。地震方面，基于射線追蹤正演算法和最小二乘法反演方法，實現(xiàn)正則化的加入；大地電磁方面，基于有限差分正演算法和高斯牛頓反演方法，實現(xiàn)正反演研究。加入交叉梯度函數(shù)后，設(shè)計理論地電模型和速度模型進行了合成數(shù)據(jù)的單獨反演和聯(lián)合反演試算，成功實現(xiàn)了交叉梯度聯(lián)合反演計算。反演結(jié)果表明，聯(lián)合反演方法優(yōu)于單一反演方法，利用交叉梯度方法耦合大地電磁電阻率參數(shù)和地震波速度參數(shù)能使聯(lián)合反演過程中的這兩個模型在更新的時候相互約束、共同影響，使反演結(jié)果更接近真實模型，減少了反演解的多解性。本文成果可以為開發(fā)其他地球物理方法聯(lián)合反演算法提供參考。

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附公式中變量說明：

μ0，地下介質(zhì)體的磁導(dǎo)率；E，電場強度；D，電位移矢量；B，磁感應(yīng)強度；H，磁場強度；▽ms，取對數(shù)的地震波速度；▽mr，取對數(shù)的電阻率；σ，介質(zhì)的電導(dǎo)率；ρ，電阻率；φ，相位；ω，角速度。

Ex，x方向電場強度；Ey，y方向電場強度；Ez，z方向電場強度；Hx，x方向磁場強度；Hy，y方向磁場強度；Hz，z方向磁場強度；mr，電阻率值；ms，速度值。

Two-dimension Joint Inversion of Magnetotelluric and Seismic Reflection Travel Time Data

CHEN Shuang1,2, TAN Handong2, GAO Jingyu2

(1.GeologicalExplorationPartyNo.208,CNNC,Baotou,InnerMongolia014010,China;2.SchoolofGeophysicsandInformationTechnology,ChinaUniversityofGeosciences,Beijing100083,China)

Because of the problem of multiple solutions for geophysical inversion, how to reduce the multiple solutions to improve the reliability and accuracy of the results of geophysical inversion is a hot geophysical research topic today. To reduce the multiple solutions of magnetotelluric and seismic data inversion, this study develops a 2-D joint inversion algorithm of magnetotelluric data and seismic data on the base of cross-gradient theory which is proposed by Gallardo and Meju, and the theoretical geoelectric model and velocity model are designed for single inversion and joint inversion, then the 2-D joint inversion algorithm of magnetotelluric and seismic data is verified to be correct and valid. The inversion results show that the above inversion algorithm with cross-gradient constraints can cause the resistivity model and velocity model constrain each other so that the joint inversion result is closer to the reality than the single inversion result. Therefore, the joint inversion is more reliable, which can reduce the multiple solution of geophysical inversion.

magnetotelluric method；seismic reflection travel time；cross-gradient method；2-D joint inversion

2015-09-14；改回日期：2016-05-05；責(zé)任編輯：潘令枝。

國家自然科學(xué)基金項目(41374078)；國土資源部地質(zhì)調(diào)查項目(12120113086100,12120113101300)。

陳霜，女，碩士研究生，工程師，1985年出生，地球物理學(xué)專業(yè)，主要從事地球物理地電學(xué)算法研究工作。Email：chens130@163.com。

譚捍東，男，1966年生，教授，地球探測與信息技術(shù)專業(yè)，主要從事電法勘探理論及應(yīng)用研究。

Email：thd@cugb.edu.cn。

P631

A

1000-8527(2016)03-0597-09