鄭媛媛,胡支軍

(貴州大學(xué) 理學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

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風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目投資組合決策的一個(gè)均值-半絕對(duì)離差模型

鄭媛媛,胡支軍*

(貴州大學(xué) 理學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

項(xiàng)目投資組合選擇是許多風(fēng)險(xiǎn)投資機(jī)構(gòu)的重要決策問題?，F(xiàn)有的研究大多集中于探討在各種準(zhǔn)則下如何識(shí)別“正確”的項(xiàng)目組合，例如收益和風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則。在下半絕對(duì)離差風(fēng)險(xiǎn)度量基礎(chǔ)上，采用Bayes方法對(duì)項(xiàng)目未來收益的事前估計(jì)值進(jìn)行修正，建立了均值-半絕對(duì)離差項(xiàng)目投資組合優(yōu)化模型，并利用Monte Carlo模擬方法將模型轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)規(guī)劃問題。理論和模擬分析表明，對(duì)估計(jì)不確定性的顯式Bayesian建模，并使用所獲得的項(xiàng)目收益修正值進(jìn)行投資組合選擇比直接基于項(xiàng)目的事前價(jià)值估計(jì)的投資組合選擇獲得的期望效用高，并且前者能夠消除投資組合的事后實(shí)現(xiàn)效用值與事前估計(jì)效用值之間的預(yù)期間隔，從而降低投資家可能經(jīng)歷的事后失望程度。

風(fēng)險(xiǎn)投資組合；風(fēng)險(xiǎn)厭惡；Bayesian方法；決策分析

在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日漸激烈的經(jīng)濟(jì)背景下，風(fēng)險(xiǎn)投資組合越來越成為理論和實(shí)踐關(guān)注的熱點(diǎn)問題。風(fēng)險(xiǎn)投資是指風(fēng)險(xiǎn)投資家為獲得高收益而將資金投入到有較大風(fēng)險(xiǎn)的高新技術(shù)開發(fā)項(xiàng)目的一種投資行為。它具有高收益、高風(fēng)險(xiǎn)的特點(diǎn)。投資家通常為了有效規(guī)避投資風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)提高投資回報(bào)率，會(huì)把資金分別投入到不同的多個(gè)項(xiàng)目，即進(jìn)行組合投資。因此，合理地衡量投資風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)而科學(xué)地做出風(fēng)險(xiǎn)投資組合決策對(duì)投資家來說至關(guān)重要。

現(xiàn)階段，關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)投資組合的理論主要集中于事中決策研究，它們給出的大多是在項(xiàng)目實(shí)施過程中的決策，這與決策者需要在事前給出最優(yōu)決策的事實(shí)不符?，F(xiàn)有的對(duì)于事前決策的項(xiàng)目投資組合理論研究相對(duì)較少，它們主要是在Markowitz(1952)[1]提出的均值-方差投資組合模型的基礎(chǔ)上發(fā)展而來。例如，Yiu等(2010)[2]考慮了當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)服從馬氏幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)基于最大風(fēng)險(xiǎn)值的最優(yōu)投資組合選擇問題。Huang等(2010)[3]研究了如何在僅知道證券投資組合收益率的潛在概率分布服從一個(gè)特定集合的情況下，用穩(wěn)健的CVaR方法選擇投資組合。張衛(wèi)國(guó)等(2013)[4]把可能性理論和可信性理論應(yīng)用到風(fēng)險(xiǎn)投資組合的決策當(dāng)中，分別建立了基于可能性理論的風(fēng)險(xiǎn)投資組合決策模型和基于可信性理論的風(fēng)險(xiǎn)投資組合決策模型。崔雪婷(2013)[5]基于不同風(fēng)險(xiǎn)度量以及實(shí)際交易特征進(jìn)行投資組合選擇,以縮小投資組合理論模型和實(shí)際應(yīng)用之間的差距。Hall等(2015)[6]討論了當(dāng)具有每個(gè)項(xiàng)目的不確定收益的部分概率分布信息時(shí)的項(xiàng)目選擇問題，決策者選擇備選項(xiàng)目組合的一個(gè)可行子集使得投資組合收益不能達(dá)到某個(gè)給定目標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)最小化。

一般地，風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目的價(jià)值由于受某些不確定的未來事件的影響而具有不確定性。對(duì)此，風(fēng)險(xiǎn)投資家在實(shí)際投資過程中會(huì)充分利用關(guān)于項(xiàng)目?jī)r(jià)值的先驗(yàn)信息來對(duì)項(xiàng)目未來的實(shí)現(xiàn)價(jià)值進(jìn)行預(yù)測(cè)?；蛘吒鶕?jù)這些先驗(yàn)信息進(jìn)一步獲得項(xiàng)目?jī)r(jià)值的后驗(yàn)估計(jì)值，然后再基于項(xiàng)目?jī)r(jià)值的估計(jì)值做出投資決策，以此來降低不確定性并改進(jìn)決策過程。然而，項(xiàng)目?jī)r(jià)值的估計(jì)值通常也存在不確定性，這使得對(duì)項(xiàng)目未來價(jià)值的預(yù)測(cè)不可避免地存在隨機(jī)誤差。并且即使項(xiàng)目的事前價(jià)值估計(jì)是無偏的，也可能會(huì)存在一部分價(jià)值較小的項(xiàng)目因?yàn)楸贿^高的估計(jì)而被投資家選擇。這將導(dǎo)致投資家選擇的風(fēng)險(xiǎn)投資組合的事后實(shí)現(xiàn)價(jià)值低于事前估計(jì)值，使其產(chǎn)生決策后的失望。

Vilkkumaa等(2014)[7]提出對(duì)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目?jī)r(jià)值估計(jì)的不確定性進(jìn)行Bayesian建模，并將所獲得的Bayes修正估計(jì)值作為風(fēng)險(xiǎn)投資組合的決策依據(jù)。進(jìn)一步，他們證明了和直接基于項(xiàng)目?jī)r(jià)值的事前估計(jì)值選擇的投資組合相比，基于Bayes修正估計(jì)值選擇的風(fēng)險(xiǎn)投資組合實(shí)現(xiàn)的事后價(jià)值更多，投資家經(jīng)歷的決策后失望程度較低，并且它能夠消除風(fēng)險(xiǎn)投資組合事后實(shí)現(xiàn)價(jià)值與事前估計(jì)價(jià)值之間的間隔。然而，文獻(xiàn)[7]的研究沒有考慮決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，認(rèn)為決策者是風(fēng)險(xiǎn)中性的。

事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)交易中決策者面對(duì)具有相同收益的項(xiàng)目會(huì)傾向于選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的項(xiàng)目,即表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)厭惡的心理偏好。為了使模型更加符合實(shí)際情況，我們需要在風(fēng)險(xiǎn)投資組合決策的研究中考慮決策者風(fēng)險(xiǎn)厭惡的心理偏好，這就使得對(duì)于如何準(zhǔn)確地選擇風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)在理論研究中顯得尤為重要[8]。Markowitz(1952)[1]提出用方差描述投資風(fēng)險(xiǎn)，Kono等[9,10]又提出用收益率的絕對(duì)離差表示風(fēng)險(xiǎn)。這兩種風(fēng)險(xiǎn)度量方法賦予以均值計(jì)算的正負(fù)離差相同的權(quán)重，不能滿足決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的真實(shí)心理。為了克服方差計(jì)量風(fēng)險(xiǎn)的不足，人們提出了把小于目標(biāo)收益的收益作為風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算因子的下方風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量。下方風(fēng)險(xiǎn)默認(rèn)投資家對(duì)超過目標(biāo)收益率時(shí)是風(fēng)險(xiǎn)中性的，無法反映投資家對(duì)更好的投資機(jī)會(huì)的追逐。

對(duì)于具有標(biāo)準(zhǔn)化概率分布(原概率分布減去均值)的風(fēng)險(xiǎn)方案，由于均值為零，決策者對(duì)它們的偏好和風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)價(jià)具有相反的一致性。根據(jù)這樣一個(gè)認(rèn)識(shí),Jia等(1996)[11]提出了基于負(fù)期望效用的標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)度量理論和模型，這一模型的發(fā)展為風(fēng)險(xiǎn)與偏好建立了一個(gè)完整的關(guān)系，并對(duì)各種風(fēng)險(xiǎn)模型的評(píng)價(jià)提供了共同的效用理論基礎(chǔ)。以往的許多風(fēng)險(xiǎn)模型(如方差、半方差等)都是標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)度量模型的特例。

基于Vilkkumaa等(2014)[7]的研究，本文將投資家的風(fēng)險(xiǎn)厭惡心理融入風(fēng)險(xiǎn)投資組合優(yōu)化模型中，用下半絕對(duì)離差度量風(fēng)險(xiǎn)，采用Bayes方法對(duì)項(xiàng)目未來收益的事前估計(jì)值進(jìn)行修正，以此建立均值-半絕對(duì)離差的風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資組合優(yōu)化模型。其中，項(xiàng)目的事后可能實(shí)現(xiàn)價(jià)值和事前估計(jì)價(jià)值是由Monte Carlo方法隨機(jī)模擬產(chǎn)生。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)估計(jì)不確定性的顯式Bayesian建模并使用所獲得的修正估計(jì)進(jìn)行投資組合選擇比直接基于事前價(jià)值估計(jì)的投資組合選擇獲得的期望效用高，并且前者能夠消除投資組合的事后實(shí)現(xiàn)效用值與事前估計(jì)效用值之間的預(yù)期間隔，從而降低投資家可能經(jīng)歷的事后失望程度。

1　不確定環(huán)境下的風(fēng)險(xiǎn)投資組合選擇

如何衡量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)是風(fēng)險(xiǎn)投資決策一個(gè)關(guān)鍵問題。一般地，在被投資前，項(xiàng)目的最終實(shí)現(xiàn)值是未知的，只有當(dāng)項(xiàng)目被執(zhí)行后才能實(shí)現(xiàn)，進(jìn)而被觀測(cè)。但是項(xiàng)目最終收益服從的分布已知，這給風(fēng)險(xiǎn)投資家做出風(fēng)險(xiǎn)投資決策提供了重要的依據(jù)。

設(shè)X為項(xiàng)目投資組合的收益，μ為X的期望值，則X′=X-μ是一個(gè)零期望值的標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)變量,Jia等(1996)[11]提出了如下標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)度量模型

(1)

模型(1)中，R(X′)為投資組合所面臨的投資風(fēng)險(xiǎn)，d反映了當(dāng)投資組合的收益低于期望收益時(shí)投資家的失望程度，e表示當(dāng)投資組合的收益高于期望收益時(shí)投資家的開心程度。通常人們對(duì)失望的反應(yīng)比對(duì)開心的反應(yīng)更加強(qiáng)烈，所以有d>e。

(2)

其中，λ=d-e>0為風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，反映了風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于財(cái)富效用的重要程度，它衡量了財(cái)富效用和風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系。根據(jù)(2)式，風(fēng)險(xiǎn)投資家的效用函數(shù)由兩部分組成：一部分是風(fēng)險(xiǎn)投資組合最終實(shí)現(xiàn)的期望收益，一部分是由風(fēng)險(xiǎn)投資家的風(fēng)險(xiǎn)厭惡帶來的效用損失。

現(xiàn)假設(shè)存在N個(gè)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目供投資家選擇，它們獲得融資后產(chǎn)生的價(jià)值為：v=[v1,…,vN]T，項(xiàng)目的價(jià)值描述了投資家在期末可以從項(xiàng)目投資中獲得的收益。這些項(xiàng)目的價(jià)值為隨機(jī)變量V=[V1,…,VN]T～f(v)的實(shí)現(xiàn)值，其聯(lián)合密度函數(shù)f(v)是已知的。

在考慮項(xiàng)目投資預(yù)算或其他約束的條件下，風(fēng)險(xiǎn)投資家本著最大化期望效用的原則從這些備選項(xiàng)目集合中選擇一個(gè)子項(xiàng)目集。用一個(gè)具有二元值的決策變量z=[z1,…,zN]表示風(fēng)險(xiǎn)投資家選擇的投資組合，當(dāng)且僅當(dāng)項(xiàng)目i被選擇時(shí)，令zi=1，否則令zi=0。用Z表示滿足相關(guān)約束條件的可行投資組合。如果風(fēng)險(xiǎn)投資家知道了項(xiàng)目?jī)r(jià)值v，則他將通過求解下面的優(yōu)化問題確定最優(yōu)投資組合

(3)

其中u(·)為由(2)式定義的風(fēng)險(xiǎn)投資家的效用函數(shù)。

(4)

利用Matlab軟件，由Vi～N(8,32)生成項(xiàng)目P1,…,P10的價(jià)值的一組實(shí)現(xiàn)值vi分別為：9.60，13.50，1.22，10.59，8.96，4.08，6.70，9.03，18.74，16.31。根據(jù)模型(3)，令風(fēng)險(xiǎn)厭惡測(cè)度λ=0.6，則求得最優(yōu)投資組合z(v)由項(xiàng)目{P1,P2,P4,P9,P10}組成。此時(shí)，實(shí)現(xiàn)的項(xiàng)目總效用值u(z(v)v)為68.74。

從這個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)：(ⅰ)基于估計(jì)值vE的投資組合z(vE)所實(shí)現(xiàn)的事后項(xiàng)目總效用值(63.22)低于最優(yōu)投資組合z(v)所實(shí)現(xiàn)的總效用值(68.74)；(ⅱ)投資組合z(vE)包含了“激進(jìn)型”項(xiàng)目P6，這個(gè)項(xiàng)目由于具有較高的估計(jì)值(11.74)而被選取，但它們沒有被最優(yōu)投資組合z(v)選取，因?yàn)樗膶?shí)際值只有4.08；(ⅲ)投資組合z(vE)的事前總估計(jì)值(76.27)比其實(shí)際所實(shí)現(xiàn)的事后總價(jià)值(63.22)高20.64%,表明決策者會(huì)經(jīng)歷決策后的失望。

對(duì)以上結(jié)果進(jìn)行分析，本文得到下面的定理1。

定理1設(shè)VE是V的一個(gè)條件無偏估計(jì)，則

E[u(z(VE)V)-u(z(VE)VE)]≤0

其中，z(V)和z(VE)分別是問題(3)和問題(4)的最優(yōu)解。進(jìn)一步，若P(z(V)≠z(VE))>0，則E[u(z(VE)V)-u(z(VE)VE)]<0。

證明對(duì)于給定的v和vE，由(3)式和(4)式得

u(z(vE)v)-u(z(vE)vE)

≤u(z(v)v)-u(z(vE)vE)

≤u(z(v)v)-u(z(v)vE)

(5)

=u(z(v)v)-u(z(v)v)=0

(6)

若選擇非最優(yōu)項(xiàng)目組合的概率為正，即P(z(V)≠z(VE))>0，則(5)式的第一個(gè)不等式對(duì)某些v和vE嚴(yán)格成立，進(jìn)而對(duì)于相應(yīng)的v，不等式(6)也嚴(yán)格成立。

定理1表明，在平均的意義下，投資組合z(vE)所實(shí)現(xiàn)的項(xiàng)目總效用值不會(huì)超過事先估計(jì)的總效用值。這樣，若選擇“錯(cuò)誤的”項(xiàng)目的概率大于零，則項(xiàng)目組合實(shí)際所實(shí)現(xiàn)的效用值將嚴(yán)格小于事先估計(jì)的效用值。特別地，即使估計(jì)是無偏的，投資組合的效用值也可能會(huì)被系統(tǒng)地高估，使得風(fēng)險(xiǎn)投資家將經(jīng)歷決策后的失望。對(duì)項(xiàng)目真實(shí)價(jià)值的估計(jì)的不確定性越高，預(yù)期的失望也就更大。換言之，估計(jì)值的不確定性越高，不僅讓識(shí)別真正具有最高價(jià)值的項(xiàng)目更難，而且使得選擇被高估了的項(xiàng)目的概率更高。

2　風(fēng)險(xiǎn)投資組合中不確定性的Bayesian建模

(7)

特別地，若項(xiàng)目真實(shí)價(jià)值和估計(jì)值的分布是共軛分布，則可以獲得Bayes估計(jì)的一個(gè)封閉形式的表達(dá)式[7,13]。例如，當(dāng)項(xiàng)目的價(jià)值和估計(jì)值服從自共軛正態(tài)分布，即

項(xiàng)目的估計(jì)值：

則通過(7)式推導(dǎo)可以得到，對(duì)于每個(gè)項(xiàng)目有

(8)

依據(jù)項(xiàng)目期末價(jià)值的Bayes估計(jì)值對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行投資組合選擇，可以緩解投資家決策后的失望[7,13]。據(jù)此，將Bayes估計(jì)下的最優(yōu)投資組合定義如下

(9)

由模型(9)得到的基于項(xiàng)目的Bayes估計(jì)值選擇的最優(yōu)投資組合z(vB)的事后實(shí)現(xiàn)效用與事先估計(jì)效用的差距為u(z(vB)V)-u(z(vB)vB)。另外，為了研究模型(9)的平均表現(xiàn)，本文用隨機(jī)變量VE代替(7)式中的vE，可得

(10)

本文指出，在相當(dāng)一般的假設(shè)下，基于Bayes估計(jì)vB選擇的投資組合所實(shí)現(xiàn)的期望效用值不會(huì)比基于估計(jì)值vE的投資組合所實(shí)現(xiàn)的期望效用值少。這一說法可以由定理2來解釋。

定理2設(shè)V，VE及z(vE)的含義如定理1所示，z(VB)和VB分別由(9)式和(10)式給出，則

E[u(z(VE)V)-u(z(VB)V)]≤0

進(jìn)一步，若P(z(VE)≠z(VB))>0，

則有E[u(z(vE)V)-u(z(vB)V)]<0

且E[u(z(VE)V)-u(z(VB)V)]<0。

證明對(duì)于給定的vE，則項(xiàng)目的Bayes估計(jì)vB、模型(4)和模型(9)的最優(yōu)解z(vE)和z(vB)都是固定的。利用(7)式，求得u(z(VE)V)-u(z(VB)V)的條件期望為:

=u(z(vE)vB)-u(z(vB)vB)≤0

(11)

因此，對(duì)某些vE，若P(z(VE)≠z(VB))>0，則u(z(vE)vB)-u(z(vB)vB)<0。進(jìn)一步，由(11)式可知，E[u(z(VE)V)-u(z(VB)V)]<0也成立。

定理2說明，在同樣的假設(shè)條件下，基于項(xiàng)目Bayes估計(jì)值vB得到的最優(yōu)投資組合的事后實(shí)現(xiàn)效用不會(huì)低于直接基于項(xiàng)目估計(jì)值vE得到的最優(yōu)投資組合的事后實(shí)現(xiàn)效用。并且，如果使用Bayes修正值vB選擇的投資組合與直接使用價(jià)值估計(jì)vE選擇的投資組合不相同的概率非零，則基于Bayes修正值的投資組合z(vB)將會(huì)獲得嚴(yán)格更高的效用。

定理3設(shè)V，VE，VB及z(·)的含義如定理2所示，則

對(duì)所有的vE成立，而且有E[u(z(VB)V)-u(z(VB)VB)]=0。

證明對(duì)給定的一組估計(jì)值vE，相應(yīng)的Bayes估計(jì)值vB和問題(9)的最優(yōu)解z(vB)也是固定的。對(duì)u(z(vB)V)-u(z(vB)vB)求條件期望可得

3　基于風(fēng)險(xiǎn)厭惡的風(fēng)險(xiǎn)投資組合優(yōu)化模型

實(shí)際生活中，風(fēng)險(xiǎn)投資家在做投資決策前會(huì)對(duì)相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目進(jìn)行調(diào)查分析，然后選出符合投資標(biāo)準(zhǔn)的風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目N個(gè)。但是由于總的投資預(yù)算有限，他只能從N個(gè)備選項(xiàng)目中選擇n個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資。假設(shè)投資于風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目i獲得的價(jià)值為Vi，則考慮投資家風(fēng)險(xiǎn)厭惡心理的投資組合優(yōu)化模型為

(12)

其中，若投資家投資第i個(gè)項(xiàng)目，則zi=1，否則zi=0。

由于線性優(yōu)化模型(12)的目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于隨機(jī)向量V的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，難以獲得解析表達(dá)式，所以本文采用Monte Carlo模擬方法將問題(12)近似為確定性優(yōu)化問題。

(13)

(14)

此外，為了考察風(fēng)險(xiǎn)投資家的風(fēng)險(xiǎn)厭惡行為對(duì)投資組合決策的影響，我們還求解如下的最大化項(xiàng)目組合總期望價(jià)值的投資組合優(yōu)化模型[7]

(15)

綜上，模型(14)中的目標(biāo)函數(shù)不僅反映了投資組合的期望效用值，還反映當(dāng)投資組合的期末收益低于預(yù)期目標(biāo)時(shí)風(fēng)險(xiǎn)投資家產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)厭惡心理對(duì)其效用的影響。而模型(15)則假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)投資家是風(fēng)險(xiǎn)中性的，沒有考慮投資家的風(fēng)險(xiǎn)厭惡心理。因此，模型(15)可以看作是模型(14)在風(fēng)險(xiǎn)厭惡測(cè)度λ=0時(shí)的一個(gè)特殊情況。

4　數(shù)值算例

4.1風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)投資組合選擇的影響分析

為了檢驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資組合優(yōu)化模型(14)以及對(duì)不確定性的Bayes建模在實(shí)際應(yīng)用中的有效性，本文應(yīng)用Monte Carlo方法隨機(jī)模擬產(chǎn)生備選項(xiàng)目的價(jià)值數(shù)據(jù)，并分別計(jì)算模型(14)和模型(15)的最優(yōu)投資組合方案。

設(shè)定如下情形：某風(fēng)險(xiǎn)投資機(jī)構(gòu)有12個(gè)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目P1,…,P12可供選擇[7]，且由于資金有限，它只能從12個(gè)備選項(xiàng)目中選取5個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資。這些備選項(xiàng)目的期末價(jià)值vi是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Vi=μi+Ei的實(shí)現(xiàn)值。其中，前6個(gè)項(xiàng)目(P1至P6)經(jīng)營(yíng)的是傳統(tǒng)的項(xiàng)目，投資家對(duì)它們未來的業(yè)績(jī)的估計(jì)相對(duì)精確，其估計(jì)誤差相對(duì)較小，假設(shè)Δi=1；后6個(gè)項(xiàng)目(P7至P12)是風(fēng)險(xiǎn)較高的新穎“激進(jìn)型”項(xiàng)目，投資家對(duì)它們未來的業(yè)績(jī)的估計(jì)相對(duì)粗略，其估計(jì)誤差相對(duì)較大，假設(shè)Δi=5。

表1　風(fēng)險(xiǎn)厭惡行為對(duì)風(fēng)險(xiǎn)投資組合選擇的影響

4.2項(xiàng)目估計(jì)的不確定性對(duì)投資組合選擇的影響分析

為了分析項(xiàng)目?jī)r(jià)值估計(jì)的不確定性對(duì)決策后的失望程度的影響，本文將借助Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值案例分析。

圖1　直接基于項(xiàng)目?jī)r(jià)值的事前估計(jì)值選擇的投資組合的平均效用估計(jì)值與平均效用實(shí)現(xiàn)值

圖2　基于Bayes修正估計(jì)值選擇的投資組合的平均效用估計(jì)值與平均效用實(shí)現(xiàn)值

分別地，圖1給出了當(dāng)估計(jì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差增大時(shí)，基于項(xiàng)目的直接估計(jì)價(jià)值VE求解模型(14)獲得的投資組合的估計(jì)平均效用值和事后實(shí)現(xiàn)平均效用值的變化情況?？梢钥闯觯S著項(xiàng)目?jī)r(jià)值的估計(jì)誤差標(biāo)準(zhǔn)差τ的增大，決策后的失望程度也增大。例如，在圖1中，當(dāng)τ=0.8時(shí)，所選擇的投資組合估計(jì)的平均效用值為8.18，比其所實(shí)現(xiàn)的平均效用值6.78高20.65%。這說明，隨著項(xiàng)目?jī)r(jià)值估計(jì)不確定性的增大，決策者識(shí)別真正高價(jià)值項(xiàng)目的難度也增大，其面臨的決策失望也同樣增大。這一結(jié)果印證了定理1的結(jié)論。

圖2給出了當(dāng)估計(jì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差增大時(shí)，利用Bayes估計(jì)值求解模型(14)獲得的投資組合的估計(jì)平均效用值及其事后實(shí)現(xiàn)平均效用值的變化情況?？梢钥闯?，對(duì)項(xiàng)目?jī)r(jià)值的估計(jì)值進(jìn)行Bayes修正后再進(jìn)行投資組合決策，可以減輕決策者的事后失望程度，這個(gè)結(jié)果也與定理3的結(jié)論相印證。

5　結(jié)論

目前，關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)投資組合的研究主要是事中決策研究，這與決策者需要在投資前做出投資決策的事實(shí)不相符?；诖?，本文考慮投資家的風(fēng)險(xiǎn)厭惡心理，用下半絕對(duì)離差度量投資家的投資風(fēng)險(xiǎn)，并對(duì)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目?jī)r(jià)值估計(jì)的不確定性進(jìn)行Bayesian建模并獲得其Bayes修正值，進(jìn)而建立均值-半絕對(duì)離差的投資組合優(yōu)化模型。利用Monte Carlo隨機(jī)模擬方法，對(duì)基于風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資組合優(yōu)化模型與基于風(fēng)險(xiǎn)中性的投資組合優(yōu)化模型進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)投資家的風(fēng)險(xiǎn)厭惡心理對(duì)其投資決策具有重要的影響。此外，理論分析與模擬結(jié)果表明，基于項(xiàng)目?jī)r(jià)值的Bayes修正估計(jì)選擇的投資組合比直接基于項(xiàng)目?jī)r(jià)值的事前估計(jì)選擇的投資組合獲得的期望效用高，且前者能夠消除投資組合的事后實(shí)現(xiàn)效用值與事前估計(jì)效用值之間的預(yù)期間隔，從而降低投資家可能經(jīng)歷的事后失望程度。

[1] Markowitz H. Portfolio selection[J]. Journal of Finance, 1952, 7(3): 77-91.

[2] Yiu K C, Liu J Z, Siu T K, et al. Optimal portfolios with regime switching and value-at-risk constraint[J]. Automatica, 2010, 46(6): 979-989.

[3] Huang D S, Zhu S S, Fabozzi F J, et al. Portfolio selection under distributional uncertainty: a relative robust CVaR approach[J]. The European Journal of Operational Research, 2010, 203: 185-194.

[4] 張衛(wèi)國(guó),梅琴,陳熾文.具有模糊收益的項(xiàng)目投資組合優(yōu)化方法[J].管理學(xué)報(bào),2011,8(6):938-942.

[5] 崔雪婷. 基于不同風(fēng)險(xiǎn)度量和交易約束的投資組合選擇問題研究[D].上海：復(fù)旦大學(xué),2013.

[6] Hall N G, Long Z Y, Qi J, et al. Managing underperformance risk in project portfolio selection[J].Operations Research, 2015, 63(3):761-770.

[7] Vilkkumaa E, Liesi? J, Salo A. Optimal strategies for selecting project portfolios using uncertain value estimates [J]. European Journal of Operational Research, 2014, 233(3): 772-783.

[8] 黃秀路.基于CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量角度的投資組合優(yōu)化模型的理論與實(shí)證研究[D].成都：西南財(cái)經(jīng)大學(xué),2013.

[9] H Konno, H Yamazaki. Mean-absolute deviation portfolio optimization model and its application to Tokyo stock market[J]. Management Science, 1991, 37(5): 519-531.

[10]H Konno, T Koshizuka. Mean-absolute deviation model[J]. IIE Transcations, 2005(10): 893-900.

[11] Jia J, Dyer JS. A standard measure of risk and risk-value models[J]. Management Science, 1996, 42(12): 1691-1705.

[12] Jia J, Dyer JS，Butler JC. Generalized disappointment models[J]. Journal of Risk and Uncertainty, 2001, 22(1):59-78.

[13] Smith J E, Winkler R L. The Optimizer’s Curse: Skepticism and Postdecision Surprise in Decision Analysis[J]. Management Science, 2006, 52(3): 311-322.

(責(zé)任編輯：周曉南)

A Mean-semi-Absolute Deviation Model for Venture Project Portfolio Decision

ZHENG Yuanyuan, HU Zhijun*

(College of Science，Guizhou University，Guiyang 550025，China)

Project portfolio selection is an important decision in many organizations. Most studies on project portfolio selection focus on identifying the ‘right’ project portfolio under various criteria, such as reward and risk. Based on lower semi-absolute deviation risk measurement, and Bayesian methods was used to revise the value of ex ante estimates about the future values of alternative projects, a portfolio optimization model of mean-lower semi-absolute deviation was constructed. Further, the model was transformed into a linear programming problem by the Monte Carlo simulation method. The analysis of theory and simulation shows that the explicit Bayesian modeling of estimation uncertainties and the use of resulting revised estimates in portfolio selection has a higher expected utility value in comparison with the straightforward portfolio selection based on ex ante value estimates, and the former can eliminate the expected gap between the realized ex post portfolio utility value and the estimated ex ante portfolio utility value, to reduce the amount of ex post disappointment that the venture capitalist may experience.

venture capital portfolio; risk aversion; Bayesian methods; decision analysis

1000-5269(2016)02-0134-07

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.02.29

2015-12-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71361003，71271090)；貴州省自然科學(xué)基金項(xiàng)目([2011]2102)；貴州省教育廳人文社科規(guī)劃項(xiàng)目(13S5D005)

鄭媛媛(1989-)，女，碩士研究生，研究方向：金融優(yōu)化、決策分析等，Email：15285118897@qq.com.

胡支軍，Email：zjunhu75@163.com.

F830;O221

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