許宏文

(牡丹江師范學院數(shù)學科學學院, 黑龍江牡丹江157012)

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基于羅爾定理的兩個積分中值問題

許宏文

(牡丹江師范學院數(shù)學科學學院, 黑龍江牡丹江157012)

以變上限積分函數(shù)為紐帶,建立了微分中值問題與積分中值問題的聯(lián)系,構(gòu)造相應輔助多項式,應用羅爾定理,證明兩個帶有二階導數(shù)的積分中值問題.

羅爾定理； 輔助多項式； 變上限積分函數(shù)； 積分中值問題

1　引　　言

積分不等式的建立與積分估計是一元函數(shù)積分學部分的重要問題之一，在分析學中有著重要意義，這是因為在函數(shù)空間框架下的一些范數(shù)估計都與各種積分不等式的建立、積分估計相關.而建立相應的積分中值問題恰好是積分估計的有效方法，多年來積分中值問題在研究生入學考試試題中一直備受關注，2010年南京大學研究生入學考試數(shù)學分析第九題涉及如下的積分中值問題，記為定理1

定理1設函數(shù)f(x)在[a,b]上具有二階導數(shù), 則存在ξ∈(a,b)使得下式成立

(1)

特別地，若f(a)=f(b)=0，則存在ξ∈(a,b)使得

(2)

在文獻[1]中第242頁有如下帶有二階導數(shù)的積分中值問題，本文記為定理2

(3)

(4)

事實上借用變上限積分函數(shù)及其性質(zhì)(見文獻[2]296頁)，上述兩個帶有二階導數(shù)的積分中值問題分別與下面兩個帶有三階導數(shù)的微分中值問題相對應，分別記為命題1和命題2.

命題1設函數(shù)f(x)在[a,b]上具有三階導數(shù)，則存在ξ∈(a,b)使得

當f′(a)=f′(b)=0時，結(jié)論變?yōu)?/p>

命題2設函數(shù)f(x)在[a,b]上具有三階導數(shù)，則存在ξ∈(a,b)使得

另外，2011年吉林大學研究生入學考試數(shù)學分析第四題涉及用定理3刻畫的積分中值問題，如下

定理3設函數(shù)f(x)在[a,b]上可導, 則存在ξ∈(a,b)使得下式成立

特別地，若f(a)=0，則存在ξ∈(a,b)使得

與定理3對應的恰好是泰勒定理([2]定理5.3.2)，本文不再列出.

除前文列出的這樣相互對應的三組積分中值問題與微分中值問題外，還有很多帶有更高階導數(shù)的積分中值問題與微分中值問題相互對應，這里不再一一列舉.變上限積分函數(shù)作為連接微分學與積分學的紐帶和橋梁，搭建了微分與積分的關系.微分中值定理作為處理微分中值問題的有效工具，同時也成為了處理積分中值問題和積分估計的有效手段，可見文獻[3]和文獻[4].本文應用文獻[5]中證明微分中值問題的輔助多項式法，應用羅爾定理分別給出定理1和定理2的巧妙的證明.

2　兩個帶有二階導數(shù)的積分中值問題的證明

綜觀文獻[5]中證明微分中值問題的輔助多項式法可知，想構(gòu)造恰當?shù)妮o助多項式應用羅爾定理來證明微分中值問題，可實現(xiàn)的前提是知道欲研究的函數(shù)在某些特定點的函數(shù)值或?qū)?shù)在某些點的值.但對定理1和定理2的一般情形，欲研究函數(shù)的信息過少，所以構(gòu)造輔助多項式是困難的.本文，我們首先來證明定理1與定理2的特殊情形，即(2)式與(4)式成立，然后通過適當?shù)妮o助函數(shù)來證明其一般情形(1)式與(3)式成立.

證令

此時欲證明的積分中值問題轉(zhuǎn)化成了微分中值問題

由變上限積分函數(shù)的性質(zhì)可知，F(xiàn)三次可導，且有

F(a)=F′(a)=F′(b)=0.

想構(gòu)造一個新的函數(shù)G(x)=F(x)-P(x)，其中P(x)為三次多項式，使得G(x)滿足

G(a)=G(b)=G′(a)=G′(b)=0,

(5)

則P(x)滿足P(a)=P′(a)=P′(b)=0，P(b)=F(b). 因P(a)=P′(a)=0，可令

P(x)=(x-a)2(Ax+B).

由P(b)=F(b)和P′(b)=0有

(b-a)2(Ab+B)=F(b),2(Ab+B)+A(b-a)=0,

解得

至此找到了需要的輔助多項式

輔助函數(shù)G(x)=F(x)-P(x)滿足(5)式，在區(qū)間[a,b]上對函數(shù)G(x)應用羅爾定理,存在η∈(a,b)使得G′(η)=0，注意到G′(a)=G′(b)=0，對函數(shù)G′(x)在區(qū)間[a,η]和[η,b]上繼續(xù)使用羅爾定理有，存在ξ1∈(a,η)和ξ2∈(η,b)使

G″(ξ1)=G″(ξ2),

對函數(shù)G″(x)在區(qū)間[ξ1,ξ2]上使用羅爾定理有，存在ξ∈(ξ1,ξ2)使得

(6)

即

注意到(6)式，所構(gòu)造的輔助多項式的三次導數(shù)與問題相關，而輔助多項式中的二次項、一次項和常數(shù)項對問題的解決是沒有影響的，待定常數(shù)B只與這些無關項相關，所以在計算過程中，只需計算出A的值，而無須計算B.

下面證明定理1的一般情形，即(1)式成立.

定理1(1)設函數(shù)f(x)在[a,b]上具有二階導數(shù), 則存在ξ∈(a,b)使得

證令

顯然，g(x)在[a,b]上滿足g″(x)=f″(x)，g(a)=g(b)=0. 應用證畢的結(jié)論有

(7)

而

(8)

聯(lián)立(7)與(8)有

下面證明定理2.依然先來證明其特殊情形(4)式.

且有

我們想構(gòu)造一個新的函數(shù)G(x)=F(x)-P(x)，其中P(x)為三次多項式, 使得G(x)滿足

(9)

則P(x)滿足

(10)

由(10)式可令

解得

G′(η1)=G′(η2)=0，

G″(ξ1)=G″(ξ2).

對函數(shù)G″(x)在區(qū)間[ξ1,ξ2]上使用羅爾定理有，存在ξ∈(ξ1,ξ2)使得

即

下面運用定理2的特殊情形(4)式，來證明定理2的一般情形(3)式成立.

應用(4)有

所以

對于本文給出的帶有一階導數(shù)的積分中值問題，即定理3，讀者可用同樣的方法給出證明，證明過程中，只需構(gòu)造一個二次多項式即可.

3　總　　結(jié)

定理1和定理2的證明思路是引入變上限積分函數(shù)，把帶有二階導數(shù)的積分中值問題轉(zhuǎn)化為帶有三階導數(shù)的微分中值問題，輔助函數(shù)選擇輔助多項式與變上限積分函數(shù)的差，反復應用羅爾定理使問題得證.值得注意的是，就定理1與定理2的一般形式來講，直接構(gòu)造由變上限積分函數(shù)與輔助多項式和的形式的輔助函數(shù)，應用羅爾定理來證明是無法實現(xiàn)的.本文的巧妙之處在于考慮定理1和定理2的特殊情形，引入變上限積分函數(shù)，此時變上限積分函數(shù)的信息足夠多，通過這些信息實現(xiàn)需要的輔助多項式的構(gòu)造.對于兩個更一般的積分中值問題，即定理1與定理2的一般情形，作為特殊情形的推論，再構(gòu)造新的輔助函數(shù)，應用特殊情形的結(jié)論加以證明.

[1]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社, 2006：242-243.

[2]陳紀修, 於崇華, 金露.數(shù)學分析(上)[M].北京:高等教育出版社, 2004：168-296.

[3]趙顯曾.兩個積分不等式[J].大學數(shù)學, 2015,31(1): 78-80.

[4]鄭權.基于微分中值定理證明微積分基本公式和積分中值定理[J].大學數(shù)學, 2003,19(6): 78-80.

[5]陳飛翔,馮玉明,劉金奎.證明微分中值問題的輔助多項式法[J].高等數(shù)學研究, 2010,13(5): 30-31.

Two Integral Mean Value Problems Based on Rolle Theorem

XU Hong-wen

(Institute of Mathematics, Mudangjiang Normal University, Mudanjiang Heilongjiang 157012, China)

We establish the relation between the differential and integral mean value problems by using the integration with varying upper bound. Then we construct the corresponding auxiliary polynomial and ap-ply Rolle theorem to solve two mean value problems with second-order derivatives.

Rolle theorem; auxiliry polynomial; integration with varying upper bound; integral mean value problem

2015-06-19；[修改日期]2016-05-13

2013年黑龍江省高等教育教學改革項目(省文序號497)

許宏文(1974-),女, 博士, 副教授, 從事微分包含定性理論研究. Email:xhwmdj@163.com

O175.2

C

1672-1454(2016)04-0073-05