長沙市岳麓區(qū)第一小學數(shù)學教研組　瀟湘數(shù)學教育工作室

“用（加法）估算解決問題”教學研究報告

長沙市岳麓區(qū)第一小學數(shù)學教研組瀟湘數(shù)學教育工作室

一、問題

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將第一學段的估算教學目標修改為“能結合具體情境，選擇適當?shù)膯挝贿M行簡單估算，體會估算在生活中的作用”。人教版教材據(jù)此做了相應的調整，在三年級上冊“萬以內數(shù)的加法和減法（一）”這個單元增加了用估算解決問題的教學內容例4（如圖1）。這個增加的教學內容，讓教師們在教學實踐中產生了眾多的困惑與問題。

圖1

（一）教學實踐中的問題

1.學生不愿意估算。

大部分學生第一次面對本問題時，居然是先精確計算一至六年級的總人數(shù)，再通過比較判斷是否坐得下，能想到用估算解決問題的學生很少。當教師在教學中提醒學生可以估一估再判斷時，很多學生就先精確計算出223+239的得數(shù)，再將得數(shù)與座位數(shù)進行比較后作出判斷。這一做法是典型的為估算而估算。

2.學生不會估算。

學生不能根據(jù)具體情境選擇適當?shù)墓浪悴呗?，不知道什么時候估大，什么時候估小。以例4為例，同一個問題背景，已知條件不變，當求解的問題是“441個座位坐得下嗎”，需要用“估小”法解決。如果求解的問題變成“470個座位坐得下嗎”，又需要用“估大”法解決（如圖2）。由于這種“估大”“估小”策略的選擇全憑問題的需要，非常靈活，無規(guī)律可循，很多學生課上完后仍舊未能真正掌握。

圖2

（二）對問題的再調查

以上兩個問題是教師們在教學實踐中普遍反映難以處理的問題。學生的真實情況又是怎樣的呢？為此，我們在三年級451名學生中進行了學習前的問卷調查。隨后，我們選取了一個班的66名學生，按照教材的編排進行了教學，課后也進行了問卷調查。下面兩表分別是前測（見表1）和后測（見表2）的統(tǒng)計結果。

表1

表2

從兩次調查問卷的統(tǒng)計結果看，教師們反映的兩個問題不但集中存在，而且比較嚴重。在學習前的調查中，當問題中沒有“大約”兩字時，選擇估算解答的學生不超過15%。在后測調查中，居然有50%的學生采用“四舍五入”求近似數(shù)的方法解決“夠不夠”的問題。

（三）對問題的分析

1.學生不愿意選擇估算解決問題的原因。

要解決例4的問題，需要比較223+239與441的大小。而對三年級的學生來說，計算出223+239的得數(shù)并不困難，有的學生甚至可以口算出結果。因此，估算與之相比并沒有什么優(yōu)勢可言。這是第一個原因。第二個原因，如前所述，當教師把問題呈現(xiàn)在學生面前時，很多學生并不具備用估算解決此問題的能力，就更談不上選擇估算解決該問題了。

2.學生用估算解決“夠不夠”問題時的常見錯誤及原因分析。

在例4的教學中，學生常見的典型錯誤就是采用“四舍五入”求近似數(shù)的方法解決問題，導致將兩個加數(shù)一個估大、一個估小，推理不符合邏輯。比如：223≈220，239≈240，220+240=460，而460＞441，所以223+239＞441，坐不下。

我們認為原因有以下兩點。

（1）用估算解決“夠不夠”的問題有著鮮明的特殊性。它不同于以往常見的求近似數(shù)的估算問題，然而學生對此并沒有充分的認識。常見的估算問題一般以判斷一個估算對象近似等于多少為目標，比如，“估一估操場上有多少人”，“估一估一個不規(guī)則圖形的面積有多大”等。此類估算問題在不增加計算復雜程度的前提下，結果總是越精確越好。

但是教材上這類“夠不夠”的問題，估算的目標不再是判斷一個估算對象（近似）等于多少，而是通過估算得出兩個數(shù)據(jù)之間的大小關系。一般會用到不等式的性質：a＞b，b＞c，所以a＞c。此時，找到比較橋梁中的中間數(shù)b是問題的關鍵，估得準確與否對解決問題已經沒有任何幫助了。但是，學生仍然延續(xù)以往的習慣，繼續(xù)用求近似數(shù)的思維來解決問題，碰壁也就在所難免了。

（2）用估算解決“夠不夠”的問題需要用到兩個常見的估算技巧：“去尾”法和“進一”法。從實際教學效果來看，學生并沒有掌握這兩種技巧，而是將這兩種技巧與“四舍五入”求近似數(shù)的方法混淆在一起。

（四）解決問題的策略

1.巧設情境，化“不愿估”為“必須估”。

一般來說，用估算解決問題主要適用于以下兩種情形：（1）沒有必要精確計算；（2）無法精確計算。教材將例4編排在整百、整十數(shù)加減法之后、三位數(shù)筆算加法之前，其用意原本就是趁著學生還不會精確計算的時候，逼著學生用估算解決問題，體現(xiàn)估算的價值。然而事與愿違，實際教學中，大部分學生憑著兩位數(shù)加法的基礎，竟然都無師自通地精確計算出223+239的結果，使得教材的編寫意圖落空。針對這種情況，為了切實將學生逼入無法精確計算的境地，我們可以通過創(chuàng)設情境，想辦法將兩個加數(shù)中的某個數(shù)字蓋住。

2.聚焦問題，改進板書，凸顯推理過程。

例4這類“夠不夠”的問題實質就是一個比較大小的問題。人數(shù)比座位數(shù)小，則夠坐；人數(shù)比座位數(shù)大，則不夠坐。只不過我們沒有必要精算出總人數(shù)，通過估算就能比較兩者之間的大小關系。我們必須自始至終讓學生明白，估算的目標是比較大小。

因此，在教學實踐中，當教師拋出問題后，就應該問學生“什么情況下就夠，什么情況下又不夠”。接著將需要比較的算式223+239與目標數(shù)441同時板書（見圖3-1）。因為學生只有同時觀察算式與目標數(shù)，才有可能發(fā)現(xiàn)此時應該將223和239同時估小。很多教師在教學時往往只板書算式223+239（見圖3-2）就讓學生判斷估大還是估小。由于看不到比較對象441，學生往往就采用“四舍五入”求近似數(shù)的方法進行估算了。這雖然只是一個細節(jié)，但很關鍵。

圖3-1

圖3-2

解答例4時，學生最容易犯的錯誤就是將兩個加數(shù)中的一個估大，另一個估小。我們可以從改進板書入手解決這一問題。教學實踐中，下面兩種板書比較常見（如圖4）。

圖4

圖5

這兩種板書雖然簡潔美觀，但未能呈現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的大小關系，學生難以把握其中蘊含的推理過程。不如將“≈”“↓”等符號換成“＞”“＜”（見圖5），將數(shù)據(jù)之間的大小關系清晰地板書。即便此時學生再犯“一個加數(shù)估大，另一個加數(shù)估小”的錯誤，也會因為黑板上“＞”“＜”的不統(tǒng)一而很快發(fā)現(xiàn)問題。

二、實踐

基于以上認識，我們設計了一個“翻卡片比大小”的游戲，讓學生在游戲中逐步學習和體會用估算比較大小的策略，再運用這個策略解決教材中的實際問題，在解決問題的過程中進一步感受估算的價值。

1.巧妙設計游戲，在比較大小的游戲中體會估算策略。

師：同學們，上課之前我們一起玩一個與數(shù)字有關的游戲——“快速比大小”。在黑板上貼的每張笑臉后面都有一個數(shù)字，它們是兩個三位數(shù)。一人選一個，快速比較它們的大小，誰選的數(shù)大，誰就贏。明白嗎？

（生選了右邊的三位數(shù)）

師：要想快速地贏高老師，你打算翻哪一張比較大?。浚ㄉ赴傥簧系目ㄆ槭裁?？

生：因為它在百位上。

（師生分別翻開百位上的數(shù)字）

師：誰贏了？

生：學生贏了。

師：不是還沒有比較完嗎？你們怎么能判斷他贏了呢？

生1：無論你是200多少，反正比300小。

生1：是的。

生2：肯定比300大。

（生選擇算式，師翻開右邊的三位數(shù)卡片，是900）

師：誰贏了？

生：高老師贏了。

師：你是怎么判斷高老師贏了的？說說你的想法。

生3：因為這個數(shù)比300小比400小，所以它們的和一定比700小，比900就更小。

師：還有愿意和我比大小的嗎？（師重新貼出右邊的三位數(shù)卡片，生選擇算式）

師：（翻開右邊的三位數(shù)卡片，是510）誰贏了？

生：不確定。

師：怎么辦？

生：任意翻開一個加數(shù)十位上的數(shù)字。

生：學生贏。

師：你們是怎么判斷的？

生4：估小是200估小是360，200+360=560，比510要大。那么比510更大。

師：還有要挑戰(zhàn)我的嗎？就剩最后一個了。（師繼續(xù)貼出右邊的三位數(shù)卡片，生選擇算式）

師：（翻開右邊的三位數(shù)卡片，是600）誰贏了？

生：還不能肯定，目前來說是老師贏了。

師：說說你們的想法。

生5：雖然兩個數(shù)的和現(xiàn)在比600小，但如果后面出現(xiàn)的數(shù)字是5，6，7，8，9，那就是學生贏了。

師：那怎么辦？

2.運用策略解決實際問題，在解決問題中感受估算的價值。

課件出示：小明一共挑選了197元錢的商品，小芳挑選了289元錢的商品，他們兩人一共準備了500元錢，夠嗎？

師：此題實際上是要我們解決一個什么問題？

生6：小明和小芳買東西共花的錢和準備的500元錢夠不夠的問題。

師：它的實質是要我們干什么？

生7：比大小。

師：誰和誰比較？

生7：197+289的和與500比較大小。

師：誰能用最快速的方法比較出這兩個數(shù)的大?。?/p>

生8：夠，因為197+289小于500。

師：說說你是怎樣快速判斷的。

生8：197估成200，289估成290，200+290=490，490＜500，所以夠。

師：將197估成200，197比200大還是??？

生：小。

師：同樣地，將289估成290，289比290是大還是?。?/p>

生：小。

師：200+290=490，換句話說，也就是197+289＜490，和500相比就更加小。原來解決“夠不夠”的問題也可以通過估算的方法快速比較它們的大小，從而知道夠不夠。

課件出示：巨幕影院有441個座位。一到三年級有223名學生，四到六年級有239名學生。六個年級的學生同時看巨幕電影，坐得下嗎？

師：問題的實質是讓我們干什么？

生9：比較人數(shù)和巨幕影院的座位數(shù)。

師：你們能幫助我解決問題嗎？請同學們獨立思考，看誰最快判斷出座位數(shù)夠還是不夠。

（生獨立思考）

師：誰來說說你是怎樣解決這個問題的？

生10：223估算成220，239估算成230，220+230= 450，精確值肯定大于450，也就比441更大，因此座位數(shù)不夠。

師：將223估成220，將其估小了，將239估成230也估小了，而220+230=450，很明顯450＞441。

設計意圖綜述：

本教學設計由一個“翻卡片比大小”的游戲展開，這個游戲是本教學設計的核心，對整個教學的推進起到了一石二鳥的作用。

首先，在“翻卡片比大小”時，由于總有數(shù)字被卡片蓋住，學生無法精確計算出結果，就不得不通過估算比較大小。在整個游戲環(huán)節(jié)，教師一共拋出了4個比較大小的問題，學生在解決這4個問題的過程中，不但體會到了估算的價值，而且逐步掌握了用估算解決此類問題的策略和方法。在這之后，當教師出示教材的實際問題時，學生由于已經具備了解決此類問題的經驗和能力，就愿意選擇估算來解答了。

其次，本游戲在化解學生常見估算錯誤的同時，還巧妙地滲透了估算方法的訓練。我們知道，解決此類問題需要學生正確使用兩種估算技巧，“去尾”法和“進一”法。在解決實際問題時，對于同一個數(shù)，比如238，有時需要采取“去尾”法將238看成230，有時又需要采取“進一”法將238看成240。但是，由于個位數(shù)字“8”的影響，學生往往總是傾向于采取“進一”法將238看成240，因為240離238近些。如果估算的對象是“223+239”，就必然會估算成“220+ 240”，這就犯了將加數(shù)一個估大、另一個估小的典型錯誤。而在“翻卡片比大小”游戲中，由于數(shù)字“8”被蓋住了，學生無法通過“四舍五入”法求近似數(shù)，只能根據(jù)實際問題的需要選擇是用“去尾”法還是“進一”法。反復幾次“翻卡片比大小”的游戲之后，學生在潛移默化中接受了這兩種估算技巧，為接下來解答教材上的實際問題奠定了堅實的基礎。

三、討論

1.教材的教學要求是否過高？

為了解決例4提出的問題，教材提供的解答是這樣的：

223＞220，239＞230，220+230=450，223+239一定大于450，坐不下。

我們將其中的推理過程略加抽象就是：因為a＞m，b＞n，所以a+b＞m+n，又因為m+n＞c，所以a+ b＞m+n＞c。這其實就是不等式證明中常用的技巧——放縮法。解答過程中需要對兩個加數(shù)同時進行放縮，而且必須同時放大或縮?。ǚ駝t推理過程就不符合邏輯）。我們認為，對小學三年級的學生來說，掌握這樣的技巧未免要求太高，為時過早。

其實，在新人教版三年級上冊第70頁還有一個“用乘法估算解決問題”的教學內容（如圖6）。

圖6

同樣是一個用估算解決問題的教學內容，卻沒有教師反映“內容太難，學生學不會”之類的問題。仔細比較這兩個問題，我們不難發(fā)現(xiàn)，“用加法估算解決問題”需要同時對兩個加數(shù)進行放大（或縮?。凇坝贸朔ü浪憬鉀Q問題”中，只需對其中的一個因數(shù)進行放大（或縮?。?。以上題為例，因為29人＜30人，而30人購票需要30×8=240（元），又因為250元＞240元，所以帶250元夠了。由此證明，三年級學生能輕松處理只需對一個數(shù)進行放縮的問題，卻難以處理像例4這樣需要對兩個數(shù)同時進行放縮的問題。

事實上，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在第一學段關于估算教學只提供了一個實例（如圖7）。巧合的是，它也是一道乘法估算題，而且解決它也只需要對其中一個因數(shù)進行放縮即可：顯然987人＜1000人，而1000人購票需要1000×8=8000（元），所以帶8000元夠了。

圖7

基于以上理由，我們認為，新人教版三年級上冊增加的“用（加法）估算解決問題”對學生的要求過高。

2.能否調整教學目標，僅僅要求學生“能通過估算大致判斷夠不夠”？

現(xiàn)實生活中，我們同樣會遇到需要判斷夠不夠的情形，有時我們僅僅只做一個粗略的判斷，比如，“差不多夠了”“應該夠了吧”，這種近似的回答也是很有價值的。與之相應的，在教學中，我們能不能將例4的教學目標調整為能大致判斷夠不夠即可呢？比如，是否允許學生這樣解答：把223估成220，239估成240，而220+240=460，所以不夠。我們知道，這樣解答是存在風險的，邏輯上并不成立。但是這種粗略的判斷既符合現(xiàn)實生活的某些場景，又體現(xiàn)了估算的一般特點。所謂“估”，不就是大致判斷的意思嗎？問題在于，一旦允許學生這樣解答，勢必會讓學生落入采用“四舍五入”求近似數(shù)的方法進行估算的泥沼。而學生一旦習慣用“四舍五入”求近似數(shù)的方法解決此類問題，就再也不會關心問題的具體背景。這恰恰是我們最不愿意看到的情況。關于這個問題，直到研究結束，我們都未能得出清晰的結論。

3.一個好的估算素材應該具備哪些特點？

在估算教學中，一個合適的教學素材對教學目標的達成起著決定性的作用。我們認為，一個好的估算教學素材應該滿足以下兩個條件：（1）精算復雜（或無法精算）；（2）估算簡便且能解決實際問題?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提供的估算實例（例6）就是一個很好的范例（見圖7）。該例如果直接精確計算987×8的得數(shù)就比較復雜，而采取估算解決卻非常簡單，充分體現(xiàn)了估算的價值。

比較而言，新人教版三年級上冊第15頁例4“用估算解決問題”（見圖1）顯然就不是一個很好的估算素材。因為，如果直接精確計算出總人數(shù)，再判斷座位夠不夠并不復雜；相反，用教材提供的估算方法解答時，推理過程卻顯得格外復雜，學生難以掌握。

在估算教學中，我們經常指責學生缺乏估算意識，埋怨學生只有看到題目中出現(xiàn)“大約”二字時才想到估算，為估算而估算，卻很少有人反思我們的估算教學本身是否出了問題。我們在估算教學中常常提供一些不好的估算素材，然后想當然地逼著學生去估算。學生由于在解決問題的過程中未能真正體會到估算的價值，就無法將估算內化為自覺的行為。這個問題應該引起我們足夠的重視。否則，“培養(yǎng)估算意識”“結合具體情境，選擇適當單位，體會估算在生活中的作用”等課程目標都會成為一句空話。

（執(zhí)筆：高業(yè)波、鄭志剛）